1、二、形法二、形法三、比较法三、比较法一、不等式常用的证明方法一、不等式常用的证明方法1.1.作差比较法作差比较法2.2.作商比较法作商比较法1.1.函数图象函数图象2.2.线性规划线性规划3.3.其他图象其他图象159 159 不等式的证明不等式的证明(一一)1.1.形法形法2.2.数法数法不等式概述不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求 最 值不等式的性质不等式的性质(一一)作用作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二二)性质：性质：3.重要的不等式多多益善十四条 文字背诵是关键1.1.基本性质基本性质大小的定义大小的定义对称性对称性传递性传递性对一个不等式的运算对一个不等式的运算
2、(变形变形)加(减):如果ab，那么a+cb+c乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acbc方：2.2.运算性质运算性质正值可方奇无限对多个不等式的运算对多个不等式的运算(变形变形)同号可倒：乘：注1.若2个不等式需进行减减(除除)运算，一般是转换成加加(乘乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性 加：同向可正值同向可3.3.重要的重要的(经典)不等式不等式11均值不等式：cba11133abc当且仅当当且仅当a=b=c时，时，“=”成立成立33333cba3cba当且仅当当且仅当=时等号成立时等号成立2 2+2 22 2 当且仅当=时等号成立若,R+,
3、则211+2+22+213柯西不等式 i：一般式 ii：向量式|baba12三角形(绝对值)不等式|-|-|+|+|,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和解不等式概述解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式整式不等式分式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式指数不等式对数不等式对数不等式三角不等式三角不等式线性规划四成立解不等式概述解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法标根法解一元标根法解一元n次不
4、等式次不等式一正二方三穿线 奇穿偶切右上方上大下小中为等 函数简图是本质解分式不等式解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.1.图象图象(标根标根)法：法：2.2.公式公式(口诀口诀)法：法：口诀1：大于号要两头 小于号要中间解一元二次不等式解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头 无根大全小为空数形结合“或”字型 书写格式整体观解不等式组解不等式组通法通法:“截”成不等式组解连不等式解连不等式特法特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式解根式不等式2.形法：
5、零点分段法函数图象法 绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：正值可方Domain“=”的取舍形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式解指对不等式解三角不等式解三角不等式（一）基础型背诵法1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则x数形结合周期性 上大下小中方程（二）其他型图象法（一）基础型基础型背诵法背诵法1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,
6、则xtanxsinxx若x为锐角，则xcossinxcosxsin xcosxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin x线性规划简述线性规划简述点坐标线方程面不等式形形数数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值解析几何的基础1.直线对坐标平面的划分0CByAx0AxByC和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域0CByAx,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域二元不等式与平面域注：直线划分坐标面 先画直线定边线有等为实反为虚 特
7、点验证确定面左小右大 A要正 上大下小 B要正(二元一次不等式表示平面域)1.1.直线型：直线型：常见的几类目标函数常见的几类目标函数2.2.曲线型：曲线型：3.3.其他型：其他型：直线平移型：直线旋转型：直线旋移型：点线距离型：00 xxyyzbyaxzyxz|cbyaxz(a,b为常数,截距)(x0,y0为常数,斜率)(,为参量,截距)(a,b,c为常数,距离)圆伸缩型：2020)()(yyxxz(x0,y0为常数,半径)向量型：已知两正数,，若四个式子中有一个为常数，且与能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法 多元有优势小作抓“等”字 大作“正常等”注2：书写格式 三因一果注3：
