1、 20012001- -20122012 年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（1212 专题）专题） 专题专题 1212：押轴题：押轴题 一、一、选择题选择题 1. （2001 广东深圳广东深圳 3 分）分）已知：如图，AB 是O 的直径，直线 EF 切O 于点 B，C、D 是O 上的点， 弦切角CBE=40o， ADCD，则BCD 的度数是【 】 (A) 110o (B) 115o (C) 120o (D) 135o 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，圆内接四边形的性质。 【分析】【分析】如图，连接 BD
2、， AB 是O 的直径，直线 EF 切O 于点 B， EFAB，即ABE900。 弦切角CBE40o，ABC50o。 ADCD，ABDDBC25o。 又AB 是O 的直径，ADB90o。BAD65o。 A、B、C、D 四点共圆，BCD180o65o115o。故选 B。 2.（深圳深圳 2002 年年 3 分）分）反比例函数 y=)0k( x k 在第一象限内的图象如图，点 M 是图象上一点，MP 垂 直 x 轴于点 P，如果MOP 的面积为 1，那么 k 的值是【 】 A、1 B、2 C、4 D、 2 1 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】反比例函数系数 k 的几何意义。 【分析】【分析】
3、根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关 系 S= 1 2 |k|即可求得 k 的值： 点 M 是反比例函数 y=(0) k k x 图象上一点，SMOP= 1 2 |k|=1。 又k0，则 k=2。故选 B。 3. （深圳（深圳 2003 年年 5 分）分）如图，直线 l1/l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则 AE：EC 是【 】 A、5：2 B、4：1 C、2：1 D、3：2 【答案】【答案】 C。 【考点】【考点】相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】如图所示，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1， 设 AF=2x
4、，BF=3x，BC=2y，CD=y。 由 l1/l2，得AGFBDF， AG AF BDBF ，即 AG 2x 3y3x 。AG=2y。 由 l1/l2，得AGECDE， AE AG2y 2 1 ECCDy :。故选 C。 4. （深圳（深圳 2004 年年 3 分）分）抛物线过点 A（2，0） 、B（6，0） 、C（1，3） ，平行于 x 轴的直线 CD 交抛物 线于点 C、D，以 AB 为直径的圆交直线 CD 于点 E、F，则 CEFD 的值是【 】 A、2 B、4 C、5 D、6 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。 【分析】【分析
5、】根据题意，G 为直径 AB 的中点，连接 GE，过 G 点作 GHCD 于 H知 CEFD=CDEF=CD2EH， 分别求出 CD，EF 即可： 由抛物线过点 A（2，0） 、B（6，0）得：抛物线对称轴为 x=4。 由抛物线过点 C （1，3） ， 平行于 x 轴的直线 CD 交抛物线于点 C、 D ， 得 D 点坐标为（7，3） 。 如图，G 为直径 AB 的中点，连接 GE，过 G 点作 GHCD 于 H， 则 GH= 3，EG=2，EH= 22(3)2=1。 CEFD=CDEF=CD2EH=2=4。故选 B。 5. （深圳（深圳 2005 年年 3 分）分）如图，AB 是O 的直径，
6、点 D、E 是半圆的三等分点，AE、BD 的延长线交于点 C，若 CE=2，则图中阴影部分的面积是【 】 A、3 3 4 B、 3 2 C、3 3 2 D、 3 1 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】扇形面积的计算 【分析】【分析】 已知 D、 E 是半圆的三等分点， 如果连接 DE、 OE、 OD， 那么OAE、 ODE、OBD、CDE 都是等边三角形，由此可求出扇形 OBE 的圆心角的 度数和圆的半径长；由于AOE=BOD，则 ABDE，SODE=SBDE；可知阴 影部分的面积=S扇形OAESOAES扇形ODE求解： 连接 DE、OE、OD，点 D、E 是半圆的三等分点， AOE=EO
7、D=DOB=60 。 OA=OE=OD=OB。 OAE、ODE、OBD、CDE 都是等边三角形。 ABDE，SODE=SBDE。 图中阴影部分的面积=S扇形OAESOAES扇形ODE 2 60214 223 3 36023 。故选 A。 6. （深圳（深圳 2006 年年 3 分）分）如图，在ABCD 中，AB: AD = 3:2，ADB=60 ，那么 cos的值等于【 】 36 6 32 2 6 36 6 32 2 6 7. （深圳（深圳 2007 年年 3 分）分）在同一直角坐标系中，函数(0) k yk x 与(0)ykxk k的图象大致是【 】 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一
