1、一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法第三节第三节 定积分的计算定积分的计算 定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，若 满足下列条件：，ba)(,)()1()(tx (2)当t在与之间变化时，单调变化且 连续，则.d)()(d)(tttfxxfba)(t)(t 上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积应用中须注意：换元要换限，（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.第三节第三节 定积分的计算定积分的计算一、定积分的换元积分法.d194xxxtttd)111(232例 求积分，则令ttxxtxtd2d,2解，时，当时，
2、当3924txtx3223294d1112d21d1 tttttttxxxln4.7 1ln22322ttt例 求积分2224daaxaxx22234440tandsec tan dsecaaxaatxatt txat，令 sec tax 解3,2;0taxtax时当时，当23201sincos dtt ta23201sind(sin)tta332201sin338taa说明：在不进行代换的前提下，可以利用凑微分法直接求定积分.即先对所求的积分凑微分，不引入新的变量直接求出原函数，再用微积分基本公式求定积分.babaxdxfdxxxf )()()()()()()(aFbFxFba（凑微分）（基
3、本公式）例 求积分2 0 2sin1cosdxxx解4sinarctansinsin11sin1cos202 0 22 0 2xxdxdxxx解例 求积分edxxx 1 ln21113ln21)ln21(ln21121ln2111 1 1 eeexxdxdxxx解例 求积分4 0 21arctansindxxx1cos1arctancosarctanarctansin1arctansin404 0 4 0 2xxxddxxx令 有.0d)()()2(,d)(2d)()()1(0aaaaaxxfxfxxfxxfxf为奇函数，则若为偶函数，则若例 证明结论：则上连续在若,)(aaxftxaaaax
4、xfttfttfxxf0000d)(d)(d)(d)(aaaxxfxfxxf0d)()(d)(aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(证明 由定积分性质知所以)()(,)()1(xfxfxf即是偶函数如果.d)(2d)(0aaaxxfxxf)()(,)()2(xfxfxf即是奇函数如果.0d)(aaxxf 该例表明连续偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，利用该性质，可以简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.则则例 求积分,0d1sin,1,11sin1122xxxxx则上奇函数为因为1122d1)(arctansinxxxx解 x
5、xxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122.96d1)(arctand1sind1)(arctansin311221121122xxxxxxxxxx)(arctand)arctan(2 102xx,9632)(arctan3103x例 若函数 f(x)在0,1连续，证明,dcosdsin2020 xxxxnn,d)cos(d)(sin2200 xxfxxf则时当时当令,0,2,2,0,2txtxtx证明ttfxxfd)2sin(d)(sin02202200d)(cosd)(cosxxfttf,d)cos(d)(sin2200 xxfxxf所以特别地定理 设函数u=u(
6、x)与v=v(x)在区间上有连续导数,则有定积分分部积分公式.d|d bababaxvuuvxuv 分部积分公式，它可以将求 的积分问题转化为求 的积分,当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用baxuv d baxvu d ddbababauvuvvu或二、定积分的分部积分法定积分分部积分法应用的基本过程 使用分部积分公式关键在于恰当的选择 和u.和u 的选择要体现化难为易的原则.vdvdbaxxvxud )()(d)()()()(babaxx vxuxvxu凑微分用公式)(d)(baxvxu例 求积分解exdxx1ln2eeeexxxxxxxxxx1212121d1ln
7、dlndln2)1(21212122exee例 求积分.darctan10 xx1021010d1arctandarctanxxxxxxx2ln4)1ln(4d1)d(141021022xxxx解例 求定积分为正整数）nxxInn(dsin20解1dsin201xxI2022dsinxxI4d22cos120 xx递推公式时，用分部积分法建立当3n20dsinxxInn201)cos(dsinxxn201201)(sindcossincosxxxxnn2022dsincos)1(xxxnn20202dsindsin)1(xxnnnnnInIn)1()1(2因此,12nnInnI由此可得32121222mmImmI52)32)(12()42)(22(mImmmm135)32)(12(24)42)(22(Immmm,!)!12(!)!22(mm222212mmImmI42)22(2)32)(12(mImmmm246)22(235)32)(12(Immmm,2!2!)!12(mm统一起来就是为奇数，为偶数，nnnnnnIn!)!1(2!)!1(5204 28sind5 315x x 例如
