1、2023-1-27函数与极限2一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作2023-1-27函数与极限3数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如
2、例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记记作作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2023-1-27函数与极限42.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作oxaboxab2023-1-27函数与极限5bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba
3、记记作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.2023-1-27函数与极限63.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径.)(axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a.0)(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 2023-1-27函数与极限74.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在
4、某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示变量等表示变量.2023-1-27函数与极限85.5.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:2023-1-27函数与极限9因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在
5、点点称称时时当当xxfDx .),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx,二、函数概念二、函数概念2023-1-27函数与极限10()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例
6、例如如，1,1:D211xy 例例如如，)1,1(:D2023-1-27函数与极限11定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例例如如，222ayx 2023-1-27函数与极限12 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn2023-1-2
7、7函数与极限13(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x2023-1-27函数与极限14 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数2023-1-27函数与极限15(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2023-1-27函数与极限16 0,10,12)(,2xxxxxf例例如如12 xy
8、12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.2023-1-27函数与极限17例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,2,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即2023-1-27函数与极限18,),(时时当当 t.0 U其表达式为其表达式为是
9、一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(,0,2(),(22,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 2023-1-27函数与极限19例例2 2.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故2023-1-27函数与极限20三、函数的特性三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf20
10、23-1-27函数与极限212函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI2023-1-27函数与极限22)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xx
11、xxI),()()2(21xfxf 恒恒有有2023-1-27函数与极限233函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf2023-1-27函数与极限24有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 2023-1-27函数与极限254函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定义域
12、为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl2l 2l23l 23l2023-1-27函数与极限26)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 四、反函数四、反函数2023-1-27函数与极限27五、小结五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函
13、数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数2023-1-27函数与极限28思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.2023-1-27函数与极限29思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf2023-1-27函数与极限30一、一、填空题填空题:1 1、若若2251tttf ,则则_)(tf,_)1(2 tf.2 2、若若 3,sin3,1)(xxxt,则则)6(=_=_，)3(=_.=_.3 3、不等式、不等
14、式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._.4 4、设、设2xy ,要使要使 ),0(Ux 时，时，)2,0(Uy,须须 _._.练练 习习 题题2023-1-27函数与极限31二、证明二、证明xylg 在在),0(上的单调性上的单调性.三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数，且且 10,001,)(2xxxxf,试在试在),(上绘出上绘出)(xf的图形的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的五、证明：
15、两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数六、证明函数acxbaxy 的反函数是其本身的反函数是其本身.七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函数数，并并指指出出其其定定义义域域.2023-1-27函数与极限32一、一、1 1、225tt ,222)1(2)1(5 tt；2 2、1,11,1；3 3、(4,6)(4,6)；4.4.2,0(.七、七、)1,1(,11ln xxy.练习题答案练习题答案2023-1-27函数与极限34一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数)(是常数是常数
16、 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2023-1-27函数与极限352.指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 2023-1-27函数与极限363.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(2023-1-27函数与极限374.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 2023-1-27函数与极限38xycos xycos 余弦函数余弦函数2023-1-27函数与极限39正切函数正切函数xytan xytan 2023-1-27函数与极限40 xycot 余切函数余
17、切函数xycot 2023-1-27函数与极限41正割函数正割函数xysec xysec 2023-1-27函数与极限42xycsc 余割函数余割函数xycsc 2023-1-27函数与极限435.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数2023-1-27函数与极限44xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数2023-1-27函数与极限45xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数2023-1-27函数与极限46 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基
18、本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc2023-1-27函数与极限47二、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域fD,而而函函数数)(xu 的的值值域域为为 Z,若若 ZDf,则则称称函函数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数.,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y2023-1-27函数与极限48注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arc
19、sin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.2023-1-27函数与极限49例例1 1).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)
20、(xx;20 x,0 x或或,11)(2 xx;1 x2023-1-27函数与极限50,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(xx;2 x,0 x或或,11)(2 xx;01 x综上所述综上所述.2,120011,2,)(2122 xxxxxexexfxx 2023-1-27函数与极限51三、双曲函数与反双曲函数三、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦xycosh xysinh),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 212023-1-27函数与极限52xxxxeeeexxx cos
21、hsinhtanh双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,2023-1-27函数与极限53双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2023-1-27函数与极限542.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy2023-1-27函数与
22、极限55.),1内单调增加内单调增加在在),1:D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y2023-1-27函数与极限56.11ln21xx )1,1(:D奇函数奇函数,.)1,1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y2023-1-27函数与极限57四、小结四、小结函数的分类函数的分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项
23、式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)2023-1-27函数与极限58思考题思考题下列函数能否复合为函数下列函数能否复合为函数)(xgfy ，若能，写出其解析式、定义域、值域若能，写出其解析式、定义域、值域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)(xxgu2023-1-27函数与极限59思考题解答思考题解答2)()1(xxxgfy ,10|xxDx21,0)(Df)2(不能不能01sin)(xxg)(xg的的值值域域与与)(uf的的定定义义域域之之交交集集是是空空集集.2023-1-27函数与极限60._1反反三三角角函函数数统统称称对对数数函函数
24、数，三三角角函函数数和和、幂幂函函数数，指指数数函函数数，._)(ln31)(2的的定定义义域域为为，则则函函数数，的的定定义义域域为为、函函数数xfxf一、填空题一、填空题:._32复复合合而而成成的的函函数数为为，、由由函函数数xueyu ._2lnsin4复复合合而而成成由由、函函数数xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，的定义域为的定义域为，为为）的定义域）的定义域（，则，则，的定义域为的定义域为、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf练练 习习 题题2023-1-27函数与极限61.sin的的图图形形”作作函函数数