8、常见题型 明考暗考配凑连用 嵌积重点11+2+2，二、形法二、形法三、比较法三、比较法一、不等式常用的证明方法一、不等式常用的证明方法1.1.作差比较法作差比较法2.2.作商比较法作商比较法1.1.函数图象函数图象2.2.线性规划线性规划3.3.其他图象其他图象159 159 不等式的证明不等式的证明(一一)1.1.形法形法2.2.数法数法2.综合法一、不等式常用的证明方法、不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法作差比较法作商比较法5.反证法形法形法数法数法1.函数图象2.线性规划3.其他图象形法是构造法的特例形法是构造法的特例1.函数图象2.线性规划3
9、.其他图象二、形法二、形法证明不等式证明不等式2221122abababab2221122abababab(1)用几何图形解释均值不等式练习练习1.1.形法证明不等式形法证明不等式均值不等式的几何解释方法甚多现只顺延课本的方法ADCBHFGE22ba 法法1 1：课本：课本P P：97 97 探究探究ab22ba 1.正方形ABCD的面积S=_.四个直角三角形的面积和Sl=_ab2.S与S1的大小关系是？SSS Sl l222abab即即ABOCDGEOF=OD在RTOFC中,CFOFF则易得在RTOCD中,ODCD在RTCDG中,CDDGCF CDDG下证：故如图，AB为圆O的直径，法法2
10、2：课本：课本P P：98 98 探究探究CGOD弦DEAB，OFAB，令AC=a，CB=b(不妨设ab)，2221122abababab2221122abababab2221122abababab2221122ababababCF=CD=OF=OD=DG=ABOCDF故半径如图，因AB为圆O的直径，且AC=a2221122ababababOF=OD=即直径AB=AC+CB=a+b，ab，CB=b，ABOCF由勾股定理得2221122abababab2221122ababababCF=OF=如图，在RTOFC中,2222222()()222abababCFOFOC所以22ababOCOBBCb
11、OC=OB-BC=22ababOCOBBCbABOCD如图，因AB为圆O的直径，且AC=aab，CB=b，故ABD为直角三角形，2221122ababababCD=由射影定理得ABOCDG2221122abababab2221122abababab2221122abababab，CD=OD=如图，在RTCDG中,由射影定理得2CDDG OD21112CDabDGabODab即21112CDabDGabODabABOCDGEOF=OD在RTOFC中,CFOFF则易得在RTOCD中,ODCD在RTCDG中,CDDGCF CDDG又因故如图，AB为圆O的直径，CGOD弦DEAB，OFAB，令AC=a
12、，CB=b(不妨设ab)，2221122abababab2221122abababab2221122abababab2221122ababababCF=CD=OF=OD=DG=故2221122abababab2221122abababab（当且仅当a=b时，取“=”号）(2)(2)三角混合不等式三角混合不等式:sinxxtanx法1：如图，易得0 x 2若 ,则 y=tanx y=x y=sinx(2)(2)三角混合不等式三角混合不等式:sinxxtanxMOATP法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得SAPOS扇形APOSATO而SATO=SAPO=S扇形APO=2PMAO2sin x
13、2APAOx2ATAOxtan 即 sinxxtanx(0 x )20 x 2若 ,则(3)(3)排序不等式排序不等式:OA1A2B2B1已知0a1a2a3，0b1b2b3则 反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和22111221BOABOABOABOASSSS令OA1=a1,OA2=a2,OB1=b1,OB2=b2证明：如图，则易得而2sin2121ObaSBOA2sin2222ObaSBOA2sin1212ObaSBOA2sin1111ObaSBOA即22111221babababa3个以上的,逐步调整法证之A-B=A-B=x1 x2 x3 xnx21+x22+x2nO作差变形三判断 不是化
14、简是变形变到显然与 O比 因式分解及配方三、比较法：三、比较法：1.1.作差比较法简介：作差比较法简介：若a,bR+，则1baba2.2.作商比较法简介：作商比较法简介：练习练习2.2.比较法证明不等式比较法证明不等式(4)课本P：75 B组 Ex1(5)课本P：75 B组 Ex1 补充1：类似于x2+y22xy补充2：，有x+y+z3xyz(xy)=x3xy+3xyyab=(2)(ab)(a ab+b)(3)x+y+z-xy-yz-xz=(xy)2+(yz)2+(zx)22(1)(6)已知x0,y0,z0,证明：x+y+z3xyz=(x+3xy+3xy+y)+z3xy3xy3xyz(xy)2
15、+(yz)2+(zx)22(6)已知x0,y0,z0,证明：x+y+z3xyz证明：x+y+z3xyz而=(x+y)+z3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x+y+z-xy-yz-xz)=(x+y+z)(x+y)(x+y)z+z3xy(x+y+z)0所以x+y+z3xyz=(x+y+z)已知x0,y0,z0abbabababa:,(7)求证是正数已知abbaabbabababa等号成立时，当且仅当故,1bababa证明：因baba0,1,0bababa则不妨设所以，原不等式成立)(时等号成立当且仅当ba 作业：作业：1.课本P：75 B组 Ex100ab，2abab2.(2010年湖北)设,称以AB为直径作半圆，连结线段 的长度为a，b的调和平均数如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点线段 的长度是a，b的几何平均数；OD，AD，BD过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数是a，b的调和平均数预习：不等式的证明不等式的证明
