1、第12章：参数模型功率谱估计12.1 平稳随机信号的参数模型：该参数模型的思路是：（1）假定所研究的过程 由一个输入序列 激励一个线性系统的 输出，如图：（2）由已知的 ，或者其自相关函数 来 估计 的参数。)(nx)(nu)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx mrx)(zH12.1 平稳随机信号的参数模型：（3）由 的参数来估计 的功率谱。不论 是确定性信号还是随机信号，对上图所示的线性系统，和 之间总有如下的输入输出关系：)(zH)(nx)(nx)(nx)(nu010)()()(:)()()(kpkqkkkknukhnxknubknxanx及(12.1.1)(12.1.2)12.1 平
2、稳随机信号的参数模型：对上式两边分别取z变换，并假定 ，可得：1ob011)()(1)(1)()()()(kkqkkkpkkkzkhzHzbzBzazAzAzBzH其中：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b)(12.1.4c)12.1 平稳随机信号的参数模型：为了保证 是一个稳定的且是最小相位系统，的零点都应在单位圆内。假定 是一个方差为 的白噪声序列，由随机信号通过线性系统的理论可知，输出序列 的功率谱：2222|)(|)(|)()()()()(jjjjjjjxeAeBeAeAeBeBeP（12.1.5）)(zH)(zA)(zB)(nu2)(nx12.1 平稳随机信号的参数模型
3、：AR模型：在 中，如果：（1）全为零，那么 ，分别变成：qbbb,.,21（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)pkkjkjxpkkkpkkeaePzazAzHnuknxanx12211|1|)(11)(1)()()()(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1 平稳随机信号的参数模型：MA模型：（2）全为零，那么 ，全变成：(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)paaa,.,21qkkjkjxkqkkqkkqkkebePzbzBzHbknxbnuknxbnx1221011|1|)(1)()(1,)()()()(12.1.9)(12.1.10
4、)(12.1.11)12.1 平稳随机信号的参数模型：ARMA模型：（3）若 ，不全为零，则 给出的模型为自回归移动平均模型，简称ARMA模型，显然此模型是一个既有极点，又有零点的模型。总结：由于ARMA模型是一个极零模型，它易于反映功率谱中的峰值和谷值。AR模型易反映谱的中峰值，而MA模型易反映谱中的谷值。paaa,.,21qbbb,.,21(12.1.1)12.2 AR模型的正则方程与参数计算 假定 、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为 ，现在我们建立AR模型的参数 和 的自相关函数的关系，也就是AR模型的正则方程（Yule-Walker方程）。0001)0()2()1()()2()0
5、()1()2()1()1()0()1()()2()1()0(221pxxxxxxxxxxxxxxxxaaarprprprprrrrprrrrprrrr)(nu)(nx)(nu)(nx2ka(12.2.4)12.2 AR模型的正则方程与参数计算上式可简单的表示为：pRa2(12.2.5)的自相关矩阵是全零列向量为，式中)1()1(,1,1P1ppRpaaaTp12.2 AR模型的正则方程与参数计算2121)()()()()()(),()()()()()()()()1(,),1(),()(pkkpkkknxanxEneEnnxnenenxnknxannxnnxnpnxpnxpnxpnnxxxxx为
6、：因此总的预测误差功率则：之间的误差为和真实值记预测值的预测，那么是对真实值。记时刻的值个数据来预测我们利用这已知，个数据时刻之前的在设(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2 AR模型的正则方程与参数计算方程称为线性预测的和方程有页下书再由最小均方误差公式由此式可得即正交误差序列和预差应使最小的为求得使HopfWienerkrarnnxnxEpmkmramrpmnnxmnxEnenxpnxpkapkxkxpkxkxkxx)11.2.12()10.2.12()()0()()()(:)312(,2,1),()(:,1,0)()()(:,)()1(,(,1,1min1(12.2.9