8、次函数和反比例函数的图象。 【分析】【分析】若k0，反比例函数(0) k yk x 的图象经过一、三象限，一次函数(0)ykxk k的图象经过一、 二、三象限，答案 C 符合条件；若k0，反比例函数(0) k yk x 的图象经过二、四象限，一次函数 (0)ykxk k的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选 C。 9. （深圳（深圳2009年年3分）分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD/BC，AC平分BCD，ADC=120 ，四边形 ABCD的周长为10cm图中阴影部分的面积为【 】 A. 3 2 cm2 B. 2 3 3 cm2 C. 2 3 cm2 D. 4
9、3 cm2 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】平行的性质，圆的对称性，角平分线的定义，圆周角定理，勾股定理。 【分析】【分析】要求阴影部分的面积，就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的，然后依面积公式计算： 由 AD/BC 和圆的对称性，知ABDC。 AC 平分BCD，ADABDC。AD=AB=DC。 又ADBC，AC 平分BCD，ADC=120 ，ACD=DAC=30 。 BAC=90 ，B=60 。BC 是圆的直径，且 BC=2AB。 根据四边形 ABCD 的周长为 10cm 可解得圆的半径是 2cm。 由勾股定理可求得梯形的高为3cm。 所以阴影部分的面积= 1 3 （半圆面积梯形
10、面积）= 2 1 1242 233 3 223 （cm2） 。故选 B。 10.（深圳（深圳 2010 年学业年学业 3 分）分）如图，点 P（3a，a）是反比例函 y k x （k0）与O 的一个交点，图中阴 影部分的面积为 10，则反比例函数的解析式为【 】 Ay3 x By 5 x Cy 10 x Dy12 x 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】反比例函数和圆的中心对称性，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】根据反比例函数和圆的中心对称性，图中阴影部分的面积实际上是 1 4 圆的面积。由勾股定理，可 得圆的半径为10a。因此，由图中阴影部分的面积为 10 可得 2
11、 1 10a10 4 ，解得 a=2（因果点 P 在第一象限，a0，负数舍去） 。点 P（6，2） 。代入 y k x ，得 k=12。则反比例函数的解析式为 y12 x 。 故选 D。 11. （深圳（深圳 2010 年招生年招生 3 分）分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AFDE 于点 O，则 AO DO 等于【 】 A . 2 5 3 B . 1 3 C . 2 3 D . 1 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】由正方形四边相等的性质和 E 为 AB 的中点，得 AE1 DA2 。 由正方形四个角等于 9
12、00的性质和 AFDE，可得AOEDOA， AOAE1 DODA2 。故选 D。 12. （深圳（深圳 2011 年年 3 分）分） 如图， ABC 与DEF 均为等边三角形， O 为 BC、 EF 的中点， 则 AD： BE 的值为 【 】 A. 3:1 B. 2:1 C.5:3 D.不确定 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】连接 AO，DO。设等边ABC 的边长为a，等边ABC 的边长为b。 O 为 BC、 EF 的中点， AO、 DO 是 BC、 EF 的中垂线。 AOC=DOC=900， AOD=1800COE。又BOE=
13、1800COE，AOD=BOE。 又由 AO、 DO 是 BC、 EF 的中垂线， 得 OB= 1 2 a， OE= 1 2 b， OA= 3 2 a， OD= 3 2 b。 从而 33 OAODOAOD 22 3 , 3 , AODBOE 11 OBOEOBOE 22 ab ab 。 AD：BE=3:1。故选 A。 13.（2012 广东深圳广东深圳 3 分）分）如图，已知：MON=30o，点 A1、A2、A3 在射线 ON 上，点 B1、B2、B3 在射线 OM 上，A1B1A2. A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若 OA1=l，则A6B6A7 的边长为【 】 A6 B12 C3
