1、 专题专题 1111轴对称轴对称 破题策略破题策略 成轴对称的两个图形全等； 如果两个图形关于某条直线对称， 那么对成轴是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线通常所说的翻折实质上就是轴对称变换图形沿着某条直线翻折， 这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题 例题讲解例题讲解 例 1 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中 DE交直线AP于点F （1）如图 1，若PAB20，求ADF的度数； （2）如图 2，若 45PAB90，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明； 解 （1）如图 3，连接AE，则PAEPA
2、B20，AEAB 四边形ABCD为正方形 BAD90，ABAD EDA130 ADF25 （2）如图 4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EFBF，AEABAD ABFAEFADF， BFDBAD90 BF 2FD2BD2 EF2FD2 2AB 22 例 2 菱形纸片ABCD的边长为 2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点 处，折痕分别为EF、GH当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情 况是怎样的？ 小明发现：若ABC60， 如图 1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_； 如图 2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFC
3、HG的周长_（填“改变” 或“不变”） 请帮助小明解决下面问题： 如果菱形纸片ABCD边长仍为 2，改变ABC的大小，折痕EF的长为m （1）如图 3，若ABC120，则六边形AEFCHG的周长为_； （2）如图 4，若ABC的大小为2，则六边形AEFCHG的周长可表示为_ 答案：（1）6；不变；（2）324；44sin （1）如图 1，因为EFABFCCHAGGH1，所以周长为 6 如图 2，因为EBF、GHD为等边三角形，所以EFBE，GHGD 因为四边形FCDG、AEHD为平行四边形，所以FCGDDHAE，同理可得CHBEAG 所以周长不变 （2）当ABC120时，EPBE3，GHGD3
4、 因为AEDHDGFC，AGBFBECH 所以六边形AEFCHG的周长为ABADBE3GD3423 当ABC2时，EF2BEsin，GH2DGEsin 所以六边形AEFCHG的周长为 44sin 例 3 有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， 得到折痕EF，把纸片展开（如图 1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使 折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图 2）请解答以下问题： （1）如图 2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论； （2）在图 2 中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片AB
5、CD上剪出符合 （1）中结论的三角形纸片BMP？ （3）设矩形ABCD的边AB2，BC4，并建立如图 3 所示的直角坐标系设直线BM为y kx，当MBC60时，求k的值，此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上 （E、F分别为AB、CD中点），为什么？ 解：（1）BMP是等边三角形 连接AN EF垂直平分AB， ANBN 由折叠知ABBN， ANABBN， ABN为等边三角形， ABN60 PBN30 又ABMNBM30，BNMA90， BPN60，MBPMBNPBN60 BMP60， MBPBMPBPM60 BMP为等边三角形 （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BCBP 在
6、RtBNP中，BNBAa，PBN30 ba 2 3 所以当ba 2 3 时，在矩形上能剪出这样的等边BMPtan （3）MBC60， ABM906030 在 RtABM中， AB MA MAB tan M（ 3 32 ，2），代入ykx中，得3 3 32 2 k 设ABM沿BM折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A，过A作AHBC交BC于H ABMABM， ABMABM30，ABAB2 ABHMBHABM30 在 RtABH中，AH 2 1 AB1，BH3 A落在EF上 进阶训练进阶训练 1已知：在菱形ABCD中，ADC120，E是对角线AC上一点，连结DE，DEC 50， 将线段BC绕点B逆时针旋转 50并延长得到射线BF，交ED的廷长线于点G求证：EG BC 2如图，有一矩形纸片ABCD，AB8，AD17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC上的 A 处， 折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点） ， 设BA x， 则x的取值范围是_ 3如图，将正方形ABCD翻折，使点B落在CD边上点E处（不与C，D重合），压平 后得到折痕MN设 nCD CE1 ，则_ BN AM （用含n的式子表示）