7、)(12.1.10)(12.2.11)将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出他们及其相似，因为 是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和AR模型的阶次一样，那么有：上两式说明，一个p阶AR模型的 个参数 同样可以用来构成一个P阶的最佳线性预测器。所以AR模型和线性预测器是等价的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。2min,.2,1pkakk12.2 AR模型的正则方程与参数计算)(nx1p),.,(12paa12.2 AR模型的正则方程与参数计算 Levinson-Durbin递推算法：Levinson-Durbin递推算法从低阶开始递推，直到阶次p，给出了在每一个
8、阶次时的所有参数，即 这一特点有利于选择AR模型的合适阶次。211111111)()()(/)()()(mmmmmmmmmkxxmmkkmakkakamrkmrkakpmmaaammm,.,2,1),(),.,2(),1(12.2 AR模型的正则方程与参数计算 上述算法的递推导是建立在 的前 个自相关函数已知的基础上，但在实际的工作中，往往不能精确的知道 的自相关函数，而知道的仅仅是N点数据，即 ，为此，可以这样：1）首先由 估计 的自相关函数，得 2）用 代替上述递推算法中的 ，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即 )(nx1p)(nx)(nxN)
9、(nxN)(nx)(mxr)(mrx)(mrxppaaa,21 由这些参数，得到 的功率谱 的估计，即：对 在单位圆上均匀抽样，设分点为N个，则得到离散谱：12.2 AR模型的正则方程与参数计算211)(pkjwkkpjwAReaep)(nx)(jwxep12.2 AR模型的正则方程与参数计算 式中 这样上式可用FFT快速计算。210221221)(NklkNjkppklkNjkplNjAReaeaep0,.,1110Npaaa12.3 AR模型谱估计的性质及阶次p的选择12.3.1 AR模型谱估计的性质1 谱的平滑性 谱比周期图谱平滑的多。2）谱的分辨率 经典谱估计的分辨率反比于使用的信号长
10、度，现代谱估计的分辨率不受此限制。3）谱的匹配性质 在整个频率范围内，和 相跟随，但在每一局部处，它跟随 的峰点要比跟随谷点的程度好。ARARARAR)(jwAReP)(jwxep)(jwxep12.3.1 AR模型谱估计的性质4）谱的统计特性 谱的方差反比于数据 的长度 和信噪比 。5）模型谱估计方法的不足 其一，谱的分辨率和求 模型时所使用的信号的信噪比 有着密切的关系。信噪比越小，谱的分辨率降低的越明显。其二，如果 是含有噪声的正弦信号，在应用时发现，谱峰的位置易受 的初相位的影响，ARAR)(nxNNSNRARARARSNR)(nx)(nx12.3.1 AR模型谱估计的性质 且在有的算
11、法中，还可能出现“谱线分裂”的现象，即在本来应只有一个谱线的位置附近分裂成两个谱线。其三，谱估计的质量受到阶次p的影响。P选的过低，谱太平滑，反映不出谱峰。P选的过大，可能产生虚假的峰值。12.3.2 AR模型阶次的选择 AR模型的阶次p是单调下降的，直观上讲，当模型的最小误差功率 达到所指定的希望值，或是不再发生变化时，其时的阶次即是要选的正确阶次。因此，降到多少才合适，有几个不同的准则被提出，常用的有两个：（1）最准预测误差准则：)1()1()(kNkNkFPEkp12.3.2 AR模型阶次的选择（2）信息论准则：其中 为数据 的长度，当阶次 由1增加时，和 都将在某一个 处取得极小值。将
12、此时的 定为最合适的 。在实际运用时发现，当数据较短时，它们给出的阶次偏低，且二者给出的结果基本上是一致的。上面两式仅为阶次选择提供一个依据，究竟阶次取多少为好，还要在实践中由所得到的结果作多次比较后，予以确定。kpNkAICk2)ln()()(nxNNk)(kFPE)(kAICkkp12.4 AR模型的稳定性及对信号建模问题的讨论12.4.1 AR模型的稳定性 重新定义自相关矩阵 为：并记其行列式的值为 。用三个结论来说明矩阵 的性质与AR模型稳定性的关系。)0()1()()1()0()1()()1()0(1xxxxxxxxxprprprprrrprrrRR)det(1pR1pR12.4.1
