1、第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分与方向导数第四节 复合函数与隐函数求导法第五节 偏导数的应用第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第一节 多元函数的基本概念一、多元函数概念二、二元函数的极限与连续一、多元函数概念多元函数概念1 两个实例例例矩形面积S和它的边长a，b具有如下关系：SabS，a，b三个变量三个变量（a0，b0）。）。a，b每取定一组数，每取定一组数，有唯一有唯一S与之对应与之对应例2 理想气体的压强，体积V 和绝对温度T 之间有关系：RVRTP(是常数）P，V，T三个变量三个变量（V0，T0）。）。V，T
2、每取定一组数，有唯一每取定一组数，有唯一P与之对应与之对应结论结论它们在数量关系上有共同的属性，它们在数量关系上有共同的属性，即一个变量依赖于另两个变量即一个变量依赖于另两个变量 多元函数概念2 2 二元函数定义二元函数定义.P(x,y)点集点集fz数集数集二元函数设有三个变量设有三个变量x、y 和和z z，如果当，如果当x、y 在一在一定范围内任取一对数值时，变量定范围内任取一对数值时，变量 z z 按照一按照一定的法则定的法则 f 总有一个确定的数值与之对应，总有一个确定的数值与之对应，则称则称 z z 是是 x、y 的二元函数的二元函数 记记 z=f(x,y)z=f(x,y)其中其中x
3、x、y y 称为自变量，称为自变量，z z 称为因变量；自变称为因变量；自变量量x x、y y的取值范围称为函数的定义域的取值范围称为函数的定义域 二 元函数记为),(000000),(yxytxxzzyxf或多元函数概念例3 设函数)sin(ln),(2xyxeyxf，求),(,2,0 xyff解2112102sin0ln2,02ef)sin(ln),(2yxyexyf三元函数),(zyxfu n元函数),(21nxxxfu多元函数多元函数二元及二元以上的函数二元及二元以上的函数一元函数 yf(x)，x表示数轴上一点P，则yf(P）对二元函数（x，y）表示平面上一点P，则zf(P）对三元函数
4、 uf（x，y，z），uf(P）P 表示三维空间中的点n元函数),(21nxxxfu可表示为uf(P），P 表示 n 维空间中的点点函数点函数以点表示自变量的函数 多元函数概念3 二元函数的定义域二元函数的定义域 区域区域 全部平面或由曲线围成的部分平面全部平面或由曲线围成的部分平面 边界边界 围成区域的曲线 开区域开区域 不包括边界的区域 闭区域闭区域 连同边界在内的区域 邻域邻域 以点 为中心，为半径的圆内所有点的集合 ),(000yxP2020)()(),(),(yyxxyxPU有界区域有界区域 一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，否则称为无界区域无界区域 例4 求下列函数的定义域 D
5、，并画出 D 的图形 多元函数概念292arcsinyxz（1）1142222yxyxz(2)解解（）要使函数 292arcsinyxz有意义，应有 09122yx3322yx33,22),(yxyxD23多元函数概念（）定义域为 01042222yxyx的点全体，即 4122yx41),(22yxyxD2例例试用不等式表示由 y=x,x=2,y=1 所围成的平面区域 D 解解先作出区域 D 的图形 横坐标x满足不等式 21 x纵坐标y满足不等式xy 1所以，区域D用不等式组表示为xyx121可考虑用另一组不等时表示D4 4 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 多元函数概念设函数z=f(x,
6、y)的定义域为D，对任意点DyxP),(相应有函数值z=f(x,y),有序数组(x,y,z)确定空间中一 点M(x,y,z)当点P 在D 内变动时，对应点 M 就在空间变动，一般形成一张曲面)0(222ayxaz函数的图形第一节 多元函数的基本概念一、多元函数概念二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续0 x一元函数y=f(x)的极限，考察当自变量x 趋于 时f(x)的变化二元函数z=f(x,y)需要考察当自变量x、y y无限趋于常数 、时函数值的变化 0y0 x00yyxx记为x、y分别趋于0 x0y、表示P(x、y)趋于),(000y