14、2 D64 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含 30 度角 的直角三角形的性质。 【分析】【分析】如图，A1B1A2是等边三角形， A1B1=A2B1，3=4=12=60 。2=120 。 MON=30 ，1=180 120 30 =30 。 又3=60 ，5=180 60 30 =90 。 MON=1=30 ，OA1=A1B1=1。A2B1=1。 A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10=60 ，13=60 。 4=12=60 ，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3。 1=6=7=30 ，5
15、=8=90 。A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。 A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即A6B6A7 的边长为 32。故选 C。 二、二、填空题填空题 1. （2001 广东深圳广东深圳 3 分）分）如图, O 的直径 AB=10cm，C 是O 上一点，点 D 平分BC，DE=2cm，则弦 AC= 。 【答案】【答案】6cm。 【考点】【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理。 【分析】【分析】点 D 平分BC，OD 是 BC 的中垂线，即 BC=CE，ODBC。 的直径 AB=10cm，D
16、E=2cm，OB=OD=5cm，OE=3cm。 AB 是O 的直径，ACBC。OE 是ABC 的中位线。AC=2OE=6cm。 2.（深圳深圳 2002 年年 3 分）分）如果实数a、b满足(a1)2=33(a1)，3(b1)=3(b1)2，那么 ba ab 的 值为 。 【答案】【答案】2 或 23。 【考点】【考点】一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值。 【分析】【分析】当a和b相等时，原式=2； 当a和b不相等时，a和b为（x1)2=33(x1)的两根，化简方程得 2 510xx 。 由一元二次方程根与系数的关系，得ab=5，ab=1， 22 22 252 1 2
17、3 1 ababbaba ababab 。 故答案为：2 或 23。 3.（深圳（深圳 2003 年年 5 分）分）如图，已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，且 AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题 错误的是【 】 A、AEDBEC B、AEB=90 C、BDA=45 D、图中全等的三角形共有 2 对 【答案】【答案】 D。 【考点】【考点】圆周角定理，相似三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等的三角形的判定。 【分析】【分析】A、根据圆周角定理的推论，可得到：ADE=BCE，DAE=CBEAEDBED，正确； B、由四边形 ABCD 是O 的内接四边形，且
18、AB=CD，有ABCD，从而根据等弧所对圆周角相等的 性质，得EBC=ECB，由等腰三角形等角对等边的性质，得 BE=CE，BE=CE=3，AB=5，AE=ACCE=4， 根据勾股定理的逆定理，ABE 为直角三角形，即AEB=90 ，正确； C、AE=DE，EAD=EDA=45 ，正确； D、从已知条件不难得到ABEDCE、ABCDCB、ABDDCA 共 3 对，错误。故选 D。 【注：2003 年无填空题，以倒数第二条选择题代之】 4. （深圳（深圳 2004 年年 3 分）分）在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 E， 连结 DE 交 AC
19、 于点 P，过 P 作 PFBC，垂足为 F，则 CB CF 的值是 . 【答案】【答案】 1 3 。 【考点】【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】【分析】根据题意易证OBEDBC 和EPFED，利用相 似三角形的相似比求解： OB=BD，OEBC，CDBC，OBEDBC。 OE1 CD2 。 OECD，OEPCDP。 EPOE1 PDCD2 。 PFDC，EPFEDC。 CF2 CE3 。 CE= 1 2 BC， CF1 CB3 。 5.（深圳（深圳 2005 年年 3 分）分）如图，口ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将ABE 向上翻折，点 A 正好
