1、 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样,以指定它取每个值概率以指定它取每个值概率的方式的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式来描述其概率的方式来描述其概率分布分布.下面学习连续型随机变量及其概率密度下面学习连续型随机变量及其概率密度 牛牛文库文档分享连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量小结小结2.32.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变
2、量及其概率密度 牛牛文库文档分享 设离散型随机变量设离散型随机变量X在在a,b内取内取n个个值值:x1=a,x2,x3,x4,xn=bX即小矩形的面积为即小矩形的面积为取对应点的概率取对应点的概率小矩形宽度小矩形宽度概率概率小矩形高小矩形高 x1=aPx2x3s1s2s3sn.xn=b niisbXaP1 折线下面积之和！折线下面积之和！连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念X的概率的概率直方图：直方图：(1)定义的引出定义的引出 牛牛文库文档分享 若若X为连续型为连续型随机变量，由于随机变量，由于X在在a,b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线
3、滑曲线).(xf而且：而且：)(xfdxxfSbXaPba )(1)(dxxfXPXaP.b)(xfdxxfSba )(由此推出连续由此推出连续型随机变量型随机变量的定义的定义 牛牛文库文档分享,0)(xf,1)(dxxf 设设X X是随机变量，如果存在定义在整个实数是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数轴上的函数f f(x x)，满足条件，满足条件 1.2.对于任意的对于任意的有有也可为也可为也可为也可为,b,),(,ababa 3.,)(badxxfbXaP则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量，称为称为X的的概率密度函概率密度函数数,简称概率密度简称概率密度.)(xf(2)连续
4、型随机变量的定义连续型随机变量的定义 牛牛文库文档分享 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)0)(xf2)1)(dxxfaSb 1xo)(xf这两条性质是判定一这两条性质是判定一个函数个函数 f(x)是否为某是否为某个随机变量个随机变量X的概率的概率密度函数的充要条件密度函数的充要条件.3)X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 badxxf)( 牛牛文库文档分享注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即.0 aXP连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关
5、bXaP bXaP bXaP .bXaP 由此可得由此可得这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00 牛牛文库文档分享 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.x,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x xxxxdttf)(lim0=f(x)()对对 f(x)的进一步理解的进一步理解 牛牛文库文档
6、分享 密度函数密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反的高度，并不反映映X取值的概率取值的概率.但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.也可以说，在某也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度近的程度.1xo)(xf)(afa问题：问题：f(a)是是=a的概率吗？的概率吗？ 牛牛文库文档分享事实上，若不计高阶无穷小，有：事实上，若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP )(它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxx xxf)(xx
7、f)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP 在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似 牛牛文库文档分享PX=a=0而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出 A由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S问题：问题：概率为零的事件一定是不可能事件概率为零的事件一定是不可能事件吗？吗？类似可知，类似可知， 牛牛文库文档分享.2XP,110,PX)2(;C)1(.,0,33),9()(2 XPxxCxfX求求求常数求常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解,1d)()1(x
8、xf由由例例1得 dxxf)(1303|)39(2xxC 302)9(2dxxC 332)9(dxxCC36 牛牛文库文档分享于是概率密度为于是概率密度为即有即有.361C .,0,33),9(361)(2其它其它xxxf033|)39(361 xx,21)927(361 0)2(XPdxx)9(361203 dxxf 0)( 牛牛文库文档分享 11XP 2XP.271339181103 xxdxx)9(3612210 dxx)9(361232 .27239361323 xxdxxf 11)(dxxf 2)( 牛牛文库文档分享2.三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量).,(,),(
9、,0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 ()均匀分布均匀分布)( 牛牛文库文档分享均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间ba a b lablp l事实上事实上，若若X U(a,b)，则对于满足，则对于满足bdca 的的c,d,总有总有 dcdxxfdXcP)(abcd 牛牛文库文档分享均匀分布常见于下
10、列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间如公交系统中乘客随机乘车的等车时间 牛牛文库文档分享解解 设设X表示他等车时间（以分计），则表示他等车时间（以分计），则X是是一个随机变量，且一个随机变量，且X的概率密度为的概率密度为例例2 2（等待时间）公共汽车每（等待时间）公共汽车每1010
11、分钟按时通过一分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超求他等车时间不超过过3 3分钟的概率分钟的概率.).10,0 UX .,0,100,101)(其它其它xxf所求概率为所求概率为,103)(330 dxxfXP 牛牛文库文档分享解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为 .,0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP.5.0d20011050950 r例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950
