1、第一节第一节 极限的定义极限的定义第二节第二节极限的运算极限的运算第三节第三节 函数的连续性函数的连续性第二章第二章 极限与连续极限与连续 一、一、函数的极限函数的极限 二、二、数列的极限数列的极限 三、三、极限的性质极限的性质四、四、极限分析定义极限分析定义 五、五、无穷小量无穷小量 六、六、无穷大量无穷大量 第一节第一节 极限的定义极限的定义 第一节第一节 极限的定义极限的定义0 xx时函数时函数()f x的极限的极限 引例引例 从函数图形特征观察函数的极限从函数图形特征观察函数的极限 如图：当如图：当1x 时，时，()1f xx无限接近；无限接近；如图：当如图：当1x 时，时，21()1
2、xg xx无限接近于无限接近于 O 1-1 x 1 1)(2 x x x g y 图图 图图O1-1(1,2)xyf(x)=x+1一、函数的极限一、函数的极限 邻域的邻域的概念：开区间（概念：开区间（x，x）称为以）称为以 x为中为中心，以心，以 （）为半径）为半径的邻域的邻域，简称为点，简称为点 x的邻域的邻域，记为记为N（x，）用）用0(,)N x表示表示 0 x的的空心邻域空心邻域，即，即0000(,)(,)(0)xxx x 函数函数()1f xx与与21()1xg xx是两个不同的函数，前者是两个不同的函数，前者在在1x 处有定义，后者在处有定义，后者在1x 处无定义这就是说，当处无定
3、义这就是说，当1x 时，时，()f x，()g x的极限是否存在与其在的极限是否存在与其在1x 处是否处是否有定义无关有定义无关 定义定义 设函数设函数()f x在在 0 x的某一的某一空心邻域空心邻域0(,)N x内有定义，如果当自变量内有定义，如果当自变量 x在在0(,)N x内无限接近于内无限接近于 0 x时，相应的函数值无限接近于常数时，相应的函数值无限接近于常数 A，则，则 A为为0 xx时时函数函数()f x的极限，记作的极限，记作0lim()xxf xA或或0()()f xA xx 0 xx时函数时函数()f x的极限的极限 定义定义 设函数设函数()f x在在 0 x的右半邻域
4、的右半邻域00(,)x x内内有定义，当自变量有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于在此半邻域内无限接近于 0 x时，相应时，相应的函数值的函数值()f x无限接近于常数无限接近于常数 A，则称，则称 A为函数为函数()f x在在 0 x处的右极限，记为处的右极限，记为 由该定义可知由该定义可知,讨论函数讨论函数()f x在在 0 x处的右极限处的右极限0lim()xxf xA时，在自变量时，在自变量 x无限接近于无限接近于 0 x的过程中，恒的过程中，恒有有0 xx.于是有于是有 00lim()lim()xxxxf xf xA.000lim()()()().xxf xAf xAf xA x
5、x，或定义定义 3 3 设函数设函数)(xf在在 0 x的左半邻域的左半邻域),(00 xx内内有定义，当自变量有定义，当自变量 x在此半邻域内无限接近于在此半邻域内无限接近于 0 x时，时，相应的函数值相应的函数值)(xf 无限接近于常数无限接近于常数 A，则称，则称 A为函数为函数)(xf在在 0 x处的左极限，记为处的左极限，记为，Axfxx)(lim0或或Axf)(0或或).()(0 xxAxf 3 3 0 xx时时函函数数)(xf的的极极限限 由 该 定 义 知由 该 定 义 知,讨 论 函 数讨 论 函 数)(xf在在0 x处 的处 的 左 极 限左 极 限Axfxx)(lim0时
6、，在自变量时，在自变量 x无限接近于无限接近于0 x的过程中，恒的过程中，恒有有0 xx ,于是有于是有 Axfxfxxxx)(lim)(lim00.定定理理 1 1 Axfxx)(lim0的的充充要要条条件件是是 .)(lim)(lim00Axfxfxxxx例例 1 1 设设,0()1,0,0 xxf xxxx，画画出出该该函函数数的的图图形形，并并讨讨论论)(lim0 xfx，)(lim0 xfx，)(lim0 xfx是是否否存存在在 解解 )(xf的的图图形形如如图图 3 3(见见下下页页)所所示示，由由该该图图不不难难看看出出：0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx；0)(li