7、xP记为0PP 或),(),(00yxyx若20200)()(yyxxPP则当0表示0PP 或),(),(00yxyx),(yxfz 在点),(000yxP的某一邻域内有定义（点的某一邻域内有定义（点 0P以除外）如果对于任意给定的正数以除外）如果对于任意给定的正数，总存在，总存在 恒有 Ayxf),(APfAyxfPPyyxx)(),(limlim000或正数正数 使得当点使得当点P P（x x，y y）满足满足 00PP时，二元函二元函数极限数极限二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续例例求 222200)sin(limyxyxyx解解令 22yxu，当 00,0uyx时，所以 1sin
8、)sin(limlim0222200uuyxyxuyx求解特点求解特点二元函数的极限转化为一元函数的极限求解二元函数的极限转化为一元函数的极限求解 注意注意第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分与方向导数第四节 复合函数与隐函数求导法第五节 偏导数的应用第二节第二节 偏导数偏导数如果 存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点 对x的偏导数xzxxlim0),(00yx第二节 偏导数一、偏导数的概念一、偏导数的概念 一元函数y=f(x)的导数 xxfxxfdxdyx)()(lim0二元函数z=f(x,y)的导数视其中一个量为变量，其余
9、量为视其中一个量为变量，其余量为常数讨论导数常数讨论导数偏导数偏导数偏导数定义偏导数定义设z=f(x,y)在点 的某邻域有定义，固定而x在 处取得增量 时，函数z取得增量 即 ),(00yx0yy 0 xxzx),(),(0000yxfyxxfzx称之为函数称之为函数z z在点在点 处对处对x x的偏增量的偏增量),(00yx0000,yyxxyyxxxfxz00yyxxxz),(00yxfx0000,yyxxyyxxyfyz00yyxxyz),(00yxfy偏导数的计算xyxfyxxfyxfxx),(),(),(0000000lim按定义类似对y的偏导数yzyylim0yyxfyyxfy),
10、(),(00000limxzxfxz),(yxfxyzyfyz),(yxfy当（x,y)为D内动点，偏导数就是x，y的函数。此函数为z=f(x,y)在点的偏导函数。偏导数的计算例例求函数 222yxyxz在点(1,3)处的两个偏导数 解解 yxyxyxxzx22222yxyxyxyzy22222所以 8321231yxxz4321231yxyz例例求函数 yxyxfarctan),(的偏导数 解2221)(11arctanyxyyyxxzyxx2222)(11arctanyxxyxyxxzyxy例3 已知气态方程 RTPV（R是常数）求证：1PTTVVP偏导数的计算证证由 VRTP 2VRTV
11、PPRTV PRTVRPVT RVPT所以12RTRTVPRTRVPRVRTPTTVVP例例4 000),(2222yxyxyxxyyxf求)0,0(xf)0,0(yf 解 所求偏导数必须按定义计算)0,0(xf 000)0,0()0,0(limlim00 xxfxfxx)0,0(yf 000)0,0()0,0(limlim00yyfyfyy例4在函数在点（0,0)不存在极限，但函数在该点却存在偏导数0),(yyyxfz表示平面与曲面的交线处切线对x 轴的斜率，即 tan),(00yxfx在点),(,(0000yxfyx处切线对x 轴的斜率，即),(,(0000yxfyx处切线对y 轴的斜率，
12、即 类似),(00yxfy是曲面z=f(x,y)与平面 0 xx 的交线在点tan),(00yxfy小小结结1 偏导数是视多元函数为一元函数讨论曲线的变化率问题；2 偏导数的计算，视其中一元为变量，其它为常量，化为 一元函数的导数；3 偏导数的几何意义表示曲线的斜率。二、高阶偏导数二、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的两个偏导数xz),(yxfxyz),(yxfy仍是x,y的函数对以上二个偏导数再考虑求偏导数，得函数的二阶偏导数。),(22yxfxzxzxxx),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx),(22yxfyzyzyyy 混合偏导数高阶偏导数高阶偏导数 二阶及二阶以
