1、1 第第 10 讲、讲、依据特征构造依据特征构造最值问题（讲义）最值问题（讲义） 1. 如图， 抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于 A(-4， -4)， B(0， 4)两点， 直线 AC： 1 6 2 yx 交 y 轴于点 C，点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G （1）求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式 （2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标 （3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时， 以 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，
2、H 的坐标； 在的前提下， 以点 E 为圆心， EH 长为半径作圆， 点 M 为E 上一动点， 求 1 2 AM+CM 的最小值 y x G O F E C B A y xO C B A y xO C B A 2 2. 如图，抛物线 y=ax2+bx-a-b（a0，a，b 为常数）与 x 轴交于 A，C 两点， 与 y 轴交于点 B，直线 AB 的函数关系式为 816 93 yx （1）求该抛物线的函数关系式与点 C 的坐标 （2）已知点 M(m，0)是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分 别与直线 AB 和抛物线交于 D，E 两点，当 m 为何值时，BDE 恰好是以
3、DE 为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动 点 M 相应位置记为点 M， 将 OM绕原点 O 顺时针旋转得到 ON （旋转角在 0 到 90 之间） i探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O，B 重合） ，无论 ON 如何旋 转，NP NB 始终保持不变 若存在， 试求出 P 点坐标； 若不存在， 请说明理由 ii试求出此旋转过程中，(NA+ 3 4 NB)的最小值 y x O C B A 3 l y x OM E D C B A y x O C B A 3. 已知抛物线 y=a(x+3)(x-1)（a0），与 x 轴从左
4、至右依次相交于 A，B 两点， 与y轴相交于点C， 经过点A的直线3yxb 与抛物线的另一个交点为D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； 4 （2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形 与ABC 相似，求点 P 的坐标； （3） 在 （1） 的条件下， 设点 E 是线段 AD 上的一点 （不含端点） ， 连接 BE 一 动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线 段 ED 以每秒 2 3 3 个单位的速度运动到点 D 后停止，则当点 E 的坐标是多 少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ y x
5、O D C BA y xO D C BA y xO D C BA 5 4. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 B(-1，0)，D(-2，5)两点，与 x 轴另一交点为 A，点 H 是线段 AB 上一动点，过点 H 的直线 PQx 轴，分别交直线 AD、 抛物线于点 Q，P （1）求抛物线的解析式 （2） 是否存在点 P， 使APB=90 ？若存在， 求出点 P 的横坐标； 若不存在， 说明理由 （3）连接 BQ，一动点 M 从点 B 出发，沿线段 BQ 以每秒 1 个单位的速度 运动到 Q，再沿线段 QD 以每秒2个单位的速度运动到 D 后停止，当点 Q 的坐标是多少时，点 M 在整个运
6、动过程中的用时 t 最少？ y xH Q P O D C BA 6 y xH Q P O D C BA 备用图 【参考答案】【参考答案】 1. （1）抛物线的表达式为 y=-x2-2x+4； （2）点 G 的坐标为(-2，4)； （3）此时 E(-2，0)，H(0，-1)； 1 2 AM+CM 的最小值为 5 5 2 2. （1）抛物线的函数表达式为 2 84016 993 yxx ；C(1，0)； （2）当 m=-4 时，BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形； （3）i存在，P 点坐标为(0，3)； 7 ii(NA+ 3 4 NB)的最小值为3 5 3. （1）抛物线的函数解析式为 2 32 33 3yxx ； （2）点 P 的坐标为(-4， 15 3 )或(-6，3 7)； （3）当点 E 的坐标为(1，4 3)时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少 4. （1）抛物线的解析式为 y=x2-2x-3； （2）存在，点 P 的横坐标为13或13； （3）当点 Q 的坐标为(-1，4)时，点 M 在整个运动过程中的用时 t 最少