7、m0 xfx.例例 2 2 设设1,0sgn0,01,0 xxxx，(通常称通常称 xsgn为符号为符号函数函数)，画图讨论，画图讨论,sgnlim0 xx ,sgnlim0 xx xxsgnlim0是否存在是否存在 解解 函函数数xsgn的的图图形形如如图图 4 4(见见右右上上图图)所所示示，不不难难看看出出；1sgnlim0 xx；1sgnlim0 xx；xxsgnlim0不不存存在在.y O 1-1 x 1 图图 3 3 O-1 x 1 y 图图 4 4 4 4 x时时函函数数)(xf的的极极限限 定定义义 4 4 设设函函数数)(xf在在ax|时时有有定定义义(a为为某某个个正正实实
8、数数)，如如果果当当自自变变量量 x的的绝绝对对值值无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 A，则则称称 A为为 x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为Axfx)(lim或或)()(xAxf.5 5 x时时函函数数)(xf的的极极限限 定定义义 5 5 设设函函数数)(xf在在),(a内内有有定定义义(a为为某某个个正正实实数数)，当当自自变变量量x无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值 )(xf无无限限接接近近于于常常数数A，则则称称A为为x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为Axfx)(lim或或 )()(xAxf 定定义
9、义 6 6 设设函函数数)(xf在在),(a内内有有定定义义(a为为某某个个实实数数)，当当自自变变量量无无限限变变小小(或或x无无限限变变大大)时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 A，则则称称 A为为x时时函函数数)(xf的的极极限限，记记Axfx)(lim或或)()(xAxf 定定理理 2 2 lim()xf xA的的充充要要条条件件是是 )(limxfx=Axfx)(lim 6 6x时时函函数数)(xf的的极极限限 例例 3 3 由图由图 5 5 可知：可知：01limxx；01limxx 图图5 5 O x y x e y O x y x y 1 图图6
10、 6 由图由图 6 6 可知可知 0elimxx 1 1 数数列列的的概概念念 设自变量为正整数的函数设自变量为正整数的函数),2,1)(nnfun，其，其函 数 值 按 自 变 量函 数 值 按 自 变 量n由 小 到 大 排 列 成 一 列 数由 小 到 大 排 列 成 一 列 数 ,321nuuuu 称为数列，将其简记为称为数列，将其简记为 nu，其中，其中 nu为数列为数列 nu的通项或一般项的通项或一般项 例如例如 nnu21，相应的数列为，相应的数列为 ,21,21,21,2132n 2 2 数列的极限数列的极限定定义义 7 7 对对于于数数列列 nu，如如果果当当 n无无限限增增
11、大大时时，通通项项nu无无限限接接近近于于某某个个确确定定的的常常数数 A，则则称称 A为为数数列列nu的的极极限限，或或称称数数列列 nu收收敛敛于于A，记记为为Aunnlim或或)(nAun 若若数数列列 nu没没有有极极限限，则则称称该该数数列列发发散散 二、数列的极限二、数列的极限例例 3 3 观察下列数列的极限：观察下列数列的极限：(1)(1)1nnun：(2)(2)nnu21：(3)(3)12 nun：(4)(4)1)1(nnu 解解 观察数列在观察数列在n时的发展趋势，得时的发展趋势，得 （1 1）对 于 数 列对 于 数 列1nnun，即，即,.1,.,43,32,21nn极
12、限极 限11limnnn；（2 2）对于数列对于数列nnu21，即，即,.21,.,21,21,2132n极限极限021limnn；（3 3）对 于 数 列）对 于 数 列12 nun，即，即,.12,.,7,5,3n极 限极 限)12(limnn不存在不存在；（4 4）对于数列）对于数列1)1(nnu，即，即,.)1(,.,1,1,11n极限极限1)1(limnn不存在不存在 3.3.数列极限存在定理数列极限存在定理单调数列单调数列 如果数列如果数列nu对于每一个正整数对于每一个正整数 n，都，都有有1nnuu，则称数列，则称数列nu为单调递增数列；类似地，如为单调递增数列；类似地，如果数列