25、二二、应应用用图图形形的的“叠叠加加xxy .)()()(111011)(，并作出它们的图形，并作出它们的图形，求求，三、设三、设xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30.05020.0500220形形出出图图之之间间的的函函数数关关系系，并并作作千千克克于于行行李李重重量量元元元元，试试建建立立行行李李收收费费出出部部分分每每千千克克千千克克超超元元，超超出出千千克克每每千千克克收收费费千千克克以以下下不不计计费费，定定如如下下：四四、火火车车站站行行李李收收费费规规xxf2023-1-27函数与极限62一、一、1 1、基本初等函数；、基本初等函数；2 2、,3ee；3 3、2xe
26、y ；4 4、xvvuuy2,ln,sin ；5 5、-1,1,-1,1,kk2,2,1,aa ,212101,aaaa.三、三、1,10,00,1)(xxxxgf；1,11,11,)(xexxexfg.练习题答案练习题答案2023-1-27函数与极限63四、四、50),50(3.0105020,2.0200 xxxxxy2023-1-27函数与极限65“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入2023-1-27函数与极限66R正六
27、边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2023-1-27函数与极限672 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 12023-1-27函数与极限68二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为
28、称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n2023-1-27函数与极限69注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 2023-1-27函数与极限70.
29、)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限71问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:2023-1-27函数与极限72,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,1
30、0011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有,0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx2023-1-27函数与极限73定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn如果数列没
31、有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N2023-1-27函数与极限74x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使2023-1-27函数与极限75数列极限的定义未给
32、出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1.1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：2023-1-27函数与极限76例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在
33、时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 2023-1-27函数与极限77例例3.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 2023-1-27函数与极限78例例4.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证,0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从从而而有有aax
34、n a1 2023-1-27函数与极限79四、四、数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性定义定义:对数列对数列nx,若存在正数若存在正数M,使得一切自使得一切自然数然数n,恒有恒有Mxn 成立成立,则称数列则称数列nx有界有界,否则否则,称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界2023-1-27函数与极限80定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则
35、.11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2023-1-27函数与极限812.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得.,021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .
36、时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2023-1-27函数与极限82例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1,1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx2023-1-27函数与极限833.(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系
37、)如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是是anx2023-1-27函数与极限84五五.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性唯一性有界性唯一性.2023-1-27函数与极限85思考题思考题指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误。证明证明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得,0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有
38、成立成立Nn 10nn1lim nnn2023-1-27函数与极限86思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值nnln2023-1-27函数与极限87从而从而 时，时，2ln)1ln(Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln2023-1-27函数与极限88一一、利利用用数数列列极极限限的的定定义义证
39、证明明:1 1、231213lim nnn；2 2、19.999.0lim n二二、设设数数列列nx有有界界，又又0lim nny，证证明明：0lim nnnyx.练练 习习 题题2023-1-27函数与极限89“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入2023-1-27函数与极限90.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限91.)1(11时时的的变变化化趋趋势
40、势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限92.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限93.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限94.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限95.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限96.)1(11时
41、时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限97.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限98.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限99.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限100.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与
42、极限101.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限102.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限2023-1-27函数与极限104.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023-1-27函数与极限105问问题题:函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的
43、过过程程表表示示 xXx.0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.2023-1-27函数与极限106定定义义 1 1 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在着着正正数数X,使使得得对对于于适适合合不不等等式式Xx 的的一一切切x,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限,记记作作)()()(lim
44、xAxfAxfx当当或或:.1 定定义义定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim2023-1-27函数与极限107:.10情情形形 x.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当Axfx)(lim2.另两种情形另两种情形:Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且2023-1-27函数与极限108xxysin 3.几何解释几何解释:X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函
45、数时时或或当当 AyxfyXxXxA2023-1-27函数与极限109xxysin 例例1.0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 2023-1-27函数与极限110二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题:函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(
46、任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 2023-1-27函数与极限111定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式 Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或:.1 定义定
47、义定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当2023-1-27函数与极限1122.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 2023-1-27函数与极限113例例2).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf)(
48、CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 2023-1-27函数与极限114例例4.211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要要使使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx2023-1-27函数与极限115例例5.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf
49、,0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)(Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取负值且不取负值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明2023-1-27函数与极限1163.单侧极限单侧极限:例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;00 xx记记作作yox1xy 112 xy2023-1-27函数与极限117左极限左极限.)(,0,
50、000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作2023-1-27函数与极限118.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x2