13、上的偏导数二阶及二阶以上的偏导数 高阶偏导数例题高阶偏导数例题例例求 1332yxeyzx的所有二阶偏导数 解解因为 3223yxeyxzx2332yxyeyzx22292yxyexyzxyxeyzx32262yxz2xyz2是否具有偶然性？定定理理 如果函数如果函数 z=f(x,y)的两个混合偏导数 、在区域在区域D内连续，则在区域内内连续，则在区域内D有有yxz2xyz2yxz2xyz2即：二阶混合偏导数在区域D内连续时，求导结果与求导次序无关 高阶偏导数例题高阶偏导数例题例例设,arctanxyz 求yxz2xyz2解解 222211yxyxyxzxy 222111yxxxyzxy222
14、22222222222)()(2yxxyyxyyxyxyyxzy22222222222222)()(2yxxyyxxyxyxxxyzx混合偏导数相等高阶偏导数例题高阶偏导数例题例例设 222zyxu，证明 22xu22yuuzu222证证 uxzyxxzyxxux22222232222222uxuuuxuuxuxuuxxux同理可得 32222uyuyu32222uzuzu22xu22yu22zu322uxu322uyuuuzu2322第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分与方向导数、梯度第四节 复合函数与隐函数求导法第五节 偏导数的应
15、用第三节第三节 全微分与方向导数全微分与方向导数第三节 全微分与方向导数、梯度一元函数yf（x）的微分 dy是y=Ax+o()x全微分如果二元函数在点如果二元函数在点 的某邻域有定义，给的某邻域有定义，给 的的改变的的改变量量 、，得，得z z的全增量的全增量则称在点则称在点 可微可微 ，称为称为z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点 的全微分的全微分 记作记作 ),(00yx00yx、xy)(),(),(0000oyBxAyxfyyxxfz),(00yxyBxA),(00yxyBxAdzA、B仅与 有关，而与 、无关),(00yxxy ，是比 更高阶的无穷小 22)()(yx)(o区域可微
16、区域可微z=f(x,y)在区域在区域D内每一点可微内每一点可微全微分性质全微分性质性质函数 z=f(x,y)在点 处可微，则 z=f(x,y)在点 连续),(00yx),(00yx证明证明因函数z=f(x,y)在点 处可微,有),(00yx)(oyBxAzzyxlim00lim00yx)(oyBxAlim00yx0)()(lim00oyBxAyx所以，函数 z=f(x,y)在点 连续),(00yx注意注意函数 z=f(x,y)在点 不连续，则在 可微),(00yx),(00yx全微分性质全微分性质性质性质函数函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点 处可微，则处可微，则z=f(x,y)z=
17、f(x,y)的两个偏导数存在，的两个偏导数存在，且且),(00yxByxfAyxfyx),(,),(0000证明证明 因为函数可微,z=f(x,y)在点 的增量为),(00yx)(),(),(0000oyBxAyxfyyxxfz由于A、B的取值与 、取值无关，特别地取 0 xyy则)(),(),(0000oxAyxfyxxfzzxxAxoAoAxzxzxxxxx)()(limlimlimlim0000得),(00yxfAx同理可得),(00yxfBy所以 dzxyxfx),(00yyxfy),(00规定dyydxx得dzdxyxfx),(00dyyxfy),(00全微分公式全微分公式全微分例题
18、全微分例题例例讨论 000),(22222yxyxyxyxyxf在点(0,0)处是否可微 解在点(0,0)处，0)0,0(xf0)0,0(yf222)()()(yxyxdzz23222)()()(yxyxdzz如果让)0,0(yx沿趋y=x于点(0,0)，则 =xy221)()()(2322300limlimyxxdzzxxyx当 不是比 更高阶的无穷小，所以在点(0,0)处全微分不存在 dzz,0时从这个例子可知对于二元函数，偏导数存在仅仅是可微的必从这个例子可知对于二元函数，偏导数存在仅仅是可微的必要条件，不是充分条件要条件，不是充分条件 全微分例题全微分例题性质（可微的充分条件）如果函数