13、果数列nu对于每一个正整数对于每一个正整数 n，都有，都有1nnuu，则称数，则称数列列nu为单调递减数列为单调递减数列 有有界界数数列列 如如果果对对于于数数列列 nu，存存在在一一个个正正常常数数 M，使使得得对对于于每每一一项项 nu，都都有有|nuM，则则称称数数列列 nu为为有有界界数数列列 定定理理 3 3 (单单调调有有界界原原理理)单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限 性性质质 1 1 (惟惟一一性性)若若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，则则BA.性质性质 2 2 (有界性有界性)若若Axfxx)(lim0，则存在，则存在 0 x的的某一某一空心邻域空心邻域
14、),(0 xN，在，在),(0 xN内函数内函数)(xf有界有界 三、极限的性质三、极限的性质性质性质 3 3 (保号性保号性)若若Axfxx)(lim0且且 0A(或或 0A)，则存在某个，则存在某个空心邻域空心邻域),(0 xN，在，在),(0 xN内内0)(xf(或或0)(xf)推论推论 若在某个若在某个空心邻域空心邻域),(0 xN内，内，)(xf0 0(或或)(xf0 0)，且，且 Axfxx)(lim0,则则 A0(0(或或 A0)0).性质性质 4 4 (夹逼准则夹逼准则)若若 x),(0 xN(其中其中 为为某 个 正 常 数某 个 正 常 数)时，有时，有)(xg)(xf)(
15、xh，Axhxgxxxx)(lim)(lim00,则则 Axfxx)(lim0.上上述述性性质质，若若把把0 xx 换换成成自自变变量量 x的的其其他他变变化化过过程程，有有类类似似的的结结论论成成立立 定义定义 1 (极限的极限的定义定义)设设)(xf在在 0 x的的某个某个邻域邻域),(0 xN中有定义，若对任意给定的正数中有定义，若对任意给定的正数 ，存在，存在0，使得当，使得当00 xx时，总有时，总有 Axf)(成成立，立，则称则称0 xx 时，时，)(xf以以 A 为极限，记为为极限，记为Axfxx)(lim0 五五、无无穷穷小小量量 1 1 无无穷穷小小量量的的定定义义 定义定义
16、 8 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小 说说明明（1 1）数数零零是是惟惟一一可可作作为为无无穷穷小小的的常常数数.（2 2）无无穷穷小小表表达达的的是是量量的的变变化化状状态态，而而不不是是量量的的大大小小一一个个量量不不管管多多么么小小，都都不不能能是是无无穷穷小小量量，零零是是惟惟一一例例外外的的即即无无穷穷小小量量是是绝绝对对值值无无限限变变小小且且趋趋于于零零的的量量 四、极限分析定义四、极限分析定义 例例 4 4 自变量自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：穷小：11)1(xy；12)2(xy；
17、xy2)3(；xy41)4(.解解 (1 1)因因为为011limxx，所所以以当当x时时，11x为为无无穷穷小小；(2 2)因因为为0)12(lim21xx，所所以以当当21x时时，12 x 为为无无穷穷小小；(3 3)因因为为02limxx，所所以以当当x时时，x2为为无无穷穷小小；(4 4)因因为为041limxx，所所以以当当x时时，x41为为无无穷穷小小 2 2 极极限限与与无无穷穷小小量量之之间间的的关关系系 设设Axfxx)(lim0，即，即0 xx 时，函数值时，函数值)(xf无限接无限接近于常数近于常数 A，也就是说，也就是说Axf)(无限接近于常数零，即无限接近于常数零，即
18、0 xx 时，时，Axf)(以零为极限，也就是说以零为极限，也就是说0 xx 时，时，Axf)(为无穷小量，若记为无穷小量，若记Axfx)()(，则有，则有)()(xAxf，于是有，于是有 定定 理理4 4 (极极 限限 与与 无无 穷穷 小小 量量 之之 间间 的的 关关 系系)Axfxx)(lim0的的充充要要条条件件是是)()(xAxf，其其中中)(x是是0 xx 时时的的无无穷穷小小量量 定定理理 4 4 中中自自变变量量 x的的变变化化过过程程换换成成其其他他任任何何一一种种情情形形,(00 xxxxx ),xx后后 仍仍 然然 成成立立 解解因为因为1)11(lim1lim)(li
