1、第二节第二节 反函数和复合函数反函数和复合函数一、反函数一、反函数二、复合函数二、复合函数2第二节 反函数与复合函数一、反函数 定义 设函数 y=f(x)的定义域为D,值域为W,如果对每一个 ,都有确定的且满足 的 使得与之对应,其对应法则记为 .这个定义在 W 上的函数 称为函数 的反函数.或称其为互为反函数.反函数 的定义域为W值域为D.WyDx)(xfy 1f)(yfx1)(xfy)(yfx1习惯上将 改写为)(yfx1)(xfy13 函数 与其反函数 的关系是变量 x 与 y 互换,所以它们的图形是关于直线 y=x对称的.)(xfy)(yfx1 例 设函数 y=2x3，求它的反函数.得
2、解出 xxy32解)(321yx).3(2132,xyxy的反函数为得函数再交换变量记号4二、复合函数 定义 设y是u的函数 y=f(u)，,而u是x的函数 并且 的值域包含f(u)的定义域,即 ,则y通过u的联系也是x的函数,称此函数是由y=f(u)及 复合而成的复合函数，记作 并称x为自变量,称 u为中间变量.Dxxu，)(UuDxUx，)()(x)(xu),(ufy变量之间关系为xuyf因变量中间变量自变量5所以 可以复合,复合函数为的定义域为 值域为所以使 可以复合,应满足 其复合函数为例 求下列函数的复合函数1)2(xuuy，xuuylnsin)1(，解 (1)由于 的定义域为),(
3、uysin),0 xuln),(xuuyln,sinxylnsin(2)由于 的定义域为),(uy 1 xu的定义域为 值域为),(1xuuy,1xy),01x)(1x6例 下列函数是由哪几个函数复合而成.xylnarccos)1(xeysin)2()1(lnsin)3(3xy解 所讨论的复合函数由下列函数复合而成xuuy,arccos)1(xvvueyu,sin,)2(1,ln,sin)3(3xttvvuuy复合函数的复合与分解关系)(),(xuufy)(xfy函数复合函数复合函数分解函数分解函数由里到外函数由里到外函数由外到里函数由外到里7).(),(11)(xfffxffxxf，求设例xxffxfff111111)()()()(xfxff11 解,0111xxx1111.,01xx