20、落在 CD 上的点 F，若FDE 的周长为 8 cm，FCB 的周长为 22 cm，则 FC 的长为 cm。 【答案】【答案】6。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，平行四边形的性质。 【分析】【分析】 根据折叠的性质， 折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化， 对应边和对应角相等， AE=EF， AB=BF。 FDE 的周长为 DE+FE+DF=AD+DF=8， 即 AD+ABFC=8， FCB 的周长为 FC+AD+AB=20， ，得 2FC=12，FC=6（cm） 。 6. （深圳（深圳 2006 年年 3 分）分）在ABC 中，AB 边上的中线 CD=3，AB=6，BC+AC=
21、8，则ABC 的面积为 【答案】【答案】7。 【考点】【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】【分析】根据条件先确定ABC 为直角三角形，再求得ABC 的面积： 如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线， CD=3，AB=6，AD=DB=3，CD=AD=DB。1=2，3=4。 1+2+3+4=180 ，1+3=90 。ABC 是直角三角形。 AC2BC2=AB2=36。 又ACBC=8，AC22ACBCBC2=64。2ACBC=64（AC2BC2）=6436=28。 ACBC=14。SABC= 1 2 ACBC= 1 2 14=
22、7。 7.（深圳（深圳 2007 年年 3 分）分）邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入数据 1 2 3 4 5 6 输出数据 1 2 2 7 3 14 4 23 5 34 6 47 那么，当输入数据是7时，输出的数据是 【答案】【答案】 7 62 。 【考点】【考点】分类归纳（数字的变化类） 。 【分析】分析】寻找规律：分子的规律很好找，就是 1，2，3，4，5，6，输入数据 7，分子就是 7。分母的规律画树 状图寻找： 因此，当输入数据是 7 时，输出的数据是 7 62 。 8.（深圳（深圳 2008 年年 3 分）分） 观察表一，寻找规律表二、表三分别是从表一中选取的
23、一部分，则ab的值为 【答案】【答案】37。 【考点】【考点】分类归纳（数字变化类） 。 【分析】【分析】寻找规律，第一行和列的后一数字比前一数字多 1，第二行和列的后一数字比前一数字多 2，第三行和 列的后一数字比前一数字多 3， ，据此规律，结合表二、三，补上表一： 从蓝框可见，17a ，20b ，37ab。 9.（深圳（深圳 2009 年年 3 分）分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b） 进入其中时，会得到一个新的实数：a2b1，例如把（3，2）放入其中，就会得到 32（2）1=6。现将 实数对（m，2m）放入其中，得到实数 2，则 m= 0
24、 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 13 2 5 8 11 14 17 20 3 7 11 15 19 23 27 4 9 14 19 24 29 34 5 11 17 23 29 35 41 【答案】【答案】3 或1。 【考点】【考点】新定义，因式分解法解一元二次方程。 【分析】【分析】把实数对（m，2m）代入 a2b1=2 中得 m22m1=2， 即 m22m3=0， 因式分解得（m3） （m1）=0，解得 m=3 或1。 10. （深圳（深圳 2010 年学业年学业 3 分）分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏 东 60 方向上，航
25、行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30 方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置 【答案】【答案】15。 【考点】【考点】解直角三角形的应用（方向角问题） ，垂直线段的性质，平行的性质，三角形 外角定理，等腰三角形的判定，含 30 度角直角三角形的性质。 【分析】【分析】过点 M 作 MCAB 于点 C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近 的位置即为点 C。 由两直线平行， 内错角相等的性质， 得ADB=60 ， 从而由DBM=30 和三角形外角定理，得DMB=DBM=30 。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得 AB=MB。 设渔船航行的速