19、性质（可微的充分条件）如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数在点的偏导数在点(x,y)(x,y)的邻域内存在，且在点的邻域内存在，且在点(x,y)(x,y)连续，则函数连续，则函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)处可处可微微 例例求函数z=xy在点(2,3)处关于 的的改变量与全微分 2.0,1.0yx解解 yxxyyxxyyyxxz)(yxxydyyxfdxyxfdzyx),(),(12.0)2.0(1.0)2.0(21.03)3,2(z1.0)2.0(21.03)3,2(dz例例求函数 的全微分 22lnyxz解解 22yxxxz22yxyyz22yx
20、ydyxdxdyyzdxxzdz全微分例题全微分例题例例求 的全微分 yzxu 解xyxuxzxuyzxuyzzyzyyzxln,ln,1xdzyxdyzdxxyzxydzudyudxuduzyxlnln全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 设z=f(x,y)函数在点(x,y)处可微，当x、y分别取得改变量 、时 xy),(),(yxfyyxxfzzyxfyyxxf),(),(由全微分定义，与dz的差是比 更高阶的无穷小，当 与 充分小时 zxyyyxfxyxfdzzyx),(),(计算增量的近似计算公式),(),(yxfyyxxfyyxfxyxfyx),(),(计算f(x,y)邻
21、近值的近似计算公式全微分近似计算例题全微分近似计算例题例例要制作一个圆柱形的玻璃桶，内圆柱的直径为米，高为米，桶底及桶壁的厚度分别为10厘米和厘米，试计算所需材料的近似值 解解设内圆柱的体积为V，半径为R，高为H 3,1;1.0,05.0;002HRHRHRVHHVRRVdVV)3,1()3,1(HRRHR)3,1(2)3,1(21.0305.03122)(2.13m全微分近似计算例题全微分近似计算例题例例计算 的近似值 33)97.1()02.1(解解把 33)97.1()02.1(看作函数),(yxfz 33yx 97.1,02.1yyxx在的函数值取03.0,2,02.0,1yyxx)0
22、3.0()2,1(02.0)2,1()2,1()97.1()02.1(33yxfff33233223),(23),(3)2,1(yxyyxfyxxyxffyx2)2,1(21)2,1(yxff所以 95.203.0202.0213)97.1()02.1(33三、方向导数三、方向导数 xzyz、偏导数分别表示函数f(x,y)在点(x,y)沿平行于x轴和y轴方向的变化率 方向导数讨论函数在给定点沿任一方向的变化率 xyz.),(000yxMl.),(yxM方向导数方向导数设设z=f(x,y)在点在点 ，及其附近有定及其附近有定义从义从 出发引一条射线出发引一条射线 l，在在 l上点 的邻近取一动点
23、 ，记 ，若当 ，在 时极限存在，则称极限值为函数则称极限值为函数 z=f(x,y)在 处沿方向的方向导数，记作处沿方向的方向导数，记作),(000yxM),(000yxM),(yxM),(000yxMMM0MMyxfyxfz000),(),(0MM),(000yxM0Mlz方向导数的计算方向导数的计算 即 MMyxfyxflzMMM000),(),(lim00注意1 方向导数 是在一个点 处沿方向l 的函数z对距离的变化率;2 当 时，函数z沿l 方向是增加的；3 当 时，函数z沿l 方向是减少的.lz0M0lz0lz定理定理若函数若函数 z=f(x,y)在点在点 处可微；为为l 方向的方向
24、的方向余弦，则函数方向余弦，则函数z在点在点 处沿处沿l 方向的方向导数必存在，且方向的方向导数必存在，且),(000yxMcoscos、0Mcoscosyzxzlz方向导数计算公式方向导数计算公式证明证明由z=f(x,y)在点 处可微，则 方向导数的计算公式方向导数的计算公式 证明证明 coscosyzxzlz),(000yxM)(),(),(0000oyyzxxzyxfyyxxfz)(oyyzxxzzcos,cosyx而；当0)(,0lim0o时所以 coscos0yzxzlzM推广到三元函数u=f(x,y,z)的情形 coscoscos0zuyuxuluM方向导数的计算方向导数的计算例例