19、mxxxxfxxx，而，而xxxxf111)(中的中的x1为为x时的无穷小量，所以，时的无穷小量，所以，xxf11)(为所求极限值与一个无穷小量之和的形式为所求极限值与一个无穷小量之和的形式 3 3 无无穷穷小小量量的的运运算算性性质质 定理定理 5 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量有限个无穷小的代数和是无穷小量 说说明明：无无穷穷多多个个无无穷穷小小量量的的代代数数和和未未必必是是无无穷穷小小量量.如如n时时，,2,122nn 2nn均均 为为 无无 穷穷 小小 量量，但但21)2121(lim2)1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn.例例 5 5 当当x时时，将将函函数
20、数xxxf1)(写写成成其其极极限限值值与与一一个个无无穷穷小小量量之之和和的的形形式式 定定理理 6 6 无无穷穷小小与与有有界界量量的的积积是是无无穷穷小小 推推论论 1 1 常常数数与与无无穷穷小小的的积积是是无无穷穷小小 推推论论 2 2 有有限限个个无无穷穷小小的的积积仍仍是是无无穷穷小小 说说明明：两两个个无无穷穷小小之之商商未未必必是是无无穷穷小小.如如0 x时时，x 与与 2x 皆皆为为无无穷穷小小，但但由由22lim0 xxx知知 xx2当当0 x时时不不是是无无穷穷小小 例例 6 6 求求xxx1sinlim20 解解 因因为为0lim20 xx，所所以以 2x为为x时时的
21、的无无穷穷小小量量，又又因因为为x1sin1 1，所所以以xx1sin2仍仍为为0 x时时的的无无穷穷小小量量，所所以以 01sinlim20 xxx.1 1 无无穷穷大大量量的的定定义义 定义定义 9 9 在自变量在自变量 x 的某个变化过程中，若相应的的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值函数值的绝对值)(xf无限增大，则称无限增大，则称)(xf为该自变量变为该自变量变化过程中的无穷大量化过程中的无穷大量(简称为无穷大简称为无穷大)；如果相应的函数；如果相应的函数值值)(xf(或或)(xf)无限增大，则称无限增大，则称)(xf为该自变量变化为该自变量变化过程中的正过程中的正(或负或负)无
22、穷大无穷大 如 果 函 数如 果 函 数)(xf是是0 xx 时 的 无 穷 大，记 作时 的 无 穷 大，记 作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 时的正无穷大，记作时的正无穷大，记作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 时的负无穷大，记作时的负无穷大，记作)(lim0 xfxx 对于自变量对于自变量 x 的其的其他变换过程中的无他变换过程中的无穷大量，正无穷大量，负无穷大量穷大量，正无穷大量，负无穷大量可用类似的方法描可用类似的方法描 六、无穷大量六、无穷大量述述 值值得得注注意意的的是是，无无穷穷大大量量是是极极限限不不存存在在的的一一种种情情形形，
23、这这里里借借用用极极限限的的记记号号，但但并并不不表表示示极极限限存存在在 例例 x1是是 0 x时的负无穷大量；用记号表示为时的负无穷大量；用记号表示为 ,1lim0 xx 2x是是x时的正无穷大量，用记号表时的正无穷大量，用记号表示为示为 2limxx.2 2 无无穷穷大大与与无无穷穷小小的的关关系系 定理定理 7 7 (无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系)在自变量在自变量的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的的变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小的倒数为无穷大 例例 7 7 自自变变量量在在怎怎样样的的变变化化过过程程中中，下下列列函函数数
24、为为无无穷穷大大：(1)(1)11xy；(2)(2)12 xy；(3)(3)xyln；(4)(4)xy2 解解 (1)(1)因为因为0)1(lim1xx，即，即1x时时 1x为无穷小为无穷小量，所以量，所以11x为为1x时的无穷大量；时的无穷大量；(2)(2)因为因为0)121(limxx，所以，所以x时时121x为无穷为无穷小量，所以小量，所以12 x为为x时的无穷大量；时的无穷大量；(3)(3)由右图知，由右图知，0 x时，时，xln，xxlnlim0 x时，时，xln，即，即xxlnlim 所以，所以，0 x 及及x时，时，xln都是无穷大量；都是无穷大量；O y x 1 x y ln
