1、 专题专题 2929函数与圆函数与圆 破解策略破解策略 直线与圆位置关系的解题策略： （1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题； （2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题； （3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题； （4）构造相似三角形，列比例式解决问题 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图，直线l：y 4 3 x4 与x轴、y轴分别交于点A，B，O的半径为 1，C是y 轴正半轴上的一个点，如果C与D相切，又与直线l相切，求圆心C的坐标 解 如图 1，过点C作CDAB于点 D易证CDBAOB所以 3 5 CDAO CBAB 设C
2、D 3m，BC5m，则点C的坐标为（0，45m），C的半径为 3m 所以O与C的圆心距为dOC45m x y B A O C x y x y x y B A D B A D B A D 图3 图2 图1 OO O C C C 如图 2，当两圆外切时有 3m145m， 解得m 3 8 ，此时圆心C的坐标为（0，17 8 ） 如图 3当两圆内切时，有 3m145m 解得m 5 8 此时圆心C的坐标为（0， 7 8 ）， 综上可得，符合满足题意的圆心C的坐标为（0， 17 8 ）或（0， 7 8 ） 例例 2 2 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点 （1，1），
3、（2，2），都是梦之点，显然梦之点有无数个点Q是反比例函数y 4 x x y A r2 r1 l M2 M M1 N2 N1 N Q(-2,-2) O 上异于点P（2，2）的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，tanOAQ1已知点M（m， 3）若O的半径为2，在O上存在一点N，使得直线MNl或MNl，求出m的取值 范围 解 因为 tanOAQ1 所以OAQ45， 由已知MNl或MNl， 所以直线MN为yxb或yxb 若MN为yxb时，将点M的坐标代入，可得mb3 （i）如图，当直线MN平移至与O相 切，且切点在第三象限时，b取得最小值 此时MN记为M1N1，其中N1为切点， T1为直线M1N
4、1与y轴的交点， 显然OT1N1为等腰直角三角形， 所以OT12ON12， 所以b的最小值是2 所以m的最小值是5 （ii）如图，当直线MN平移至与O相 切，且切点在第一象限时，b取得最大值 此时MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点， 同理可得b的最大值为 2，m的最大值为1 所以m的取值范围为 5rn1， 若直线MN为yxb 同理可得m的取值范因为 1m5 综上所述，m的取值范围为5m1 或 1m5 例例 3 3 设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接 圆半径为R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdR的点叫做等边三角形
5、的中心关联点 在平面直角坐标系xOy中， 等边ABC的三个顶点的坐标分别为A（0， ， 2） ， B（3，1），C（3，1） x y x y A BC M A BC 图2 1 1 图1 1 1 O O Q （1）如图 1过点A作直线交x轴正半轴于点M，使AMO30若线段AM上存在等 边ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围； （2）如图 1，将直线AM向下平移得到直线ykxb，当b满足什么条件时，直线y kxb上总存在等边ABC的中心关联点？ x y A BC M H G 图3 O x y A B C G I J K 图4 O x y L A BC 图5 O Q1Q2 （3）如图 2，
6、Q为直线y1 上一动点，Q的半径为 1 2 ，当点Q从点（4，1） 出发，以每秒 1 个单位的速度向右移动，运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得Q 上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值； 如果不存在，请说明理由 解 （1）由AMO30可得AM2OA4，OM3OA23 如图 3过点O作OHAM于点H 易求OH 1 2 OM3， 即AM与外接圆相交，与内切圆相离，记AM与外 接圆的另一个交点为G 连结OG，则OAG为等边三角形， 所以ACOG 1 2 AM， 即G为AM的中点， 所以点G的坐标为（3，1） 显然AG上的点都是ABC的中心关联点， 所以 0