25、求函数 在点M(1,0,1)处沿l=i+2j+2z方向的方向导数 222zyxu解222zyxxux222zyxyuy222zyxzuz21Mxu0Myu21Mzu3221222l32cos32cos31cos2132213203121lucoscos0yzxzlzMcoscoscos0zuyuxuluM计算公式平面平面第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分与方向导数第四节 复合函数与隐函数求导法第五节 偏导数的应用第四节第四节 复合函数与隐函数求导法复合函数与隐函数求导法一、复合函数求导法一、复合函数求导法 复合函数复合函数),(),
26、(,),(yxvyxuvufz),(),(yxyxfz是x,y的复合函数求导法则求导法则设函数设函数),(),(yxvyxu在点在点（x,yx,y）处有偏导数，函数处有偏导数，函数 Z=f(u,v)Z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)u,v)处有连续偏导数，那么复合函数处有连续偏导数，那么复合函数),(),(yxyxfz在在(x,y)处有对处有对x及及y的偏导数，且的偏导数，且)1(xvvzxuuzxz)2(yvvzyuuzyz多元复合函数的复合关系是比较复杂的，中间变量个数及复合次数都给我们求偏导数带来不便，我们不可能对复合函数的每一种情况都给出求导公式，也没有必要在求偏导数时，我们可
27、根据所给复合函数的变量关系图得出求导公式 复合函数求导公式推导复合函数求导公式推导),(),(,),(yxvyxuvufz设函数写出偏导数公式1)作出变量关系图 zuvyx我们把从z到x的路径数看成项，每条线段代表一个因式 xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz类似2)由关系图写出公式)(,)(,),(tytxyxfz又设写出z对t的求导1)作出变量关系图 tzxy从z到t有两条路，有两项；每条路有两条线段，每项为两个因式。1)写出公式 dtdyyzdtdxxzdtdzz对t的全导数复合函数求导步骤与实例复合函数求导步骤与实例 1 由所给复合函数画出变量关系图；2 对所求偏导数，由变量关系图
28、得出求导公式；3 求出求导公式中所需的偏导数（或导数）；4 将所求导数代入求导公式后，化简即可。求导步骤例例设已知 yxvxyuvezu2,cos，求 xzyz解解本题可带公式（）、（）xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz因为 veuzucosvevzusinyxuxyu2xv1yv所以)sin2cos(2sincosvvyeveyvexzuuu)2sin(2)2cos(yxyxyexy)sincos()1(sincosvvxevexveyzuuu)2sin()2cos(yxyxxexy复合函数求导实例复合函数求导实例 例例已知 xyyxyxfzsin,),(2求 dxdz解解画出变量关系
29、图，zyx由关系图得公式 dxdyyzxfdxdz而xxf2yyz21xdxdycos所以 xxxdxdzsin2cos2 例例设 yxzezyxfuzyxsin,),(2222求 xuyu解解画出变量关系图，yuzx由关系图得公式 xzzfxfxuyzzfyfyu而zyxexf2222zyxyeyf2222zyxezf2222yxyzyxxzcos,sin22复合函数求导实例复合函数求导实例 所以 zyxeyxxu222)sin21(2zyxeyxyyu2222)cos(2注意注意xf是把f(x,y,z)中除以x外任何量看成常量而对x求导；xu仅把f(x,y,z)中y看成常量而对x求导（因为
30、z是x的函数）.例例设 yxxyfz2,，求 xzyz解解令 yxvxyu2,，则 z=f(u,v)作出变量关系图得公式xvvfxuufxzyvvfyuufyz而 vufvffuf2,1,1,2yvxyuxvxyxuvuffxyxz2vuffxyz21yzuvx隐函数求导法隐函数求导法 1 1 一元隐含数求导公式一元隐含数求导公式设方程 F（x，y）0确定函数y=f(x)代入方程得0)(,xfxF画出变量关系图，两边对x求导 xFy0 dxdyFFyx若 ，则0yFyxFFdxdy一元隐含数求导公式例例 设设 ，求，求 xyx222dxdy解解令 xyxyxF2),(22yFxFyx2,22y