25、思考题思考题 在在Axfxx)(lim0的定义中，为何只要求的定义中，为何只要求)(xf在在的的0 x的某个空心邻域的某个空心邻域),(0 xN内有定义？内有定义？xxxsinlim是否存在，为什么？是否存在，为什么？(4 4)因因为为02limxx，即即x时时x2为为无无穷穷小小量量，因因此此xx221为为x时时的的无无穷穷大大量量；一、一、极限运算法则极限运算法则二、二、两个重要极限两个重要极限三、三、无穷小的比较无穷小的比较第二节极限的运算第二节极限的运算设设)(limxf及及)(limxg都都存存在在（假假定定x在在同同一一变变化化过过程程中中），则则有有下下列列运运算算法法则则：法法
26、则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下面我们来证明法则，其他证法类同下面我们来证明法则，其他证法类同 一、极限运算法则一、极限运算法则证证 设设BxgAxf)(lim,)(lim，则知，则知 BxgAxf)(,)(（，都是无穷小量）都是无穷小量）于是于是 )()()()(BAABBAxgxf 由由无无穷穷小小的的性性质质知知 BA仍仍为为无无穷穷小小，再再由由极极限限与与无无穷穷小小的的关关系系，得得 )()(limxgxfAB
27、=)(lim)(limxgxf 例例 求求)143(lim22xxx 解解 514lim3lim)143(lim22222xxxxxxx 例例 求求2342lim221xxxx 解解 因 为因 为05)23(lim21xx,所 以所 以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 例例 求求45127lim224xxxxx （4x）.3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx例例 4 4 求求2332lim22xxxxx.一一般般地地 .,0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxam
28、mmnnnx当当当Another two examples例例 5 5 求求下下列列函函数数极极限限：(1 1)1113(lim31xxx；(2 2)xxx11lim0；(3 3)31coslimxxxx.解解 (1)(1)当当1x时时,上式两项极限均为不存在上式两项极限均为不存在(呈现呈现形式形式),),我们可以先通分我们可以先通分,再求极限再求极限.112lim)1)(1()1)(2(lim)1)(1()1(3lim)1113(lim212122131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.21111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxx
29、xxxx(3)(3)因为当因为当x时时,xxcos极限不存在极限不存在,也不能直也不能直接用极限法则接用极限法则,注意到注意到xcos有界有界(因为因为|cos|x1 1),),又又 ,01lim1lim23xxxxxxxx(2)(2)当当0 x时时,分子分母极限均为零分子分母极限均为零(呈现呈现 00形形式式),),不能直接用商的极限法则不能直接用商的极限法则,这时这时,可先对分子有理可先对分子有理化化,然后再求极限然后再求极限.根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得得 .01coslim1coslim33xxxxxxxx小结：小结：(1(1)运用极限法则时运用
30、极限法则时,必须注意只有各项必须注意只有各项极限存在极限存在(除式除式,还要分母极限不为零还要分母极限不为零)才能适用；才能适用；(2 2)如如果果所所求求极极限限呈呈现现 00,等等形形式式不不能能直直接接用用极极限限法法则则,必必须须先先对对原原式式进进行行恒恒等等变变形形(约约分分,通通分分,有有理理化化，变变量量代代换换等等)，然然后后再再求求极极限限 (3 3)利利用用无无穷穷小小的的运运算算性性质质求求极极限限.1.1.1sinlim0 xxx 证明证明 作单位圆如下图所示作单位圆如下图所示,取取xAOB(rad)(rad),于于是 有是 有：BC,sin xABx,xADtan.