13、 AR模型的稳定性 结论一：如果 是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的 构成的 阶AR模型是稳定的，且是唯一的。也即 的零点都在单位圆内。此性质称为AR模型的最小相位性质。结论二：若 由 个复正弦组成，即 pkkkKnjAnx1exp)(1pR)(,),2(),1(paaap)(zA)(nxp12.4.1 AR模型的稳定性 式中 为常数，是在 内均匀分布的零均值随机变量，的自相关函数为:则由前 个值 组成的自相关矩阵 是奇异的，而 是正定的，即：pkkkxmjAmr12)exp()(pkRRkp,2,10)det(,0)det(1kkA,k)()(nx1p)(,),1(),0(p
14、rrrxxx1pRpRRR,2112.4.1 AR模型的稳定性 结论三：如果 由 个正弦组成（实的或复的），则 是完全可以预测的，即预测误差等于零。结论二指出了 何时奇异何时正定的条件，它和结论三一起正弦信号的某些性质。特别说明，用AR模型对纯正弦信号建模是不合适 的，会出现自相关矩阵为奇异的情况，要克服自相关阵奇异的情况，最常用的方法是加上白噪声，这样 不会等于零。)(nxp)(nx1pR)det(1pR12.4.2 关于信号建模问题的讨论*信号建模的本质：准确建模的定义：设平稳随机过程 存在 阶模型，使得模型的输出 在 阶统计特性上和 的同阶统计特性相一致，则把 称为 阶统计意义上可准确建
15、模的随机过程，而把改模型称作在 阶统计意义上的准确模型。)(nx)(nx)(nx)(nx12.6 AR模型系数的求解算法 12.6.1 自相关法令 则（12.5.13）可写为：令 TfpfpfpfpfppNepeeee)1(,),(,),1(),0(Tffffpfppaaaaa)(,),2(),1(a1式中fpfpaXe10pNnfpHfpfpfeene102)(12.6.1 自相关法 由最小平方原理，并将前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程,由此得出结论：)0()0()1()()
16、1()0()1()()1()0(1xxxxxxxxxxprrprprprrrprrrRpffppaRmin112.6.1 自相关法（1）由 个自相关函数，利用 递归求解 方程所得到的AR模型的参数等效于前向预测器的系数。AR模型激励白噪声的方差 等效与前向预测的最小预测误差功率 。（2）AR模型的自相关法等效与对前向预测的误差序列 前后加窗，加窗的结果是使得自相关法的分辨率降低。数据越短，分辨率越好。)1(pLevinsonkerWalYule2fmin)(nefp12.6.1 自相关法（3）也正是因为 的 是从 至 ，故矩阵积 才是 型自相关阵。如若使用 ，或 ，对应的矩阵积将不再是 阵。因
17、此，自相关法也是已知所有AR系数求解方法中最简单的一种。)(nefpn)1(pN 000XXHToeplitz1X2X3XToeplitz12.6.2 Burg算法 Burg算法是建立在数据基础上的AR系数求解的有效算法。其特点是：1，令前后向预测误差功率之和 为最小，而不是像自相关法那样仅令 为最小。2，和 的求和范围不是 至 ，而是从 至 ，这等效使用 ，前 后都不加窗，这时：bffb21ffb0)1(pN01N)(nef)(neb12.6.2 Burg算法 3，在上式中，当阶次m由1至p时，有如下的递推关系：1212)10.6.12()(1)9.6.12()(1NpnbpbpNpnfpf
18、pnepNnepN)()()()11.6.12(,2,1)()1()()1()()(001111nxnenepnnekneneneknenebffmmbmbmbmmfmfm)(nef)(neb12.6.2 Burg算法将(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令 ，可得使 为最小的 为：按此式估出的 满足 。4，按上式估计出 后，在阶次 时的AR模型pmnenenenekNmnNmnbmfmNmnbmfmm,2,1)1()()1()(2112121111bffb210/mfbkfbmkmk1mkmkm12.6.2 Burg算法 系数仍然由Levinson算法递推求出：上
19、两式是假定在第 阶时的AR参数已求出。由于Burg算法具有以上特点，所以Burg算法比自相关算法有着较好的分辨率，但对于白噪声加正弦信号，有时可能会出现前面所提到的谱线分裂现象。1211)1()(1,2,1)()()(mmmmmmmmmkkmamkkmakkaka)1(mBurg算法的递推步骤：1）由初始条件 ，再由（12.6.12）式求出 ；2）由 得 时的参数：；3）由 和(12.6.11)求出 ，再由(12.6.12)式估计 ；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson递推关系，求出 时的 ，及 。5）重复上述过程，直到 ，求出所有阶次的AR参数。)()(),()