31、xyxFFdxdyyx1222隐函数求导法隐函数求导法 2 2 二元隐含数求导公式二元隐含数求导公式设方程 F（x，y，z）0确定函数z=f(x,y)代入方程得0),(,yxfyxF出变量关系图 yFzx0 xzFFzx0 yzFFzyzxFFxz设 、连续，且xFyF0zF0zFzyFFyz二元隐函数二元隐函数求导公式求导公式 两边分别对x、y求导隐函数求导法例题隐函数求导法例题 例例已知 0 xyzez求xzyz解 令xyzezyxFz),(zxFFxzzyFFyz计算公式因为xyeFxzFyzFzzyx所以)1(zxzxyxyzyzxyeyzxzz)1(zyzxyxyzxzxyexzyz
32、z第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分与方向导数第四节 复合函数与隐函数求导法第五节 偏导数的应用第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用 第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用 一、偏导数的几何应用一、偏导数的几何应用 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面 设空间曲线L的参数方程为)()()(tzztyytxx假定 均可导)(),(),(tztytx0tt 当时，在L上有一点 0000,zyxM给 以增量，相应在 L上有一点 0t),(000zzyyxxM则割线 的方程为 MM0zzzyyyxxx000tzzztyyytxxx000当
33、点M 沿曲线L趋向于点 时，有 ,割线 的极限位置 为在点 的切线 0M0tMM0TM00M)()()(000000tzzztyyytxxx点 的切线方程0M)()()(000000tzzztyyytxxx 第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用 )(),(),(000tztytx不全为零不全为零假定假定切线的方向向量切线的方向向量)(),(),(000tztytxS过 且垂直于切线的平面称为曲线L在点处的法平面 0M0)()()(000000zztzyytyxxtx过过 点的法点的法平面方程平面方程 0M曲线的切线与法平面例题曲线的切线与法平面例题例1、求曲线 L：221216xzxy在对应
34、于 点处的切线与法平面方程21x解解令 tx，得曲线L的参数方程 221216xzxyxx当 时，21 xt34zy由于ttzttytx24)(,32)(,1)(1221,1621,121zyx所求切线方程为 12316421zyx法平面方程为 0)3(12)4(1621zyx020124322zyx2 2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设曲面 S 的方程为 0),(zyxFS.0M曲面 S 的切平面0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面 S 的切平面方程为：法线方程法线方程曲面 S 的法线方程为：),(),(),(000000
35、000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyx是切平面的法向量是切平面的法向量 曲面的切平面与法线例题曲面的切平面与法线例题 例例曲面上 哪一点处的切平面 与平面平行？并求出该切平面方程 2222yxz32416zyx解解令 22),(22yxzzyxF1,2,4zyxFyFxF设所求点为 0000,zyxM，则切平面法向量为 1,2,400yx n n由于切平面平行于平面 032416zyx214216400yx1,200yx代入2222yxz70z故切点坐标为)7,1,2(所求切平面为 0)7()1(2)2(8zyx
36、01128zyx二、多元函数的极值二、多元函数的极值 1 1二元函数的极值及求法二元函数的极值及求法 设设函数 z=f(x,y)在点在点 的某个邻域内有定义，如果对于的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于该邻域内异于 的点，都有的点，都有 f(x,y)f f(x,y)f 或或),(00yx),(00yx),(00yx),(),(00yxfyxf极极值值 极大值极大值),(00yxf 极小值极小值),(00yxf极值点极值点.),(00yx多元函数的极值的求法多元函数的极值的求法 极值存在的极值存在的必要条件必要条件 设函数z=f(x,y)在点处的偏导数),(00yx),(00yxfx、),(