12、 1050 的概率的概率 牛牛文库文档分享例例4 设随机变量设随机变量 X 在在 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现对现对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于试求至少有两次观测值大于3 的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,0,52,31)(其他其他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,Y 表示表示3次独次独立观测中观测值大于立观测中观测值大于3的次数的次数.解解3)(XPAP由由于于,32d3153 x则则.32,3 bY2 YP.2720 因而有因而有 32132232033213233 牛牛文库文档分享.,
13、0.0,0,0,e1)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 XxxxfXx (2)指数分布指数分布 牛牛文库文档分享指数分布的重要性质指数分布的重要性质:“无记忆性无记忆性”.有有对于任意对于任意,0t,s.|tXPsXtsXP|sXtsXP证明证明)()(SXPsXtsXP )SXPtsXP sxtsxdxedxe 11 sxtsxee|stsee )(te 牛牛文库文档分享 tXP txe|txdxe 1 te 而而于是于是.|tXPsXtsXP 指数分布的无记忆性是使其具指数分布的无记忆性是
14、使其具有广泛应用的重要原因！有广泛应用的重要原因！ 牛牛文库文档分享 指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间间.有些系统的寿命分布也可用指数分布来有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似近似,当当电子产品的失效是偶然失效时电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时
15、间.指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.一般地一般地,当随机质点流中在长当随机质点流中在长 t 的时间内出现的质的时间内出现的质点数服从参数为点数服从参数为 t 的泊松分布时的泊松分布时,其相继出现两个质点其相继出现两个质点的事件间就服从参数为的事件间就服从参数为 的指数分布的指数分布 牛牛文库文档分享例例5 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命(以小时计以小时计)X 服从指数分服从指数分布布,其概率密度为其概率密度为(1)求元件寿命至少为求元件寿命至少为200小时的概率小时的概率.(2)将将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作只这种元件联接成
16、为一个系统，设系统工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设只元件失效时系统失效，又设3只元只元件工作相互独立件工作相互独立.求系统的寿命至少为求系统的寿命至少为200小时的概小时的概率率.,00,1001)(100其它其它 牛牛文库文档分享200 XP 200)(dxxfdxex1002001001 2200|eex解解(1)(1)元件寿命至少为元件寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为 (2)(2)以以Y Y记记3 3只元件中寿命小于只元件中寿命小于200200小时的元小时的元件的只数件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由由于各元件的工作相互独立，又由(1)(1)知
17、一元件的寿命小于知一元件的寿命小于200200小时的概率为小时的概率为1-e1-e-2-2,故有故有).1,3(2 eBY 牛牛文库文档分享2 2只及只及2 2只以上元件的寿命小于只以上元件的寿命小于200200小时的概率为小时的概率为32222)1()()1(232 eeeYP.950.0)12()1(222 ee故系统的寿命至少为故系统的寿命至少为200200小时的概率为小时的概率为.050.0950.0121 YP 牛牛文库文档分享).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率
18、密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 (3)正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布)高斯资料高斯资料 牛牛文库文档分享正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当;0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 牛牛文库文档分享;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 牛牛文库文档分享.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图
19、形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定 牛牛文库文档分享 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 牛牛文库文档分享正态分布的概率计算等有关问题在第章正态分布的概率计算等有关问题在第章讲解讲解 牛牛文库文档分享三、小结三、小结常见
20、连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布 牛牛文库文档分享课堂思考课堂思考 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量,试求他试求他候车时间少于候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 其
21、它其它,0300,301)( 牛牛文库文档分享 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达之间到达车站车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站等时刻有汽车到达汽车站，30251510 XPXP 其它其它,0300,301)(xxf3130130130251510 dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/ 牛牛文库文档分享 区间区间(0,1)上
22、的均匀分布上的均匀分布U(0,1)在计在计算机模拟中起着重要的作用算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机上均匀分布的随机数数.它是由一种迭代过程产生的它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的严格地说，计算机中产生的U(0,1)随随机数并非完全随机，但很接近随机，故常机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为称为伪随机数伪随机数.知识拓展知识拓展 牛牛文库文档分享 如取如取n足够大，独立产生足够大，独立产生n个个U(0,1)随机数，则从用这随机数，则从用这 n 个数字画出的频率个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的上的均匀分布均匀分布U(0,1) 牛牛文库文档分享 作业 P68:8、 牛牛文库文档分享Born:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料 牛牛文库文档分享