26、度为 v 单位/分钟，则由已知 MB= AB=30v 单位。 在 RtBCM 中，MCB=90 ，MBC=30 ，则 BC= 1 2 MB=15v 单位。则渔船从 B 处航行到 C 处所用时间 为 15v v =15 分钟。即该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。 11.（深圳（深圳 2010 年招生年招生 3 分）分）如图，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为 cm（结果不取近似值） 【答案】【答案】1+5。 A B M 北 北 30 60 东 C D 【考点
27、】【考点】正方形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】由于 BD 长固定，因此要求PBQ 周长的最小值， 即求 PB+PQ 的最小值。根 据正方形的轴对称性和点 Q 为 BC 边的中点， 取 CD 的中点 Q，连接 BQ交 AC 于点 P。 此时得到的PBQ 的周长最小。根据勾股定理，得 B Q=5。因此，PBQ 周长的最 小值为 BQ+PB+PQ= BQ+ B Q=1+5（cm） 。 12. （深圳（深圳 2011 年年 3 分）分）如图，ABC 的内心在 y 轴上，点 C 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ，直线 AC 的解析式为 1 1 2 y
28、x，则 tanA 的值是 . 【答案】【答案】 1 3 。 【考点】【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。 【分析】【分析】过 A 作 AEX 轴于 E，AC 交 Y 轴于 D，AB 交 X 轴于 F。 点 C 的坐标为（2,0） ，点 B 的坐标为（0,2） ， OCB=OBC=45 ，BC= 22 222 2。 又ABC 的内心在 y 轴上，OBF=OBC=45 。 ABC=90 ，BF=BC=2 2，CF=4，EF=EA。 又直线 AC 的解析式为 1 1 2 yx，OD：OC=1：2。 A 点在直线 AC 上，AE：EC=1：2，即 AE： （E
29、F+CF）=AE： （AE+4）=1：2。 解之，EF=AE=4，FA= 22 444 2。AB=BF+FA=6 2。 在 Rt ABC 中，tanA= BC2 21 AB36 2 。 13.（2012 广东深圳广东深圳 3 分）分）如图，RtABC 中，C= 90o，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线 交于点 D，连接 OC，已知 AC=5，OC=62，则另一直角边 BC 的长为 【答案】【答案】7。 【考点】【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定 理。 【分析】【分析】如图，过 O 作 OF 垂直于 BC，再
30、过 O 作 OFBC，过 A 作 AMOF， 四边形 ABDE 为正方形，AOB=90 ，OA=OB。 AOM+BOF=90 。 又AMO=90 ，AOM+OAM=90 。BOF=OAM。 在AOM 和BOF 中， AMO=OFB=90 ，OAM=BOF， OA=OB， AOMBOF（AAS） 。AM=OF，OM=FB。 又ACB=AMF=CFM=90 ，四边形 ACFM 为矩形。AM=CF，AC=MF=5。 OF=CF。OCF 为等腰直角三角形。 OC=62，根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即 2CF2=（62）2，解得：CF=OF=6。 FB=OM=OFFM=65=1。BC=CF+
31、BF=6+1=7。 三、三、解答题解答题 1. （2001 广东深圳广东深圳 10 分分）已知：如图，等腰ABC，AB=AC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，CEBF 于点 O。 求证： （1）四边形 EFCB 是等腰梯形； （2）EF2+BC2=2BE2 【答案】【答案】证明：（1）点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，即 BE= 1 2 AB，CF= 1 2 AC。 EF 是ABC 的中位线。EFBC。 AB=AC，BE=CF。四边形 EFCB 是等腰梯形。 （2）根据等腰梯形的轴对称性，得 OE=OF，OB=OC。 CEBF，OEF 和OBC 是等腰直角三角形，BOE 是直角三
32、角形。 根据勾股定理，得 2222222 EF2OEBC2OBBEOEOB，。 EF2+BC2=2BE2。 【考点】【考点】三角形中位线的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】 （1）由点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，可得 EF 是ABC 的中位线，从而 EFBC。由 AB=AC 可得 BE=CF。所以四边形 EFCB 是等腰梯形。 （2）在直角OEF、OBC 和BOE 中应用勾股定理即可得证。 （2001 广东深圳广东深圳 12 分）分）已知：如图，在直角坐标平面内，点 C 的坐标是（1，0）C 与 y 轴相切于原点 O. 过 点 A（3，0）的直线 a 与C