37、00yxfy存在，且在点),(00yx有极值，则有 0),(0),(0000yxfyxfyx证证因为z=f(x,y)在点),(00yx处有极值，固定 ，则0yy),(0yxfz 在点 处也取得极值，有 0 xx 0),(00yxfx),(0yxfz 同理可得 0),(00yxfy驻点驻点0),(0),(0000yxfyxfyx满足的),(00yx切记：驻点不一定是极值点在什么条件下，驻点才是极值点呢？极值存在的充分条件极值存在的充分条件 多元函数极值的求法多元函数极值的求法 设函数设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点),(00yx的某个邻域内有连续的二阶偏导数，且的某个邻域内有连续的
38、二阶偏导数，且0),(00yxfx0),(00yxfy令令),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 则（）当则（）当 02 ACB时，时，),(00yxf是极值是极值 若若A0(A0(即即C0)C0(A0(即即C0)C0)时，时，),(00yxf是极小值是极小值（）当（）当 02 ACB时，时，),(00yxf不是极值不是极值（）当（）当 02 ACB时，时，),(00yxf可能是极值，可能是极值，也可能不是极值也可能不是极值证明过程略证明过程略多元函数极值例题多元函数极值例题 例例求函数 xyyxyxf3),(33的极值 解解解方程组 033),(033),(22x
39、yyxfyxyxfyx求得驻点(1,1),(0,0)yffxfyyxyxx6,3,6 对驻点(1,1)6,3,6CBA06,0272AACB极小值极小值f f(1,1)=-1(1,1)=-10,3,0CBA092 ACBf(x,y)在点（0,0）不取极值对驻点（0,0）最大值与最小值最大值与最小值 有界闭区域上连续的函数一定有最大值与最小值；有界闭区域上连续的函数一定有最大值与最小值；取得最大值或最小值的点在区域的内部，或者在区域的边界上；取得最大值或最小值的点在区域的内部，或者在区域的边界上；取得最大值或最小值的点在区域的内部，或者在区域的边界上；取得最大值或最小值的点在区域的内部，或者在区
40、域的边界上；结论方法 求区域内驻点函数值；求区域内驻点函数值；求区域边界的最大值与最小值；求区域边界的最大值与最小值；比较驻点函数值与区域边界最值，得出有界区域最值。比较驻点函数值与区域边界最值，得出有界区域最值。注注意意对多元函数极值的应用题，知道函数在区域内对多元函数极值的应用题，知道函数在区域内有最值，且求出的又只有一个驻点，则该点的有最值，且求出的又只有一个驻点，则该点的函数值即为所求最值。函数值即为所求最值。最大值与最小值例题最大值与最小值例题例例在xy坐标面上找一点P，使它到三点)1,0(01()0,0(321PPP）、，、的距离 平方和为最小 解解设P(x,y)为所求点，S为P
41、到 321PPP、三点距离的平方和，即 232221PPPPPPS222222)1()1(yxyxyx2223322yxyx解方程组 026026ySxSyx31 yx所求点为P31,31由实际意义知，到三点距离由实际意义知，到三点距离平方和最小的点一定存在，平方和最小的点一定存在，该函数又只有一个驻点该函数又只有一个驻点 最大值与最小值例题最大值与最小值例题例要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为例要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为2 2立方米，问当长、立方米，问当长、宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？解解设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，所用材料
