1、目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设,)()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有目录 上页 下页 返回 结束 一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称凑微分法凑微分法)即xxxfd)()(目
2、录 上页 下页 返回 结束 例例1.求).1(d)(mxbxam解解:令,bxau则,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注:当1m时bxaxdCbxaaln1注意换回原变量目录 上页 下页 返回 结束 221d1()xaxa例例2.求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan()xa目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2d1()xaxa)(d)(xxf(直接凑微分法)xx
3、xfd)()(2d()1()xaxaCax arcsin22dxax目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似目录 上页 下页 返回 结束 1ln2x aCaxa例例5.求.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21axax)(d a21ax lnax lnCaxax)(d目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式:1)()df a
4、xbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin)cos dfxx x)(sin xfxsind5)(cos)sin dfxxx)(cosxfxcosd目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde)(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd例例6.求.)ln21(dxxxxln21xlnd解解:原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求.de3xxx
5、解解:原式=xxde23)3d(e323xxCx3e32例例8.求.dsec6xx解解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1(xdxxe1)e1(dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1(dCx)e1ln(ln(1 e)lne(e1)xxxx(两种解法结果一样两种解法结果一样)目录 上页 下页 返回 结束 xxxsindsin11sin1121例例10.求.dsecxx解法解法1 xx
6、dsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21目录 上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199 例18)目录 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax例例11.求.d)(23223xaxx解解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22
7、ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC目录 上页 下页 返回 结束)2cos2cos21(241xx 例例12.求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin
8、24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C目录 上页 下页 返回 结束 例例14.求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解:原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf目录 上页 下页 返回 结束 小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次
9、:(3)统一函数:利用三角公式;凑微分方法(4)巧妙换元或凑微分等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx目录 上页 下
10、页 返回 结束 xxxd)1(1102.求.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx)1(d10 xxx)1(d1011xxx101x10d x10110(x10dx110作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(目录 上页 下页 返回 结束 CxF)()()()(ttft定理定理2.设)(tx是单调可导函数,且,0)(t)()(ttf具有原函数,)(1
11、d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令)()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式目录 上页 下页 返回 结束 例例16.求.)0(d22axxa解解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2ax22axa21 cos2d2t
12、at目录 上页 下页 返回 结束 例例17.求.)0(d22aaxx解解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C目录 上页 下页 返回 结束 例例18.求.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)
13、ln(1aCC22ax axa目录 上页 下页 返回 结束,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1.被积函数含有时，或2222axax 除采用三角1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式,所得结果一致.(参考 P204 P205)taxch或代换外,还可利用公式2eeshxxxCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2eechxxx2.再补充两个常用双曲函数积分公式 目录 上页 下页
14、返回 结束 原式21)1(22ta221a例例19.求.d422xxxa解解:令,1tx 则txtdd21原式ttd12tttad)1(2122,0时当x42112tta Cata2223)1(23当 x 0 时,类似可得同样结果.Cxaxa32223)(23)1(d22ta目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()322xxaxf令taxsin或taxcos,d),()422xxaxf令taxtan或taxsh,d),()522xaxxf令tax
15、sec或taxch第四节讲目录 上页 下页 返回 结束 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2.常用基本积分公式的补充(P205 P206)7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换,d)()6xafx令xat 目录 上页 下页 返回 结束 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln目录 上页 下页 返回 结束
16、.32d2 xxx解解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(P206 公式(20)例例20.求例例21.求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P206 公式(23)目录 上页 下页 返回 结束 例例22.求.1d2xxx解解:原式=22)()()(d21x(P206 公式(22)2521xCx512arcsin例例23.求.1ed2xx解解:原式xx2e1edCxarcsine(P206 公式(22)目录 上页 下页 返回 结束 例例24.求.d222 axxx解解:令1,tx 得原式ttatd1221)1(d2122222
17、tataaCtaa11222Cxaax222目录 上页 下页 返回 结束 ttttd)1(12132例例25.求.2)1(d23xxxx解解:原式1)1()1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1(22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121)1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?xxxd1)1(25xxe1d)2()2(d)3(7xxx令21xt令xte1令xt1目录 上页 下页 返回 结束 2.已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解
18、:两边求导,得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1(d)1(212221tt)1(d)1(212221tt23)1(312tCt21)1(2(代回原变量代回原变量)目录 上页 下页 返回 结束 P207 2 (4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(42),(44)作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd11)132备用题备用题 1.求下列积分:)1(d113133xxCx13
19、23xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以3.求不定积分解解:.d1)1(122xxx令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222