33、 相切于点 D，且交 y 轴的正半轴于点 B. （1）求直线 a 对应的一次函数解析式； （2）求过点 O, D, A 三点的抛物线对应的二次函数解析式； （3）求 x 轴上的点 P 的坐标，使点 P、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形. 【答案】【答案】解：（1）如图，过点 D 作 DEx 轴于点 E。 设 D（x，y）， 则 CE= x1，EA=3x，CD=1，DE= y， 在 RtDCE 中，由勾股定理得， 2 22 1yx 1。 由DCEADE，得 DECE AEDE ，即 yx1 3xy 。 联立，解得， 33 x=y= 22 ，。D 33 22 ，。 设直线 a 对应的一次函数解析
34、式为y=kx+b， 点 A 、D 在直线 a 上， 3k+b=0 33 k+b= 22 ，解得 3 k= 3 b= 3 。 直线 a 对应的一次函数解析式为 3 y=x+ 3 3 。 （2）设过点 O, D, A 三点的抛物线对应的二次函数解析式为 2 y=ax +bx+c， 将 O, D, A 三点的坐标代入得 c=0 933 a+b+c= 422 9a+3b+c=0 ，解得 2 3 a= 9 2 3 b= 3 c=0 。 过点 O, D, A 三点的抛物线对应的二次函数解析式为 2 2 32 3 y=x +x 93 。 （3）设点 P（p，0），则由勾股定理得 2 2 2 33 AD33
35、22 ， 2 2 2 33 PDp+ 22 ， 2 2 PA3p。 若 PD=AD，则 2 2 33 p+=3 22 ，解得p=0或p=3（与点 A 重合，舍去）。 P1（0，0）。 若 AD=PA，则 2 3p=3，解得p=33或p=3+ 3。 P2（33，0），P2（0，3+ 3）。 若 PD=PA，则 2 2 233 p+3p 22 ，解得p=2。 P4（2，0）。 综上所述，x 轴上使点 P、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形的点 P 的坐标为： P1（0，0），P2（33，0），P2（0，3+ 3），P4（2，0）。 【考点】【考点】切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定
36、系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰 三角形的性质。 【分析】【分析】 （1）过点 D 作 DEx 轴于点 E，设 D（x，y） ，在 RtDCE 中，应用勾股定理得 2 22 1yx 1，由 DCEADE 得 yx1 3xy ，二者联立，求得点 D 的坐标，从而应用待定系数法，即可求得直线 a 对应的一 次函数解析式。 （2）由 O, D, A 三点的坐标，应用待定系数法，即可求得过点 O, D, A 三点的抛物线对应的二次函数解 析式。 （3）分 PD=AD，AD=PA 和 PD=PA 三种情况讨论即可。 3.（深圳深圳 2002 年年 10 分）分）已知：如图，直线 y=x3 与 x
37、 轴、y 轴分别交于点 B、C，抛物线 y=x2bxc 经过 点 B、C，点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点。 （1）求抛物线的解析式。 （2）若点 P 在直线 BC 上，且 SPAC= 2 1 SPAB，求点 P 的坐标。 【答案】【答案】解： （1）直线 y=x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C， 令 x=0，则 y=0，令 y=0，则 x=3。C（0，3） 、B（3，0） 。 把两点坐标代入抛物线 y=x2bxc 得， c3 93bc0 ， 解得， b2 c3 。抛物线的解析式为：y=x22x3。 （2）由x22x3=0 可得点 A 的坐标为（1，0） 。 SABC= 11 A
38、B OC=4 36 22 。 设 P 点坐标为（x，x3） ，分三种情况讨论： 当点 P 在 BC 延长线上，SPAC= SPABSABC= 1 2 SPAB， SABC= 1 2 SPAB， 即 1 1 64x3 2 2 ，解得 x=3。 此时，点 P 的坐标为（3，6） 。 当点 P 在线段 BC 上，SPAC=SABCSPAB= 1 2 SPAB， SABC= 3 2 SPAB， 即 3 1 64x3 2 2 ，解得 x=1。 此时，点 P 的坐标为（1，2） 。 当点 P 在 CB 延长线上，SPAC= SPABSABC= 1 2 SPAB， SABC= 1 2 SPAB，这是不可能的
