1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理,)(0有定义在xU且)(0 xf 存在,)()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证:设,)()(,)(0000 xfxxfx
2、Uxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 费马 证毕xyO0 x目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理)(xfy 满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b),使.0)(f证证:，上连续在因,)(baxf故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则,)(baxMxf因此.0)(,),(fba在(a,b)内至少存在一点xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,
3、)(afM 则至少存在一点,),(ba使,)(Mf.0)(f注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.1,010,)(xxxxf则由费马引理得 1,1)(xxxf 1,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不连续在 1,0不可导在)1,0()1()0(ff例如,目录 上页 下页 返回 结束.2要仅是充分条件，但非必罗尔定理中的三个条件xxxxxxf,1,0,sin0,)(如0)2(,2fxx使得但)()()3(ff处不可导在0)2(x处不连续在x)1(122目录 上页 下页 返回 结束 ab1 2 xyo)(xfy CAB 若连续曲线的弧上除端点外处处有不垂直
4、于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行，则弧上除端点外至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于x轴（即弦AB）罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义:目录 上页 下页 返回 结束 使本定理可推广为)(xfy 在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点,.0)(f证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.)(xFaxaf,)(bxaxf,)(bxbf,)(目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明方程0155 xx,15)(5xxxf.3)1(,1)0(ff,0)(0 xf,)1,0(011xxx)1(5)(4xxf),1,0(,0 x有且
5、仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则)(xf在 0,1 连续,且由介值定理知存在,)1,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2)唯一性.假设另有,0)(1xf使在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点,.0)(f使但矛盾,故假设不真!设目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理CAB(1)在区间 a,b 上连续)(xfy 满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点,),(ba使.)()()(abafbff拉氏 xyab)(xfy Oxyabafbf)()(若连续曲线弧上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则
6、弧上除端点外至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于弦AB 拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理的几何意义:注意:该中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式)(时也成立ab 目录 上页 下页 返回 结束 ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafY,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba目录 上页 下页
7、返回 结束 作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()(abafbff即即目录 上页 下页 返回 结束),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理（有限增量定理）的有限增量形式:时，不一定很小自变量取得有限增量)(xx 推论推论:若函数在区间 I 上满足,0)(xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证:在 I 上任取两点,)(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式,得0)()(12xfxf)(12xxf)(21
8、xx)()(12xfxf由 的任意性知,21,xx)(xf在 I 上为常数.)10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则的精确表达式函数增量 y目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明等式.1,1,2arccosarcsinxxx证证:设,arccosarcsin)(xxxf上则在)1,1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)(常数)令 x=0,得.2C又,2)1(f故所证等式在定义域 上成立.1,1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上,0)(xf,0Ix 且.)(00Cxf使目录 上页
9、下页 返回 结束 例例3.证明不等式证证:设,)1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0,)0)(因此应有目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点,),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)(xF0)(xF)()(aFb
10、F)(abFba0问题转化为证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 构造辅助函数构造辅助函数目录 上页 下页 返回 结束 证证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且,),(ba使,0)(即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,)()()(baabfafbf),(,)()()(baabFaFbF两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.目录 上页 下页 返回 结束 柯
11、西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:弦的斜率切线斜率xyO目录 上页 下页 返回 结束)0()1(ff)0()1(FF例例4.设).0()1(2)(fff2)(01)0()1(fffxxxf)()(2,)(2xxF,)1,0(,1,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证:问题转化为证设则)(,)(xFxf在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使)(f)(F012即)0()1(2)(fff证明目录 上页 下页 返回
12、结束 11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e,1(,)()()1(e)1(e)FfFFff例例5.试证至少存在一点)e,1(使.lncos1sinlncos1sin 证证:法法1 用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点)e,1(使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,e),1(使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存
13、在x1xln1sin 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理目录 上页 下页 返回 结束 4412 3412思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数4)(xxf在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值._2)设有个根,它们分别在区间341530)(xf)4,3(,)2,1(,)3,2(上.,)4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程目
14、录 上页 下页 返回 结束 2.设,0)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff提示提示:由结论可知,只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(目录 上页 下页 返回 结束 3.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示提示:设,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0)(exxxf作辅助函数,)(e)(xfxFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.目录 上页 下页 返回 结束 4.思考:在0
15、,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(,)0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,0 0 x时.0cos1问问是否可由此得出?0coslim10 xx不能不能!因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数目录 上页 下页 返回 结束 .,0)()4)(3)(2)(1()(1 并指出它们所在的区间有几个根说明方程导数，、不用求出函数xfxxxxxf.)(,1)0(),()(),()(3xexffxfxfxf则且内满足关系式在、证明
16、：若函数 .0)1(,02 01211001110的根必有一个小于方程证明：有一个正根、方程xaxnanxaxxxaxaxannnnnn目录 上页 下页 返回 结束 )(111nnf作业作业P132 4,5,6,7,10,11(2),15提示提示:xxfxe)()(题*15.)(nxxf)0(f 0)0(f0题14.考虑第二节 费马费马(1601 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀
17、尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日拉格朗日(1736 1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的是为巴黎综合学校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,广泛而深远.对数学的影响他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析数学的发展.复变函数和微分
18、方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题求证存在,)1,0(.0)()(ffn使1.设 1,0可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf证证:设辅助函数)()(xfxxn,)1,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件,1,0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn0目录 上页 下页 返回 结束 0)0(,0)(fxf设 证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx)()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf
