1、第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程当 时，方程)()()(xfyxQyxPy 0)(xf形如二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的概念的方程，称为0)()(yxQyxPy称为二阶线性齐次微分方程.当 时，方程)()()(xfyxQyxPy 称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/当 时，方程为常数）qpxfyq
2、ypy,(,)(0)(xf形如称为二阶常系数线性微分方程.0 yqypy常系数线性齐次微分方程.当 时，方程)(xfyqypy 二阶常系数线性非齐次微分方程.0)(xf/的方程称为二阶称为二阶常系数线性微分方程的概念因为 为方程的解，所以 一、二阶常系数线性微分方程解的结构 定理 设y1(x),y2(x)是方程 的两个解,则 也是该方程的解,其中C1,C2是任意常数.)()(2211xyCxyCy0 yqypy证)(),(21xyxy，0)()()(0)()()(222111 xqyxpyxyxqyxpyxy代入方程的左端，得将)()(2211xyCxyCy 1.二阶常系数线性齐次微分方程通解
3、结构 0 22221111221122112211 qypyyCqypyyCyCyCqyCyCpyCyC所以 是方程的解.)()(2211xyCxyCy 此定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合 ,仍是方程的解.)()(2211xyCxyC 问题：满足何条件线性组合 为二阶线性齐次微分方程的通解？)()(2211xyCxyCy 定义 设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2)，使得对于该区间内的一切x，有)0)()()()(221112xykxykkxyxy或成立，则称函数y1(x)与y2(x)
4、在该区间内线性相关，否则称y1(x)与y2(x)线性无关.为了回答此问题,在此给出线性相关与无关概念.定理 如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程 的两个线性无关的特解，则0 yqypy),()()(212211为任意常数CCxyCxyCy就是方程的通解.此定理表明要求二阶常系数线性齐次微分方程 通解只需求其两个线性无关的特解y1(x)与y2(x),作线性组合 即可.0 yqypy)()(2211xyCxyCy ，是线性无关的两个特解与知xxxyxy221e)(e)(.,ee21221是任意常数其中为原方程的通解所以CCCCyxx 例 验证 为二阶常系数线性齐次微分方程 通
5、解.xxCCy221ee 02 yyy解 将 代入方程易证满足方程.xxyy221e,e 由常数，xxxxyxy3212eee)()(证 由 与 分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构 定理 设 是方程 的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解.)(*xy)()(2211xyCxyCY)(xfyqypy *yYy )(*xfqypyy，及0 qYpYYY*y方程的通解，得，得代入非齐次方程的左端把*yYy 证 由 与 分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构 定理 设 是方程 的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则
6、 为非齐次方程的通解.)(*xy)()(2211xyCxyCY)(xfyqypy *yYy )(*xfqypyy，及0 qYpYYY*y方程的通解，得，得代入非齐次方程的左端把*yYy )(*)*()(*)(*)(*)(xfqypyyqYpYYyYqyYpyY *2211)()(*yxyCxyCyYy 所以为非齐次方程的解，且含有两个独立的任意常数，故为通解.此定理说明：二阶常系数线性非齐次方程通解可以表达成其特解和相应齐次方程通解之和的形式.定理 设 分别是二阶常系数线性非齐次微分方程 )(*)(*21xyxy和(*)()(21xfxfqypyy )()(21xfqypyyxfqypyy 和
7、的特解，则 是微分方程)(*)(*21xyxyy的特解，其中p，q是常数.，)()(*)(*)(*2222xfxqyxpyxy )(*)(*)(*)(*)(*)(*(*)(*)(*21212121xyxyqxyxypxyxyxyxyy 的左端，得代入方程把)(*)(*)(*111xqyxpyxy )()()(*)(*)(*21222xfxfxqyxpyxy .(*)(*)(*21的一个特解是微分方程xyxyy 证明 由题设知)()(*)(*)(*1111xfxqyxpyxy 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法求方程为常数）qpyqypy,(,0 分析：欲求方程的解，考虑到方程左端为未知函数及
8、其导数的线性组合形式，不妨设方程具有指数形式的解)(e为待定常数ryrx 通解.将 erxy erxry e2 rxry 代入方程 0)e(2，rxqprr整理，得，故得因0erx02 qprr（称为特征方程）特征方程特征根的讨论解特征方程的根为.24 22,1qppr是两不相等的实根与若212 ,04(1)rrq p xrxryy21ee21与于是都是方程的解，且常数，xrrxrxryy)(121212eee即 线性无关.xrxryy21ee21与 ).,(ee212121为任意常数CCCCyxrxr 方程通解为221prr 时，当04)2(2 qp为其两个相等实根所以 为方程的一个特解.x
9、ry1e1为了找到方程的另一个线性无关的特解.为方程的解待定，不妨设)()(e12xuxuyxr 代入方程，整理得及，将222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr故因,0e1 xr.0)()2(1211uqprrupru是特征方程的重根，因为2 21prr 02 0 1121 prqprr，所以.0 u于是，xrxy1e2不妨取 u=x，可得方程的另一个特解xrxryy21ee21与为线性无关的两个特解 ).,(e)(21211为任意常数CCxCCyxr 所以，方程的通解为因为 ee1121xrxrxCCy 即方程的通解为是一对共轭复根时，当 04)3(2,12irqp ，其
10、中024 ,2 2 pqp此时方程的有两个复数形式特解.e e i2i1xxyy与现确定两个实函数特解.,sinicosei由欧拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx:21写为，将yy上式相加减，得这里 为方程的两个特解.21yy 与 xyyyxyyyxxsinei 21cose21212211 ，,tancosesine21常数 xxxyyxx即 为线性无关特解，故得方程的通解为21yy 与 .sincose21xCxCyx 二阶常系数齐次线性微分方程通解0qypyy02qprr两个不相等实根21rr 两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,2
11、1irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21xCyx cos(e1 的通解特征根)sin2xC 1.写出特征方程3.根据两个特征根的不同情况，由通解公式写出微分方程的通解.求方程 通解步骤0 yqypy2.求出特征方程的两个根02 qprr.24 22,1qppr0qypyy02qprr两个不相等实根21rr 两个相等的实根21rr 一对复根ir21,xrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21的通解特征根xCyx cos(e1)sin2xC 例 求下列微分方程的通解 032)1(yyy，有不相等的实根3 ,1 21rr.ee 321xxCCy通解为0)3)(1(322 rrrr 解（1）特征方程为032)2(yyy，有一对共轭复根i 21 2,1r).2sin2cos(e 21xCxCyx通解为032 2 rr（2）特征方程为 例 求方程 y-4y+4y=0 的满足初始条件 y(0)=1，y(0)=4 的特解.解 该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，它有重根 r=2.xxCCy221e)（.e)(2e22122xxxCCCy 将 y(0)=4,C1=1代入式，解得 C2=2将 y(0)=1，式xxCCy221e)（解得 C1=1因此，所求特解为y=(1+2x)e2x.