31、由 图 得由 图 得OADOABOABSSS扇形,即即 xxxtan2121sin21 得得 xxxtansin,从从而而 有有1sincosxxx.D A B C O x 二、两个重要极限二、两个重要极限上上述述不不等等式式是是当当20 x时时得得到到的的,但但因因当当 x用用x代代换换时时xcos,xxsin都都不不变变号号,所所以以 x为为负负时时,关关系系式式也也成成立立.因因为为1coslim0 xx,又又11lim0 x,由由极极限限的的夹夹逼逼准准则则知知介介于于它它们们之之间间的的函函数数xxsin当当0 x时时,极极限限也也是是 1 1.这样就证明了这样就证明了1sinlim
32、0 xxx.说明：（说明：（1 1）这个重要极限主要解决含有三角函数）这个重要极限主要解决含有三角函数的的00型极限型极限 （2 2）为了强调其一般形式）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成我们把它形象地写成1sinlim0口口口(方框代表同一变量方框代表同一变量)例例 6 6 求求xxx4sin3sinlim0.003040sin3sin343limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 7 7 求求20cos1limxxx.解解 2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx
33、 解解例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 203030cos1sincos1lim)cos1(tanlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxx 由例由例 7 7 知知)0(21cos12xxx,故故21sintanlim30 xxxx.解解2 2.e11limxxx 解解释释说说明明：列列出出xx11的的数数值值表表(如如下下表表)，观观察察其其变变化化趋趋势势.1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718xx11x从从上上表表可看出可看出,当当x无限增大时无限增大时,函数函数xx11变化的变
34、化的大致趋势大致趋势,可以证明当可以证明当x时时,xx11的极限确实存的极限确实存在在,并且是一个无理数并且是一个无理数,其值为其值为718282828.2e,即即 e11limxxx说明：（说明：（1 1）此极限主要解决）此极限主要解决 1型幂指函数的极限型幂指函数的极限 （2 2）它可形象地表示为）它可形象地表示为 e11lim口口）口（(方方框代表同一变量框代表同一变量)例例 9 9 求求xxx31lim.解解 所 求 极 限 类 型 是所 求 极 限 类 型 是1型型,令令ux3,则则ux3.333311lim 1lim 1lim1exuuxuuxuu 例例 1 10 0 求求2lim
35、 1xxx.解解 所求极限类型是所求极限类型是 1型型.22221lim 1lim1e.2xxxxxx例例 1111 求求2lim3xxxx.解解 所所求求极极限限类类型型是是 1型型,令令uxx1132,解解得得3 ux.当当x时时,u.于于是是 332111limlim 1lim 1lim 1e.3xuuxuuuxxuuu 定义定义 设某一极限过程中设某一极限过程中,与与 都是无穷小都是无穷小,且且 Clim（C为常数）为常数）.(1)(1)若若0C，则称，则称 是比是比 高阶的无穷小，记成高阶的无穷小，记成)(ao(此时，也称此时，也称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小)(2)(2)若
36、若0C，则称，则称 与与 是同阶无穷小，特别地，是同阶无穷小，特别地，若若1C，则称，则称 与与 是等价无穷小，记为是等价无穷小，记为 例如，例如，1sinlim0 xxx即即)0(sinxxx；12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 三、无穷小的比较三、无穷小的比较 常常用用的的几几个个等等价价无无穷穷小小代代换换 当当0 x时时,有有 2sin,tan,arcsin,arctan11 cos,ln(1),e1,2111.2xxxxxxxxxxxxxxxx 定定理理 设设,)1(aa；),(lim)2(或Aa 则则)(limlim或Aaa ).(limlimlimliml
37、imlim或Aaaaaaaaa 证证例例 1 12 2 求求xxx5sin2tanlim0 解解 当当0 x时，时，xx22tan,xx55sin,所以所以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx例例 1 13 3 求求30sintanlimxxxx 解解 因因为为当当0 x时时,xx sin,221cos1xx,所所以以 3330002301sin1tansinsin(1 cos)coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxxAnother two examplesCome to conclusions思考题思考题1 1.下下列列运
