1、一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节第四节 反常积分反常积分三、三、函数函数第四节第四节 反常积分反常积分 导言：定积分的积分区间是有限区间，被积函数为有界函数，但在实际问题中，往往需要突破这两个限制，来考察无穷区间上的积分或无界函数的积分，从而形成了反常积分的概念.相应地，前面所讨论的定积分也叫做常义积分.本节主要讨论两类积分问题：（1）无限区间上的积分问题；（2）无界函数的积分问题.一、无穷限的反常积分.e 轴所围成图形的面积轴、与求曲线yxyx引例 解 考虑曲线 与直线x=b及 x 轴所围成图形的面积bbxbxbxSe1ede00 x
2、y e则所求图形的面积为1)e1(limdelimlim0bbbxbbbxSSbxyObabaxxfxxfd)(limd)(定义 设函数 f(x)在区间 上连续,取 ba 称极限 为函数f(x)在无穷区间 上的反常积分，记作 ,即),aaxxfd)(),aba+bxxfd)(lim若极限 存在，则称反常积分 收敛；若极限 不存在，则称反常积分 发散.axxfd)(ba+bxxfd)(limba+bxxfd)(limaxxfd)(无穷区间 上的反常积分定义为类似地，无穷区间 上的反常积分定义为,(b),(，ccxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)(d)(d)(发散否则称反常积分收敛，
3、都收敛，则称反常积分和两个反常积分此时，如果上式右端的xxfxxfxxfxxfcc上述三种积分统称为无穷限的反常积分.).(d)(limd)(baxxfxxfbaab(c 为任意定常数)例 讨论下列无穷限积分的敛散性：;d11)1(02xx;de)2(0 xx.dsin)3(xx解，有对任意0)1(bbbxxx002arctand11barctan，且由于2arctanlimbb.2d1102收敛于因此xx，有对任意0)2(b00edebxbxx be1.1de0收敛于因此xx，且由于0elimbb，由于xxxxxxdsindsindsin)3(00bbxxx00cosdsinbcos1不存在
4、，且由于bbcoslim，中，对任意在0dsin0bxx发散，因此xxdsin0.dsin发散从而xx 同定积分类似，无穷限反常积分也有类似于定积分的微积分基本公式、线性运算法则、换元积分法与分部积分法等,但要注意每一步运算过程必须是收敛的.存在和的原函数是若)(lim)(lim,)()(xFxFxfxFxx引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有计算表达式:)()()()(limd)(aFFxFxFxxfababa)()()(d)(FFxFxxf)()()()(limd)(FbFxFxFxxfbbaab.d)()(|)()(d)()(aaaxxvxuxvxuxxvxu例 求
5、积分.d112xx解)2(2arctand112xxx例 求积分.de0 xxx00dedexxxxx解1e0 x0e1limelimelimxxxxxxxxxxxx00dee在此解;de1e)1(2xxx例 讨论下列无穷限积分的敛散性：.d)2(12xxxxxxxx22e1dede1e)1(，则令xte0221de1dettxx2arctan0t112)1(dd)2(xxxxxxxxxd11112ln1ln1xx.1,1d11当时发散收敛当证明反常积分xx例时当1时当1证明,ln1limbbxbbx1111limxxxxbbd1d111lim xxxxbbd1d111lim 时当111d11
6、xxxxd11时当1.1,1d11时发散当时收敛当所以积分xx 引例 求曲线 与 x 轴,y 轴和直线x=1所围成图形的面积.二、无界函数的反常积分xy110dlimxxA12lim0 x2)1(2lim0 xy1Axy解 因为 xx1lim0函数 在（0,1上无界，xy1此时，所求面积可以定义为 定义 设函数f(x)在(a,b上连续，且 取 ，称极限 为f(x)在(a,b上的无界函数的反常积分，记为)(limxfax0 d)(lim0baxxf，babaxxfxxfd)(limd)(0若极限 存在，则称反常积分 收敛.若极限不存在，就称反常积分 发散.baxxfd)(baxxfd)(d)(l
7、im0baxxf 若函数 f(x)在a,b)上连续，且 则反常积分定义为)(limxfbx0).(d)(limd)(0babaxxfxxf当极限 存在称其收敛，否则发散.d)(lim0baxxf此时，如果上式右端反常积分 都收敛，则称反常积分 收敛,否则称反常积分 发散.bccaxxfxxfd)(d)(和baxxfd)(baxxfd)(上述三种积分统称为无界函数的反常积分.无界函数的反常积分也称为瑕积分，相应的无穷间断点称为瑕点.若函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续,且 ，则反常积分定义为)(limxfcx.d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf例例 计算反常积分.)
8、0(d022axaxa解解 显然瑕点为 a,所以2arcsinlimarcsinlimlim0000022022aaaxxadxxadxaaa 说明：由于无界函数的反常积分其形式与定积分一致，因此，在求积分时首先要区分是定积分还是无界函数的反常积分.例 求积分.dln10 xxxxxxdlndln110lim0解 因为x=0为被积函数的瑕点，所以1ln10limxxxxxxd1ln110lim011lim1lnlimlnlim2000注：在上式中，由洛必达法则有 例 讨论瑕积分 的收敛性.202)1(xdx解 在0,2 内部有被积函数的瑕点x=1，取 0,21201021222)1()1()1
9、(xdxxdxxdx122211021020)1(lim)1(limxdxxdx221112001011lim11limxx201011lim11lim21所以，瑕积分发散.（瑕点在区间的端点处）（该极限不存在）（瑕积分定义）例.1,1d110当时发散收敛当证明反常积分xxxxxxd1d1,11010lim|时当.1111时发散，当时收敛，且其值为故当 lnd1d1 ,1101010lim，时当xxxxx解11110limx时当1时当111d11xxxxd11三、函数函数，记为的函数称为为参变量作称为参变量其中反常积分定义rrxxxr)(de 0101de)(xxrxr性质性质满足下列关系：)(r;)()1()1(rrr;1)1()2(.)(!)1()3(为自然数nnn证明 由分部积分公式可得0de)1(xxrxr0dexrx010deexxrxxrxr)(rr0de)1(xx1e0 x，则中取在nrrrr)()1()()1(nnn)1()1(nnn)1(12)1(nn!n6!3)4(de 03xxx例如
