1、1第二章第二章 极限与连续极限与连续第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 无穷小与无穷大 第四节 极限的运算法则 第五节 两个重要极限 第六节 无穷小的比较 第七节 函数的连续性第一节第一节 数列的极限数列的极限一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限三、数列极限存在准则三、数列极限存在准则问题导言 极限思想方法的历史渊源第一节 数列的极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.古希腊伟大数学家阿基米德(Arc
2、himedes公元前287212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的九章算术中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy2xy R一、数列的概念定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称 为数列的第一项,为第二项，将第n项 称为通项或一般项.数列可以简记为 .，nuuuu ,3211u2ununu，.,3 ,2 ,1 ,)1(nnun即数列例.,1,31 ,21 1,1)2(nnun，即数列.,)1(,1 ,1,1)1()3(11 nnnu，即数列数列 可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称
3、为整变量函数,其定义域是正整数集.nu ,2,1 )(nnfun，数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.nn1.,1,31 ,21 1,数列例 121 nnnuuuuu 满足：若数列是则称数列nu单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.是则称数列nu单调减少的的.121 nnnuuuuu 满足：若数列.1.为单调减少数列为单调增加数列数列nn例定义 在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.定义 对于数列 ,若存在正数M,使得对于一切的n 都有 成立,则称数列 是有界的,否则称 是无
4、界的.nuMunnunu,1 nun数列，)1(1nnu例为有界数列.,3 ,2 ,1 ,为无界数列即数列 nnun 在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间M，M 之内,表示无界数列的点列,无论区间M，M 多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列 1.割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”R圆内接正六边形的面积1A圆内接正十二边形的面积2A圆内接正 边形的面积126nnA,21nAAAS二、数列极限问题引例2.截丈问题;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖
5、长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第1211nnX 我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限 数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.)1(1 )1(nunn21 )2(nnu(3)当n 无限增大时，没有确定的变化趋势.(2)当n 无限增大时，无限接近于0.nnu211)1(nnu(1)当n无限增大时，无限接近于1.nunn)1(1)1()3(1nnu数列的变化趋势2 )4(nun(4)当n 无限增大时，无限增大.2 nun 定义 设数列 ,若当n无限地增大时,无限趋近 于某一确
6、定常数 A,则称常数 A为数列 在 n 趋于无穷大时的极限.记为nu).(limnauaunnn 或nunu,021limnn.1)1(1(lim nnn观察几何图形可知下述数列的极限)()(nunn11 1数列21)2(nnu 数列.)()(的极限不存在数列 1 31nnu四、收敛数列的性质定理(唯一性)若数列 收敛,则其极限唯一.nx定理(有界性)收敛数列必有界.例 数列 是有界的,而 是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.nu)1(1nnu定理（单调有界原理）单调有界数列必有极限.nu2u1uAM例 设 观察数列 的极限 nnnu11,3,2,1nnu由数据和图形观察数列的变化趋势n12351010010001000022.252.372.4882.5942.7052.7172.718nunnnu11可以看出，当 时，数列变化的大致趋势是单调递增，且 可以证明 n30nue11limnnn数e是一个无理数71828.2e