42、面积为)(2yzxzxyS用料最省，即为所用材料面积最小 因为 xyz=2xyz2代入上式得yxxyS44)00(yx，040422yxSxySyx334,4yx即得驻点)44(3，因此，当长、宽为 34，高为 24442333时，用料最省 条件极值条件极值 无条件极值自变量除了被限制在定义域内，没有其它条件的约束自变量除了被限制在定义域内，没有其它条件的约束 无条件极值条件极值我们把对自变量有附加约束条件的极值我们把对自变量有附加约束条件的极值 求函数)(2yzxzxyS的最小值，且满足 2xyz注意有些条件极值问题可以转化为无条件极值问题求解（如有些条件极值问题可以转化为无条件极值问题求解
43、（如例）但大量的条件极值问题化为无条件极值困难，例）但大量的条件极值问题化为无条件极值困难，或者化成无条件极值后计算起来很复杂或者化成无条件极值后计算起来很复杂法拉格朗日乘数解决条件极值问题法拉格朗日乘数解决条件极值问题法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数求函数),(yxfz 在条件 0),(yx下的极值 步步 骤骤1）构造辅助函数 ),(),(),(yxyxfyxF 称为拉格朗日乘数 2)解联立方程组0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx得出可能极值点（x,y）,在实际问题中往往就是所求极值点，因而求出极值 拉格朗日乘数法可以推广到两个以上自
44、变量或一个拉格朗日乘数法可以推广到两个以上自变量或一个以上约束条件的情况。以上约束条件的情况。法拉格朗日乘数例题法拉格朗日乘数例题例例6 6要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为2 2立方米，问当长、立方米，问当长、宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？解解按题意，即求函数)(2yzxzxyS在条件 xyz=2 下的最小值 设函数)2()(2),(xyzyzxzxyzyxF020220202xyzxyyxFxzzxFyzzyFzyx令解得 24,433zyx实际问题存在最小值，且可能极值点只有一个故当长为 34、宽为 34
45、高为 243时，用料最省 对称函数的极值对称函数的极值对称函数n元函数),(21nxxxfu，若存在),(njniji有),(),(11nijnjixxxxfxxxxf则称函数),(21nxxxfu是关于自变量 与 ixjx的对称函数。与ixjx相互为的对称变量)(2),(yzxzxyzyxf是关于x与y的对称函数 若对任意的),(njniji),(21nxxxfu都是关于自变量 与 的对称函数，则称函数 ixjx),(21nxxxfu是关于自变量 nxxx,21的对称函数 对称函数的极值求法对称函数的极值求法),(21nxxxfu求求满足条件 0),(21nxxx的极值 目标函数条件函数方方
46、法法在目标函数和条件函数都是对称函数时，可用下面方法求解在目标函数和条件函数都是对称函数时，可用下面方法求解解方程组 nnxxxxxx21210),(求出可能极值点，因而求出极值 例例周长为 2p 的三角形中，当面积为最大时，三边长各为多少？对称函数的极值例题对称函数的极值例题例周长为例周长为 2p 的三角形中，当面积为最大时，三边长各为多少？的三角形中，当面积为最大时，三边长各为多少？解解设 x,y,z 分别为三角形三边的长，其面积为A则)()(zpypxppA且pzyx2对称函数对称函数对称函数对称函数02zyxpzyx解方程组pzyx32可能极值点只有一个ppp32,32,32实际问题存
47、在最大值 所以，当三边长各为 p32时，三角形面积最大 若要计算最值，只需把若要计算最值，只需把 x x，y y，z z 的值代入面积公式即可的值代入面积公式即可目标函数目标函数条件函数条件函数对称函数的极值例题对称函数的极值例题例要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为例要制造一个无盖的长方形水箱，使其体积为2 2立方米，问当长、立方米，问当长、宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？宽、高各取怎样尺寸，才能使用料最省？再再次次求求解解解解)(2yzxzxySxyz=2目标函数，非对称目标函数，非对称条件函数，对称条件函数，对称令2*zz 代入目标 函数与条件函数得：4*xyzyzxzxyS对称函数对称函数解方程组*4*zyxxyz34*zyx24*213zz因此，当长、宽为 34，高为 时，用料最省 243用以上方法求条件极值时，目标函数与条件函数一定是对称函数，当不满足对称性条件时，要改用其它方法
