1、专题专题 1818弦图模型弦图模型 破解策略破解策略 1内弦图 如图， 在正方形ABCD中，BFCG，CGDH，DHAE，AEBF， 则ABEBCFCDGDAH 证明 因为ABCBFC90 所以ABEFBCFBCFCB90 所以ABEFCB 又因为ABBC所以ABEBCF， 同理可得ABEBCFCDGDAH H G F E D C B A 2外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则QBMMCNNDPPAQ 证明 因为BQMNC90， 所以BQMQMBQMBNMC90， 所以BQMNMC 又因为QM MN，所以QBMMCN 同理可得Q
2、HMMCNNDPPAQ N M Q P D C B A 3括展 （1）如图，在 RtABH中ABH90，BEAH于点E所以 A BEBHEAHB （2）如图，在 Rt QBM和 RtBLK中，QBBL，QMBK，所以 QBMBLK E H B A 证明 因为BLK90，QMBK， 所以KBLQMBKBI十K 90 所以QMBK， 又因为QB BL 所以QBMBLK L K Q BM E 例题讲解例题讲解 例例 1 1 四边形ABCD是边长为 4 的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为 边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧） ，连结BF当点E在线段AD上时，AE1， 求
3、BF的长 G F E D C B A 解 如图，过点F作FH AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得ECD FEH，所以FH EDADAE3，EH CD4 因为CDHK为矩形，所以HKCD4，CKDHEHED1 所以FK FH十HK7，BKBCCK5 所以BF 22 FKBK74 H K A B C DE F G 例例 2 2 如图，BCD为等腰直角三角形，CBD90，BAC 45，若SACD45，求AC 的长 D C A B 解 如图，过点B作BEAC于点E，过点D作DFBF交EB的延长线于点F 由“外弦图
4、模型”可得BFDCEB， 所以BFCE 易证AEBE，所以ACEF， 所以SACDACEFAC245， 1 2 1 2 从而AC3 E F B A C D 例例 3 3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探 究，提出下列问题，请你给出证明 （1）如图 1，在矩形ABCD中，EFCH，EF分别交AB，CD于点F，F，GH分别交AD，BC 于点GH求证： EF GH AD AB （2） 如图 2， 在满足 （1） 的条件下， 又AMBN， 点M，N分别在边BC，CD上， 若 EF GH 11 15 ，则 BN AM （3）如图 3，在四边形ABCD中，ABC9
5、0，ABAD10，BC CD5，AMDN， 点M，N分别在边BC，AB上，求的值 DN AM 图 3 图 2 图 1 D N M B A N M A B C D G F E HH E F G D C B A 解 （1）如图 4过点A作APEF交CD于点P，过点B作BQGH，交AD于点Q 因为四边形ABCD是矩形 所以ABDC，ADBC 所以四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形， 所以APEF，GHBQ 又因为CHEF 所以APBQ 所以QATAQT90 因为四边形ABCD是矩形， 所以DABD90， 所以DAPDPA90， 所以AQTDPA 所以PDAQAB 所以， AP BQ AD
6、AB 所以 EF GH AD AB P T Q H G F E B DC A （2）因为EFGH，AMBN 所以由（1）中的结论可得， EF GH AD AB BN AM AD AB 所以 BN AM EF GH 11 15 （3）如图 5过点D作平行于AB的直线，交过点A且平行于BC的直线于点P，交BC 的延长线于点S 则四边形ABSR是平行四边形 因为ABC90， 所以四边形ABSR是矩形 所以RS90，RSAB10，ARBS 因为AMDN 所以由（1）中的结论可得 DN AM AR AB 设SCx，DSy，则ARBS5xRD10y ， 所以在 RtCSD中，x2y225 在 RtARD中
7、（5x）2（10y）2100 联立方程组， 22 222 25 (5x)(10y)10 xy 得（舍），或 5 0 x y 3 4 x y 所以AR5x8， 所以 DN AM AR AB 8 10 4 5 N M SR D C B A 进阶训练进阶训练 1如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线，y（k0）同时经过点 B且 k x 点A在点B的左侧，点A的横坐标为AOBOBA45，则k_ _ 2 x y B A O 2如图，巳知ABC90，D是直线AB上的点，ADBCE是直线BC上的一点，且 CEBD直线AE，DC相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数 ； 若不是，请
8、说明理由 E P D C B A 3如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合BP的垂直平分线分别 交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EHAB于点HEH与BP交于点M求证 ：HF AP H F E Q P D C B A 参考答案：参考答案： 专题 18： 弦图模型 11 5 【提示】过点A作AMy轴于点M，过点B作BDx轴于点D，直线AM，BD交于点N，则四 边形OMND为矩形，易证AOMABN，所以AMBN，OMAN，BD2 2 k 2 k 2 ，OD，所以点B（，） ，根据双曲线表达式，有（ 2 k 2 2 k 2 2 k 2 2 k 2 ）（）k，解得k1 2 k 25 x y D N M A B O 2APD45，为固定值 【提示】 如图，过点A作AFAB，并截取AFBD，连结DF，CF可得AFCE，AFCE， 所以四边形AFCE是平行四边形， 所以FCAE， APDFCD 易证DAFCBD 则1 2，FDDC从而APDFCD45 F 3 21 A B C D P E 3略 【提示】 显然四边形EHBC为矩形，所以FHBCAB，所以PABFHE（ ASA）所 以HFAP