38、运算算错错在在何何处处：;01coslim01coslimsinlim1cossinlim)1(0000 xxxxxxxxx22222lim(2)lim.2lim(2)xxxxxxx 2 2.两两个个无无穷穷大大的的和和仍仍为为无无穷穷大大吗吗?试试举举例例说说明明.一、一、函数的连续性定义函数的连续性定义 二、二、初等函数的连续性初等函数的连续性三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的这方面实例可以举出很多，
39、如水的连续流动、身高的连续增长等连续增长等 函数的增量函数的增量 设函数设函数)(xfy在点在点 0 x的某邻域上有定的某邻域上有定义，当自变量义，当自变量 x由由 0 x变到变到xx0时，函数时，函数 y相应由相应由)(0 xf变到变到)(0 xxf，函，函 数相应的增量为数相应的增量为 )()(00 xfxxfy.O x y x f y 0 x x x 0 x y ()其其几几何何意意义义如如右右图图 所所示示 第三节第三节 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性定义一、函数的连续性定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xfy 在点在点 0 x的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，如果自变
40、量的增量如果自变量的增量0 xxx趋于零时，对应的函数增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即也趋于零，即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 则称函数则称函数)(xf在点在点0 x是连续的是连续的 由于由于y也写成也写成)()(0 xfxfy，所以上述定义，所以上述定义 1 1中表达式也写为中表达式也写为 0)()(lim00 xfxfxx ,即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 说说明明：函函数数)(xf在在点点 0 x连连续续，必必须须同同时时满满足足以以下下三三个个条条件件：(1 1)(xf在在点点 0 x的的一一个个邻邻域域内内有有定定义义；(2 2)(
41、lim0 xfxx存存在在；(3)(3)上述极限值等于函数值上述极限值等于函数值)(0 xf 如如果果上上述述条条件件中中至至少少有有一一个个不不满满足足，则则点点 0 x就就是是函函数数)(xf的的间间断断点点 定定义义 2 2 设设函函数数)(xfy 在在点点0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义，若若)()(lim00 xfxfxx，则则称称函函数数)(xf在在点点0 x处处连连续续 定定义义 3 3 (间间断断点点的的分分类类)设设 0 x为为)(xf的的一一个个间间断断点点，如如果果当当0 xx 时时，)(xf的的左左、右右极极限限都都存存在在，则则称称0 x为为)(xf的的第第一一
42、类类间间断断点点；否否则则，称称 0 x为为)(xf的的第第二二类类间间断断点点 对对第第一一类类间间断断点点还还有有 (1 1)当当)(lim0 xfxx与与)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等时时，称称 0 x为为)(xf的的跳跳跃跃间间断断点点；(2 2)当当)(lim0 xfxx存存在在，但但不不等等于于)(xf在在 0 x处处的的函函数数值值时时，称称0 x为为)(xf的的可可去去间间断断点点 若若)(lim0 xfxx，则则称称 0 x为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点，无无穷穷间间断断点点属属第第二二类类间间断断点点 例例 1 1 设设 21,1,1xxf xx
43、x，讨论讨论)(xf在在1x处的连续性处的连续性 解解 因为因为 1lim)(lim211xxfxx,2)1(lim)(lim11xxfxx,即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一类间断点，且为跳跃间断点（如下页图第一类间断点，且为跳跃间断点（如下页图 7 7）.例例 2 2 设设 4,01,0 xxfxxx，讨论讨论)(xf在在0 x处的连续性处的连续性 解因为解因为0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所以所以0 x是是)(xf的第一类间断点，且为的第一类间断点，且为可去间断点（如下页图可去间断点（如下页图 8 8）.O x
