1、专题专题 2121等腰三角形的存在性等腰三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图 1 所示： 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径 的圆上（不与线段AB共线） AB 图 1 A BC D 图 2 解等腰三角形的存在性问题时， 若没有明确指出等腰三角形的底或腰， 就需要进行分类 讨论通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算 如图 2，若ABAC，过点A作ADBC，垂足为D，则BDCD，BADCAD，从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题 （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论
2、列方程，然后解方程并检验 有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好 例题讲解例题讲解 例例 1 如图，正方形ABCD的边长是 16，点E在AB边上，AE3，F是BC边上不与B，C重 合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB A B C D E F B 解解 16 或 4 5 如图 1，当CBCD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去； 如图 2，当DBCD时，DB16； 如图 3，当DBBC时，过点B作GHAD，交AB于点G，交CD于点H 显然G，H分别为AB，CD的中点 由题意可得BE13，DHBG8，所以EG5， 从而BG12，BH4， 22 B
3、EEG 所以DB4 22 B HDH5 图 1 A B C D E B (F) 如图 2 所示：当DBCD时，则DB16（易知点F在BC上且不与点C、B重合） 图 2 如图 3 所示：当BDBC时，过B点作GHAD，则BGE90 图 3 当BCBD时，AGDHDC8 1 2 由AE3，AB16，得BE13 由翻折的性质，得BEBE13 EGAGAE835， BG， 22 12B EEG BHGHBG16124， DB 22 45B HDH 例例 2 如图，在ABC中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方 向向点A匀速运动， 同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，
4、它们的速度均为1cm/s 连 接PQ，设运动时间为t（s）（0t4）， 解解：如图，过点P作PHAC于H， C90，ACBC， PHBC， APHABC， ， PH BC AP AB AC4cm，BC3cm， AB5cm， 3 PH5t t PH3t，AH 3 5 4(5) 5 t QH，PQ 9 4 5 t 222 9318 (4)(3)1825 555 tttt 在APQ中， 当AQAP，即t5t时，解得：t1； 5 2 当PQAQ，即t时，解得：t2，t35； 2 18 1825 5 tt 25 13 当PQAP，即5t时，解得：t40，t5； 2 18 1825 5 tt 40 13
5、0t4， t35，t40 不合题意，舍去， 当t为s或s或s时，APQ是等腰三角形 5 2 25 13 40 13 例例 3 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的 正半轴上，OA1，OC2，点D在边OC上且OD 5 4 （1）求直线AC的解析式； （2） 在y轴上是否存在点P， 直线PD与矩形对角线AC交于点M， 使得DMC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 解解：（1）设直线AC的解析式ykxb， 又OA1，OC2， A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k，b1 1 2 直线AC的函数解析式：
6、y 1 1 2 x （2）若DC为底边， M的横坐标为， 5 2 4 2 13 8 则点M的坐标为（，） 13 8 3 16 直线DM解析式为：y 15 28 x P（0，）； 5 8 若DM为底，则CDCM， 3 4 AMAN， 3 5 4 N（，1）， 3 5 4 可求得直线DM的解析式为y（2）x（）， 5 5 4 5+2 P（0，（） 5 4 5+2 若CM为底，则CDDM 3 4 点M的坐标为（，） 4 5 3 5 直线DM的解析式为yx， 4 3 5 3 点P的坐标为（0，） 5 3 综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，），（0，（），（0，） 5 8 5 4 5+2 5 3 例
7、例 4 已知抛物线yx2mxn的对称轴为x2，且与x轴只有一个交点 （1）求m，n的值； （2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位，得到新的抛物线C， 求新抛物线C的解析式； （3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在 点D，使BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 解解：（1）抛物线的对称轴为x2， m4 抛物线与x轴只有一个交点， m24n0 从而n4 H D O y x B P （2）原抛物线的表达式为yx24x4（x2）2 所以抛物线C的表达式为yx21 （3）假设点D存在，设点D的坐标为
