1、秒杀中考压轴题秒杀中考压轴题 二次函数背景下面积的定值与最值问题 【典例选讲】如图，已知抛物线2 2 5 2 1 2 xxy与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C （1）点 P 是抛物线上一点，且 SABP=3，求点 P 的坐标； （2）点 Q 是抛物线上一点，且 SACQ=2，求点 Q 的坐标； （3）在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及 DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线上恰好存在三个点 F 使得 SACF=k，求 k 的值及点 F 的坐标； （5）在抛物线上是否存在异于 A、C 的点 P，使
2、PAC 中 AC 边上的高为 5 52 ？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由； （6）在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 Q，当 Q 与直线 AC 的距离 QD 最大时，求出点 Q 的坐标，并 求出最大距离是多少？ 【解析】 （1）设 P(x，y)，当 y=0 时， 2 15 20 22 xx，x1=1，x2=4，A(4，0)，B(1，0)， AB=3 1 3 | 3 2 ABY Sy ，y=2 或 y=-2 当 y=2 时， 2 15 22 22 xx，x2-5x+8=0，此方程无实数根 当 y=-2 时， 2 15 22 22 xx ，x1=0，x2=5，P(0，-2)或
3、（5，-2） （2）取 OC 的中点 E，过点 E 作 AC 的平行线交抛物线于 Q1，Q2 E(0，-1) A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)，OA=4，OC=2 SAOC=4，SACE=2，SACQ1= SACQ2=2 AC 的解析式为： 1 2 2 yx，EQ 的解析式为： 1 1 2 yx 2 15 2 22 1 1 2 yxx yx 秒杀中考压轴题秒杀中考压轴题 12 22 (22)(22) 22 QQ， 作点 E 关于点 C 的对称点 E，过点 E作 AC 的平行线交抛物线于 Q3， Q4 EQ 的解析式为： 1 3 2 yx 2 15 2 22 1 3 2 yxx yx
4、， 34 66 (26, 2),(26, 2) 22 QQ （3）设 2 15 ( ,2) 22 D ttt，作 DEx 轴于 E 交 AC 于 F 2 15 2 22 DEtt ， 1 2 2 EFt DF=DE+EF= 2 1 2 2 tt 22 111 |(2 )4(2)4 222 DCAAB SDFxxttt 当 t=2 时，SDCA最大=4，D(2，1) （4）过点 F 作 AC 的平行线 FM 设 FM 的解析式为： 1 2 yxb 2 15 2 22 1 2 yxx yxb ，x2-4x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，满足条件的点 F 有三个 b=0， 1 2
5、yx 2 15 2 22 1 2 yxx yx ，F1(2，1) 作点 O 关于点 C 的对称点 O，过点 O作 AC 的平行线交抛物线于 F OF 的解析式为： 1 4 2 yx 2 15 2 22 1 4 2 yxx yx ， 23 22 (22, 3),(22,3) 22 FF （5）作 OEAC 于 E，取 OC 的中点 M，过点 M 作 AC 的平行线 交抛物线于 P，交 OE 于 N，点 P 为满足条件的点 秒杀中考压轴题秒杀中考压轴题 4 5 5 OE ， 2 5 5 NE 由(2)知，满足条件的点 P 的坐标为： 12 22 (22,),(22,) 22 PP， 34 66 (
6、26, 2),(26, 2) 22 PP （6）过点 Q 作 QRAC，设直线 QR 的解析式为： 1 2 yxb 2 15 2 22 1 2 yxx yxb ，x2-4x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，Q 与直线 AC 的距离 QD 最大 b=0， 1 2 yx， 2 15 2 22 1 2 yxx yx ，Q(2，1) 精讲精练 1【2015 攀枝花】如图，已知抛物线cbxxy 2 与x轴交于)0, 1(A、)0, 3(B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中位于第一象限内的抛物
7、线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐 标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由 （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 【解析】 （1）抛物线 2 yxbxc 与x轴交于( 1, 0)A 、(3, 0)B两点 10 930 bc bc ， 2 3 b c 抛物线的解析式为： 2 23yxx （2）作 DFx 轴于 F 交 BC 于 E，设 D(t，-t2+2t+3)，由(1)知 B(3，0)，C(0，3) BC 的解析式为：y=-x+3 DF=-t2+2t+3，EF=-t+3，DE=DF-E
8、F=-t2+3t 22 113327 |(3 )3() 22228 BCDBC SDExxttt 当 3 2 t 时， 3 15 ( ,) 24 D， 27 8 BCD S 最大 （3）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 直线 BC 的解析式为：y=-x+3， P(1，4)，M(1，2) 秒杀中考压轴题秒杀中考压轴题 点 P 关于 M 的对称点 N(1，0) 过点 P 和点 N 作 AC 的平行线交抛物线于点 Q PQ1的解析式为：y=-x+5，NQ2的解析式为：y=-x+1 2 5 23 yx yxx ， 2 1 23 yx yxx 123 3- 171- 17317117 (2 3)(
9、, -),(, -) 2222 QQQ ， ， 2 【2015 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线)0(32 2 aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点 A在点B的左侧） ， 经过点A的直线l：bkxy与y轴交于点C， 与抛物线的另一个交点为D， 且ACCD4 （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示） ； （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为 4 5 ，求a的值； 备用图 【解析】 （1）令 y=0，则 ax22ax3a=0，解得 x1=1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧，A（1，0） 作 DFx 轴于 F D
10、FOC，CD=4AC，4 OFCD OAAC OA=1，OF=4，D 点的横坐标为 4 y=16a-8a-3a=5a，D(4，5a) 0 45 kb kba ， ka ba 直线l的函数表达式为 y=ax+a （2）设 E(m，a(m+1)(m-3)，AE 交 y 轴于 M，设 yAE=k1x+b1 11 11 (1)(3) 0 mkba mm kb ， 1 1 (3) (3) ka m ba m ，OM=a(a-3) 由（1）知 OC=-a，CM=OM+OC=a(m-3)-a 2 11325 | (3) (1) 22228 ACEEA a SCMxxa mamma 当 3 2 m 时， 25
11、 8 ACE Sa 最大 255 84 2 5 aa ， 秒杀中考压轴题秒杀中考压轴题 3 【2016 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线3) 1( 2 xay与x轴交于A，B两点（点A在点 B的左侧） ，与y轴交于点) 3 8 , 0(C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P， Q两点，点Q在y轴的右侧 （1）求a的值及点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为7:3的两部分时，求直线l的函数表达式； 备用图 【解析】 （1）抛物线与 y 轴交于点 8 (0,) 3 C， 8 3, 3 1 3 aa 2 1 (1)3 3 yx，当 y=0
12、 时， 2 1 (1)30 3 x ，x1=2，x2=-4，A(-4，0)，B(2，0) （2）A(-4，0)，B(2，0)， 8 (0,) 3 C，D(-1，-3) AD 的解析式为 y=-x-4，BC 的解析式为 48 33 yx 11818 3 3(3) 1210 22323 ADHBOCABCDOCDH SSSS 四边形梯形 从面积分析知，直线 l 只能与 AD 或 BC 相交 当直线 l 与 AD 相交于点 M1时，则 1 3 103 10 AHM S 1 1 3 | 3 2 M y ，yM1=-2，M1(-2，-2) 直线 l 的解析式为 y=2x+2 当直线 l 与 BC 相交于点 M2时， 2 3 BHM S 1 1 3 | 3 2 M y ，yM2=-2， 2 1 ( ,2) 2 M 直线 l 的解析式为 44 33 yx 综上，直线 l 的解析式为 y=2x+2 或 44 33 yx
