1、专题专题 1616对角互补模型对角互补模型 破解策略破解策略 1全等型之全等型之“90” 如图，AOBDCE90，OC平分AOB，则 A O B D C E （1）CDCE； （2）ODOEOC； 2 （3） 2 1 2 OCDOCE SSOC 证明证明 方法一：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N 由角平分线的性质可得CMCN，MCN90 所以MCDNCE， 从而MCDNCE（ASA）， 故CDCE 易证四边形MONC为正方形 所以ODOEODONNE2ONOC 2 所以 22 1 2 OCDOCEMONC SSSONOC 正方形 方法二：方法二：如图，过C作CFO
2、C，交OB于点F 易证DOCEFC45，COCF，DCOECF 所以DCOECF（ASA） 所以CDCE，ODFE， 可得ODOEOF 2OC 所以 2 1 2 OCDOCEOCF SSSOC 【拓展拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则： N M A O B D C E F A O B D C E B A E C O D （1）CDCE； （2）OEODOC； 2 （3） 2 1 2 OCEOCD SSOC 如图，证明同上 F D O C E A B N M D O C E A B 2全等型之“全等型之“120” 如图，AOB2DCE120，OC平分AOB，则： O B E
3、C D A （1）CDCE； （2）ODOEOC； （3） 2 3 4 OCDOCE SSOC 证明证明 方法一：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N 所以 2 3 2 4 OCDOCEONC SSSOC 易证MCDNCE（ASA）， 所以CDCE，ODOE2ONOC N M A D C E B OF A D C E B O 方法二：方法二：如图，以CO为一边作FCO60，交OB于点F，则OCF为等边三角形 易证DCOECF（ASA） 所以CDCE，ODOEOFOC， SOCDSOCESOCFOC 2 4 3 【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
4、 （1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）SOCDSOCEOC 2 4 3 如图，证明同上 E OB A C D N M E OB A C D F E OB A C D 3、全等型之“任意角”、全等型之“任意角” 如图，AOB2，DCE1802，OC平分AOB，则： （1）CDCE；（2）ODOE2OCcos；（3）SODCSOECOC 2sincos E O B A C D 证明：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N 易证MCDNCE（ASA） CDCE，ODOE2ON2OCcos SODCSOEC2SONCOC 2sincos 方法二：如图，以CO为一边作FCO
5、1802，交OB于点F M N E O B A C D F EO B A C D 易证DCOECF（ASA） CDCE，ODOEOF2OCcos SODCSOECSOCFOC 2sincos 【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则： （1）CDCE；（2）ODOE2OCcos；（3）SODCSOECOC 2sincos 如图，证明同上 EO B A C D M N EO B A C D F EO B A C D 4、相似性之“、相似性之“90” 如图，AOBDCE90，COB，则CECDtan D A O B C E 方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M
6、、N M N D A O C E 易证MCDNCE，即CECDtan tan CM CN CD CE MD NE 方法二：如图，过点C作CFOC，交OB于点F F D A O B C E 易证DCOECF，即CECDtan tan CO CF CD CE OD FE 方法三：如图，连接DE 易证D、O、E、C四点共圆 CDECOE，故CECDtan 【拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CECDtan E O B D C A 如图，证明同上 M NE O B D C A F E O B D C A E O B D C A 例题讲解例题讲解 例 1、已知ABC是O的内接三角形，
7、ABAC，在BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD， BD，CD （1）如图 1，若BAC120，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？ （2）如图 2，若BAC，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？ 图 1 A O BC D 图 2 A O B C D 解：（1）BDCDAD 3 图 3 F E A O BC D 如图 3，过点A分别向BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F 由题意可得ADBADC30 D A O B C E 易证AEBAFC BDCD2DEAD 3 BDCD2ADsin 2 如图 4，作EADBAC，交DB的延长线于点E D F B E O A C 图 4 则EBADC
8、A，所以BECD，AEAD 作AFDE于点F，则FAD所以BDCDDE2DF2ADsin 2 2 例例 2 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其 一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F 求证：PAPE； 如图 2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD8，求AP：PE的值； 如图 3，在的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？ 图 3 A D BE P F C AD B P CE 图 2 AD P BEC 图 1 解：解：如图 4，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N 则PMPN， MP
9、N90， 由已知条件可得APE90， 所以APMEPN， 所以APM EPN 故APPE 图 4 AD P BECN M 如图 5，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMAD，PNCD 所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以 PMBPPN ADBDCD 5 4 PMAD PNCD 易证APMEPN，所以 5 4 APPM PEPN 图 5 AD B P CE N M AP：PF的值不变如图，理由同 图 6 A D BE P F C M N 进阶训练进阶训练 1如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰 RtABD和 RtCBD，其中BAD和BCD都是 直角，另一条对角线AC的长
10、度为 2，则四边形ABCD的面积为_ A B C D 第 1 题图 答案：四边形ABCD的面积为 2 【提示】 易证A、B、C、D四点共圆， 则BCABDAABDACD， 由 “全等型之 90” 的结论可得S四边形ABCDAC22 1 2 2在ABC中，ABAC，A60，D是BC边的中点，EDF120，DE与AB边相交于 点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F 第 1 题图 1 A E F CDB A E F C DB N 第 1 题图 2 如图 1，DF与AC边相交于点F，求证：BECFAB； 1 2 如图 2，将图 1 中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线
11、交于点 F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF（BECF） 3 答案：略 【提示】 过点D作DGAC交AB于点G， 证DEGDFC， 从而BECFBEEGBGAB 1 2 第 1 题答图 1 A E F CDB G 过点D作DGAC交AB于点G，同可得BECFABDC，延长AB至点H，使 1 2 2 3 DN 得BHCF， 则DHDFDE， 从而BECFHEDEDN2DN， 所以BECF2223 （BECF） 第 1 题答图 2 A E F C D B N H G 3在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，MONBCD180，MON绕点O 旋转，射线OM交BC于点E，射线O
12、N交CD于点F，连结EF 如图 1，当ABC90时，OEF的形状是_； 如图 2，当ABC60时，请判断OEF的形状，并说明理由； 如图 3，在的条件下，将MON的顶点移动到AO的中点O处，MON绕点O旋转，仍 满足MONBCD180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC 4，且时，求CE的长 9 8 O EF ABCD S S V 四边形 第 3 题图 1 AD BC O M E F N A BC D O F E M N 第 3 题图 2 AD BC O O 第 3 题图 3 答案：等腰直角三角形；OEF是等边三角形；线段CE的长为 33 或 33 33 【提示】由“全等型之120”的结论可得OEOF两种情况，如图： 第 3 题答图 A D B C O O F N E M E M F N