8、（d，d21） 如图，作DHy轴于点H， 则DH2 d2，BH2（d22）2 若BPD是等边三角形，则有，即d23（d22）2， = 3 DH BH 解得d或d 3 2 3 3 所以满足条件的点D存在，分别为D1（，2），D2（，2），D3（，）， 33 2 3 3 1 3 D4（，） 2 3 3 1 3 例例 5 5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx23x8 与x轴交于A，B两点，与 1 2 y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E （3，4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与 直线l交于点Q试探究：当m为何
9、值时，OPQ是等腰三角形 E l C B x y O D A 解 由抛物线yx23x8（x8）（x2） ， 1 2 1 2 可得点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0）（0，8） 所以CE5OE， 22 (3 0)(48) Q A D O y x B C l E 所以OEC是顶角为钝角的等腰三角形，即OEC90， OPQ曲等腰三角形有三种可能： 当POPQ时，即OPQ为顶角， 显然POQCOE， 所以OPQOEC90， 由题意可知这种可能性不存在； 当OPOQ时，则OPQOQP 如图 1，过点E作PQ的平行线，分别交x轴，y轴于点F，G， 则OGEOPQOQPOEG， 所以OGOE5，即
10、点G的坐标为（0，5）， 所以直线GE的表达式为yx5， 1 3 所以点F的坐标为（5，0） 而， OPOB OGOF 所以，即； 8 515 m 8 3 m A D O y x B C l E 当QOQP时，则QPOQOPOCE，所以CEPQ， 如图 2，设直线CE与x轴交于点H 由C，E两点的坐标可得直线CE的表达式为，yx8 4 3 所以点H的坐标为（6，0） ， OCOH OPOB 所以，即 86 8m 32 3 m 综上可得，当m的值为或时，OPQ是等腰三角形 8 3 32 3 进阶训练进阶训练 1如图，在 RtABC中，ACB 90，AC6，BC8，点D以每秒 1 个单位长度的速度
11、 由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点 D运动的时间为t，若DMN是等腰三角形，求t的值 A BC D M N 【答案】t5，6 或时，DMN是等腰三角形 36 5 2设二次函数yx22ax（a0）的图象顶点为A，与x轴的交点为B，C 2 2 a （1）当ABC为等边三角形时，求a的值， （2）当ABC为等腰直角三角形时，求a的值 【答案】（1）a；（2）a 62 3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），E为 线段AB上的一个动点（不与点A，B重合） ，以E为顶点作OFT45，射线ET交线段OB 于点F，C为
12、y轴正半轴上一点，且OCAB抛物线yx2mxn经过A，C两点 2 （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求证：BEFAOE； （3）当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标 【答案】（1）yx2x； （2）略 ； （3）点E的坐标为（1，1） ，（222 22 ，2） 2 【提示】（2）由BAOFEOABO45即可证； （3）分类讨论：当OEOF时， 点E与点A重合，不符合题意； 点EOEF时（如图 1），易证AFOBFE，从而BEAC2，再过点E作EH y 轴，即可求得点E（，2）； 22 当FEFD时（如图 2） ，此时BFE和OFE均为等腰直角三角形，求得点E（1，1） F C B x
13、y O T E H E T O y x B C F E T O y x B C F 4如图，抛物线yax26xc与x轴交于点A（5，0），B（1，0），与y轴交于点 C，P是抛物线上的一个动点，连结PA，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，请问： APD能否为等腰三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由 【答案】APD能为等腰三角形，点P的坐标为（2，3） ，（1，0） ，（，622 7），或（，67） 22 【提示】 由点A，B的坐标可得抛物线的表达式为yax26x5 从而得到C（0， 5） 所 以直线AC：yx5 可设点P（m，m26m5），则D（m，m5） APD为等腰三角
14、形有三种情况，由ADP45或 135用代几结合解决问题 当APAD时，FAD90，得P（一 2，3）； 当APPD时，APD90，得P（1，0）； 当ADPD时，可列方程， 2 525mmm 从而m， 得P（， 67），或（， 67） 22222 5如图，抛物线yax22x3 与x轴交于A，B两点，且点B 的坐标为（1，0）直线yx分别与x轴，y轴交于C，F 2 3 4 9 两点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点， 过点Q作y轴的平行线， 交直线CF干点 D 点 E在线段CD的延长线上，连结QE，问：以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若 存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由
15、x y E Q O D C BA 【答案】存在，以QD为腰的等腰QDE的面积最大值为 54 13 【提示】有题意可得抛物线的解析式为yx22x3，点C（，0），F（0，），从 2 3 4 9 而 tanEDQtanOFC， 如图， 作QGCE于点G， 设DQt， 则QGt，DG 3 2 3 13 13 2 13 13 t， 若DQDE，则DE2DG，从而QDE的面积为SDEQGt2 1 2 6 13 显然t2t2 6 13 3 13 26 所以当DQEQ时，S取最大值设点Q（x，x22x3），则tQDx2x，可 4 3 23 9 得t3 时，Smax 54 13 A D O y x B C P