20、(00nxnenxnebf1k102)(1)0(NnxnxNr1m)0(1,)1(21111xrkka1k)(1nef)(1neb2k2m)1(2a)2(2a2pm 12.6.3 改进的协方差方法该算法的特点是：（1）如同Burg方法一样，仍是令前后向预测误差功率之和 为最小。式中 )(21bffb2111221112)()()(1)(1)()()(1)(1pNpnpkbNpnbpbNpnpkfNpnfpfknxkanxpNnepNknxkanxpNnepN12.6.3 改进的协方差方法（2）在令 为最小时，不是仅令 相对 为最小，而是令 相对 都为最小，m由1到p。将（1）中的后两个式子代入
21、 ，由于 ，因此令得到：piiaiaiaffb,2,1)()(,0)(式中)19.6.12()()()()()()()()()(1101101NpnpNnNpnpNnpkinxnxinxnxinxknxinxknxkafbfbmmkma)(fb)(,),2(),1(maaammmbfbf21)()(kakafb12.6.3 改进的协方差方法令 那么（12.6.19）写成如下的矩阵形式：110)()()()()(21),(NpnpNnxinxknxknxinxpNkic)21.6.12()0,()0,2()0,1()()2()1(),()2,()1,(),2()2,2()1,2(),1()2,1
22、()1,1(pcccpaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxxxxxxx12.6.3 改进的协方差方法最小预测误差功率可由下面两式求出：或 pNnpkNpnpknxknxkanxnxknxkanxpN10111min)()()()()()()()()(21)22.6.12(),0()()0,0(1minkckacxpkx12.6.3 改进的协方差方法 式（12.6.21）和（12.6.22）构成了改进的协方差方法的正则方程，称之为协方差方程。由于 不能写称 的函数，所以（12.6.21）式的系数矩阵不是 Toeplitz阵，因此这一正则方程不能用于Levinson算法求解。),(ki
23、cx)(ik12.7 MA模型及功率谱估计12.7.1 MA模型及其正则方程 给出MA(q)模型的三个方程如下：)3.7.12()(1)()2.7.12()(1)()1.7.12()()()()(21211qkjwkjwxqkkqkekbePzkbzHknukbnunx12.7.1 MA模型及其正则方程 MA(q)模型的正则方程如下：考查这个式子，可知 的取值范围是从-q到+q，这样（12.7.3）式的功率谱 又等效于经典谱估计的自相关法。qmqmmkbkbmkbkbmrmqkqmkx0,1,0)()()()()(022jwmqqmxjwjwMAjwxemreBePeP)()()()(222)
24、(mrx12.7.2 MA模型参数的求解方法 步骤：1)由N点数据 建立一个 阶的AR模型，可用上节的的任一种方法求出 阶AR系数 ；2)利用 建立（12.7.11）的线性预测，此式等效于一个q阶的AR模型，再次利用AR系数的求解方法，得到 。模型系数。为式中）（ARmamekmakbmapqkpp)(11.7.12),()()()(11,1,0),(Nnnxpqpppkkap,1),(pkkap,1),(qkkb,1),(12.8 ARMA模型及功率谱估计本节主要介绍 模型参数 的求解方法。推导出ARMA模型的正则方程：求解ARMA模型参数的几个步骤：1，由书上（12.8.5）式估计AR数
25、；pkxpkmqkxxqmkmrkaqkkmbkhkmrkamr1102)()(,1,0)()()()()(),(qpARMA)(),.,1()(),.,1(qbbpaa及)(,.,1paa12.8 ARMA模型及功率谱估计2，对已知数据 ，用FIR滤波器 滤波，那么滤波器的输出 将近似一个 过程；3，用上节求解 参数的方法，求出 ，从而实现 模型的参数估计。4，将 代入（12.1.15）式，即完成了ARMA模型谱估计。)(nxNpkkzkazA1)(1)()(ny)(qMA)(qMA)(,),1(qbb),(qpARMA)(,),1(),(),.,1(qbbpaa人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
