1、题型集训题型集训(15)与四边形有关的计算和证明与四边形有关的计算和证明 杭州 温州 宁波 绍兴 嘉兴、 舟山 湖州 台州 金华 衢州 2018 年 第 23 题 第 19 题 第 18 题 12 分 6 分 6 分 2019 年 第 23 题 第 18 题 第 21 题 第 18 题 10 分 6 分 8 分 6 分 1.(2019 衢州)已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BEDF，连结 AE， AF.求证：AEAF. 证明：证明：四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，ABAD， BD，BEDF，ABEADF(SAS)， AEAF. 2(2019
2、嘉兴)如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD 上请添加一个条件，使得结论“AE CF”成立，并加以证明 解：添加的条件是解：添加的条件是 BEDF(答案不唯一答案不唯一).证明：证明： 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，ABCD，ABCD， ABDBDC，又，又BEDF(添加添加)， ABECDF(SAS)，AECF. 3(2019 黄冈)如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BFAE，DGAE，垂 足分别为 F，G.求证：BFDGFG. 证明：证明：四边形四边形 ABCD 是正方形，是正方形，ABAD， DAB90 ，BFAE，DGAE，
3、 AFBAGDADGDAG90 ， DAGBAF90 ，ADGBAF， BAFADG(AAS)，BFAG，AFDG， AGAFFG，BFAGDGFG， BFDGFG. 4(2019 鄂州)如图，矩形 ABCD 中，AB8， AD6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分 别交 AB，CD 边于点 E，F. (1)求证：四边形 DEBF 是平行四边形； (2)当 DEDF 时，求 EF 的长 (1)证明：证明：四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，ABCD， DFOBEO，又因为，又因为DOFBOE， ODOB，DOFBOE(ASA)，DFBE， 又因为又因为 DFBE，四边形四边
4、形 BEDF 是平行四边形；是平行四边形； (2)解：解： DEDF， 四边形， 四边形 BEDF 是平行四边形，是平行四边形， 四边形四边形 BEDF 是菱形，是菱形，DEBE，EFBD， OEOF， 设， 设 AEx， 则， 则 DEBE8x， 在， 在 Rt ADE 中，根据勾股定理，有中，根据勾股定理，有 AE2AD2DE2， x262(8x)2， 解得：， 解得： x7 4 ， ， DE87 4 25 4 ， 在在 Rt ABD 中， 根据勾股定理， 有中， 根据勾股定理， 有 AB2AD2BD2， BD 6282 10，OD1 2 BD 5， 在在 Rt DOE 中， 根据勾股定理
5、， 有中， 根据勾股定理， 有 DE2OD2OE2， OE（25 4 ）252 15 4 ，EF2OE15 2 . 5(2019 通辽)如图，点 P 是正方形 ABCD 内的 一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时旋转 90 ，得 到线段 CQ，连接 BP，DQ. (1)如图 1，求证：BCPDCQ； (2)如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E. 如图 2，求证：BEDQ； 如图 3，若BCP 为等边三角形，判断DEP 的形状，并说明理由 (1) 证明：证明：BCD90 ，PCQ90 ， BCPDCQ，又，又BCCD，CPCQ， BCPDCQ(SAS)； (2)如图，如图，BCPDCQ， CBFEDF，又，又BFCDFE， DEFBCF90 ，BEDQ； BCP 为等边三角形，为等边三角形，BCP60 ， PCD30 ，又，又 CPCD，CPDCDP 75 ，又，又BPC60 ，CDQ60 ，EPD180 CPDCPB180 75 6045 ，同理：，同理： EDP45 ，DEP 为等腰直角三角形为等腰直角三角形