44、y 2 1 1 图图 7 7 O x 1 y 图图 8 8 例例3 3 2)1(1)(xxf在在1x处处 没没 有有 定定 义义，且且21)1(1limxx，则则称称1x为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点 如如果果)(xf在在区区间间),(ba内内每每一一点点都都是是连连续续的的，就就称称)(xf在在区区间间),(ba内内连连续续若若)(xf在在),(ba内内连连续续，在在ax 处处右右连连续续，在在bx 处处左左连连续续，则则称称)(xf在在,ba上上连连续续.连连续续函函数数的的图图形形是是一一条条连连续续不不断断的的曲曲线线 若若00lim()()xxf xf x,则称函数在则称函数在
45、 0 x处右连续处右连续,若若00lim()()xxf xf x,则称函数在则称函数在 0 x处左连续处左连续.1 1 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性 2 2 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限若若)(xf在在0 x处处连连续续，则则 )()(lim00 xf
46、xfxx ，即即求求连连续续函函数数的的极极限限，可可归归结结为为计计算算函函数数值值 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 例例 3 3 求极限求极限)ln(sinlim2xx 解解 因 为因 为)ln(sinx在在2x处 连 续，故 有处 连 续，故 有 01ln)2ln(sin)ln(sinlim2xx.3 3 复合函数求极限的方法复合函数求极限的方法定 理定 理1 1 设 有 复 合 函 数设 有 复 合 函 数)(xfy，若，若0lim()xxxa，而函数，而函数)(uf在在ua点连续，则点连续，则 .(limlim00a)fxfxfxxxx 例例 4 4 求极限求极限0ln(1
47、)limxxx 解解 1ln(1)ln(1)xxxx，1ln(1)xx是 由是 由1ln,(1)xyu ux复合而成的，而复合而成的，而10lim(1)exxx，在，在eu点点uln连续，故连续，故100ln(1)limlimln(1)xxxxxx 10lnlim(1)lne1xxx 例例 5 5 求求)arccos(lim2xxxx 解解 )arccos(lim2xxxx )(limarccos2xxxx )()(limarccos222xxxxxxxxxx2arccos limxxxxx 321arccos1111limarccosxx.定理定理2 2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小
48、值闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 定定理理 3 3 若若函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ,ba上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号，则则至至少少存存在在一一点点),(ba，使使得得0)(f 定定 理理 4 4 若若 函函 数数)(xf在在 闭闭 区区 间间,ba上上 连连 续续，且且)()(bfaf，为为介介于于)(af与与)(bf之之间间的的任任意意一一个个数数，则则至至少少存存在在一一点点(,)a b ，使使得得()f 定理定理 3 3 称为根的存在定理从几何上看，如下页左图称为根的存在定理从几何上看，如下页左图所示，连续曲线所示，连续曲线)(xfy 从从x轴下侧的点轴
49、下侧的点 A(纵坐标纵坐标0)(af)笔不离纸地画到笔不离纸地画到x轴上侧的点轴上侧的点 B(纵坐标纵坐标0)(bf时，比与时，比与 x轴至少相交于一点轴至少相交于一点(,0)C这表明若这表明若方程方程0)(xf，左端的函数，左端的函数)(xf在闭区间在闭区间,ba两个端点处两个端点处的函数值异号，则该方程在开区间的函数值异号，则该方程在开区间),(ba内至少存在一个内至少存在一个根根 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质定理定理 4 4 称为介值定理称为介值定理 从几何上看，如从几何上看，如右右上上图所示，图所示，闭区间闭区间,ba上的连续函数上的连续函数)(xfy 的图象从
50、的图象从A连续画到连续画到B时，至少要与直线时，至少要与直线y相交一次相交一次 O y B b A a C )(x f y ()b f a f()x B b A a O x y 1 2 3 )(a f)(b f 例例 6 6 证证明明方方程程01sinxx在在 0与与 之之间间有有实实根根 证证 设设1sin)(xxxf，因为，因为)(xf在在),(内连续，内连续，所以，所以，)(xf在在,0上也连续，而上也连续，而01)(,01)0(ff,所以，据定理所以，据定理 3(3(根的存在定理根的存在定理)知，至少有一个知，至少有一个(0,)，使得使得()0f ，即方程，即方程01sin xx在在