39、。此时，点 P 不存在。 综上所述，所求点 P 的坐标为（3，6）或（1，2） 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】【分析】 （1）根据直线 y=x3 可分别令 x=0，y=0 求出 C，B 两点的坐标；把 B，C 两点的坐标分别代入抛物 线 y=x2bxc 可求出 b，c 的值，从而求出函数的解析式 （2） 因为 P 在直线 BC 上， 所以可设 P 点坐标为 （x， x3） ， 再利用三角形的面积公式及ABC、 PAC、 PAB 之间的关系分点 P 在 BC 延长线上，当点 P 在线段 BC 上，当点 P 在 CB 延长线上三种情况求出 x 的值， 从
40、而求出 P 点坐标。 4.（深圳深圳 2002 年年 10 分）分）如图（1） ，等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC，以 HF 为直径的O 与 AB、BC、CD、 DA 相切，切点分别是 E、F、G、H，其中 H 为 AD 的中点，F 为 BC 的中点，连结 HG、GF。 （1）若 HG 和 GF 的长是关于 x 的方程 x26xk=0 的两个实数根，求O 的直径 HF（用含 k 的代数式表 示） ，并求出 k 的取值范围。 （2）如图（2） ，连结 EG、DF，EG 与 HF 交于点 M，与 DF 交于点 N，求 NE GN 的值。 （1） （2） 【答案】【答案】解： （1）H
41、F 是O 的直径，HGF 是直角三角形。 HF2=HG2GF2=(HGGF)22HG GF 由一元二次方程根与系数的关系：HGGF=6 ，HG GF=k， HF2=622k。 HF0 ，HF=362k。 方程 x26xk=0 的两个实数根，=624k0 又 k=HG GF0，且 362k0，0k9。 （2）F 是 BC 的中点，H 是 AD 的中点， 由切线长定理得： AE=AH=HD=DG， EB=BF=FC=CG。 AE：EB=DG：GC。 AD/EG/BC。 ADHF， GEHF。 C G D H A E B F O C G D H A E B F O M N 设 DG=DH=a，CG=
42、CF=b， 5. （深圳（深圳 2003 年年 12 分）分）如图，已知ABC，ACB=90 ，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，ECF=45 ， （1）求证：ACFBEC （8 分） （2）设ABC 的面积为 S，求证：AF BE=2S （4 分） （3）试判断以线段 AE、EF、FB 为边的三角形的形状并给出证明 【答案】【答案】解： （1）证明：AC=BC，ECF=45 ACB=90 ， A=B=45 ，AFC=45 +BCF，ECB=45 +BCF。 AFC=ECB。ACFBEC。 （2）ACFBEC， AC AF BEBC ，即 AFBE=ACBC。 又 SABC= 1 2 AC
43、BC，AFBE=2S。 （3）直角三角形。证明如下： 由（2）可知 AFBE=ACBC= AC2= 1 2 AB2。 设 AE=a，BF=b，EF=c 则 (a+c)(b+c)= 1 2 (a+b+c)2，化简即得 a2+b2=c2。 所以以线段 AE、EF、FB 为边的三角形是以线段 EF 为斜边的直角三角形。 【考点】【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。 【分析】【分析】 （1）对应角相等，两三角形相似。 （2）根据相似三角形的性质证明 AFBE=ACBC=2S； （3）由（2）的结论，求出 AE、EF、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有
44、以下 证明方法： 方法 1：将ACE 绕 O 顺时针旋转 90 到CBG，边角边证明三角形全等，得出 FG=EF，再证明FBG 为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。 方法 2：将ACE 和BCF 分别以 CE、CF 所在直线为轴折叠，则 AC、BC 的对应边正好重合与一条 线段 CG，连接 GE、GF，则FEG 是直角三角形。 6.（深圳（深圳 2003 年年 18 分）分）如图，已知 A（5，4） ，A 与 x 轴分别相交于点 B、C，A 与 y 轴相且于点 D， （1）求过 D、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）连结 BD，求 tanBDC 的值； （3）点 P 是抛物线顶点，线段 DE 是直径，直线 PC 与直线 DE 相交于点 F，PFD 的平分线 FG 交 DC 于 G，求 sinCGF 的值。 P x y B C O D A E F G 【答案】【答案】解： （1）A（5，4） ，A 与 x 轴分别相交于点 B、C，A 与 y 轴相且于点 D， 由圆的性质和弦径定理可得 D（0，4） ，B（2，0） ，C（8，0） 。 设过 D、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 yxxabc。将 D、B、C 的坐标代入，得 4 420 6480 c abc abc ，解得， 1 4 5 2 4 a b c