7、M3 （2）直线AM向下平移的过程中，只要与ABC 的外接圆和内切圆组成的圆环有交点，则直线 ykxb上就存在等边ABC的中心关联点 如图 4，直线IJAM，且与ABC的外接圆相切 于点K，此时为直线ykxb的临界状态 连鲒OK，则OK2 所以OJ 4 3 cos303 OK ， 所以 4 3 3 b2 （3）存在符合题意的t的值为 4 5 2 或 4 5 2 如图 5，当点Q移动到Q1Q2住置时即Q内切 圆环时，Q上所有点都是等边ABC的中心关联点 连结OQ1，OQ2， 则OQ1OQ2 3 2 令直线y1 与y轴的交点为L，则OL1 所以Q1LQ2 2 35 ( )1 22 ， 所以 1 5
8、 4 2 t ， 2 5 4 2 t 进阶训练进阶训练 1在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 2bxc 交x轴于A，B两点，交y轴于点C， 已知抛物线的对称轴为x1，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3） （1）求抛物线的表达武； （2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切， 求此圆的半径 答案： （1） 抛物线的表达式为32 2 xxy； （2） 满足条件的圆有 2 个， 其半径为 2 171 或 2 171 【提示】（2）令点M在点N的左侧，设圆的半径为r，则xNr1，yNr 24，若以 MN为 直径的圆与x轴相切，则rr4 2 ，解得 2
9、 171 1 r， 2 171 2 r，如图，满足条 件的圆有两个，其半径为 2 171 或 2 171 O2 O1 N2 N1 M2 M1 BAO y x 2在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m0，点B的坐标为（n，0）， 将线段AB绕点B旋转 90，分别得到线段BP1，BP2，称点P1，P2为点A关于点B的“伴 随点”，图 1 为点A关于点B的“伴随点”的示意图 y x P2 P1 B O A C y x O 图 1 图 2 （1）已知点A的坐标为（0，4），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，求y与x之 间的关系式； （2）如图 2，点C的坐标为（3，0），以C为圆
10、心，2为半径作圆，若在C上存在点 A关于点B的“伴随点”，求出点A纵坐标m的取值范围 答案：（1）yx4；（2）5m1 或 1m5 【提示】（1）如图，分别过点P1，P2向x轴作垂线，垂足分别为M、N，对于伴随点P1（x， y）， 有AOBBMP1， 所以BMOA4，OBMP1y， 所以BMOBOMyx4， 即yx4，对于伴随点P2（x，y）有AOBBNP2，所以BNOA4，OBNP2y， 所以BNONOBxy4，即yx4 （2）点A（0，m），点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，则y与x之间的关系式为y xm， 或yxm， 所以C与直线yxm，yxm的位置关系为相交或相切， 相切时的位置
11、关系如图所示当yxm与O相切时，得m5 或 1，当yxm 与O相切时，得m5 或1，所以5m1 或 1m5 N M y x P2（x，y） P1（x，y) B O A y=-x-m y=-x-m y=x-m y=x-m C y x O 3在平面直角坐标系xOy中，绐出如下定义：对于C及C上两点M、N，当MPN最大时， 称MPN为点P关于C的“视角” y=- 3 3 x+2 1-1O y x C F E O y x 图 1 图 2 （1）如图 1，O的半径为 1，若点P在直线2 3 3 xy上，且点P关于O的“视角” 大于 60，求点P的横坐标xP的取值范围； （2）如图 2，C的圆心在x轴上，
12、半径为 1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0， 1），若线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于 120，求点C的横坐标xC的 取值范围 答案：（1）0xP3；（2）xC 3 32 或xC 3 32 【提示】（1）因为点P关于O的视角为 60时，点P在以O为圆心，2 为半径的圆上， 而点P关于O的“视角”大于 60，所以点P在以O为圆心，1 位半径和以O为圆心， 2 为半径的圆环内，因为点P在直线2 3 3 xy上，如图，则半径为 2 的圆与直线 2 3 3 xy的交点为临界点，此时xP0 或3，所以 0xP3 （2）因为关于C的“视角”小于 120，所以该点在以C为圆心， 3 32 为半径的圆外， 所以xC 3 32 或xC 3 32 2 y=- 3 3 x+2 1-1O y x 2 3 3 C F E O y x
