1、IV:气体动力学第四讲理想气体运动的基本方程组回忆2001年9月25日星期二上午9：50中午12：15明理楼422 IV气体动力学中的粘性效应 气体的运动学粘性系数正比于分子平均自由程l和分子的热运动平均速度（音速量级）：在气体动力学考虑的速度范围内，气体的速度为音速量级，即 因此，对于特征长度为L的流动问题，相应的雷诺数为 因此，除非气体特别稀薄（那时用稀薄气体动力学），雷诺数一般都很大。称为Knudsen数，用以衡量气体的稀薄程度。alaV neKlLalaLVLR1 IV：理想气体运动方程LlKn/气体动力学中的粘性效应续 雷诺数很大时，粘性效应集中在离壁面很薄一层内（边界层）。由此发展
2、了边界层理论（粘性流体力学，并列课程）。在低温和高雷诺数情况下，用无粘流理论获得的压力分布非常接近计及边界层（粘性和热传导效应）的结果。对于高超音速流动，需要考虑高温边界层；但无粘流理论可以提供外流条件。因此，主要考虑理想气体，即无粘性、无热传导的气体。流体方程为欧拉方程。IV：理想气体运动方程内容提要 基本原则 连续性方程 动量方程 能量方程 基本方程组 声速与马赫数定义、可压缩性概念 IV：理想气体运动方程IV-1:基本原则 需要知道所描述的物理量（6个）：物性参数：密度 ，压力 ，温度 运动参数：速度 构造方程的基本定律：质量守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 定解问题的四个方面：状态
3、方程泛定方程初始条件边界条件 pT),(321VVVV IV-1：基本原则推导基本方程的原则续系统选取：(1)流体团（随体观点即拉格朗日法，封闭系统）或控制体（当地观点即欧拉法，开口系统），它们在任意时刻所包含的流体物质处于准静态过程。(2)依据系统的微观性和宏观性，又可以选取微分法（需要连续性假设）和积分法（对间断也成立）。要点：六个参数，五个微分方程，四个方面，三种定律，两种观点和形式，一个目标。IV-1：基本原则本节授课原则 参阅连续介质力学课程、流体力学课程，详细推导忽略。简单回忆。IV-1：基本原则物质导数 定义：封闭系统中的流体在运动过程中其所携带的物理量随时间的变化率。微分形式（
4、也称质点导数）：积分形式（也称随体导数）：导数迁移导数当地VttxtttVxtxttt),(),(lim),(dd0 边界运动引起的变化当地变化)()()(ddttttnVtIV-1：基本原则IV-2:连续性方程 也称质量守恒方程 微分形式 积分形式(）对于拉格朗日方法，取0ddor 0VtVt 0dd)()(ttnVVt所包围的体积运动的边界由以速度VVVIV-2：连续性方程连续性方程两种形式的统一 微分形式到积分形式：直接积分 积分形式到微分形式（可微假设）：利用 得 再利用高斯定理 ，得 边界运动引起的变化当地变化)()()(ddttttnVtVnVtt)()(0)()(tttnV 00
5、)()(VVtttIV-2：连续性方程连续性方程的利用 已知 化简 答案0ddor 0VtVt为任意标、矢量 VtJtVtVtVtJdd IV-3:动量方程 原理：牛顿第二定律 微分形式 积分形式pftVfIpVVtV1ddor dd)()()()(ttttnpfnVVVVtIV-3：动量方程含涡量的方程 涡量定义 兰姆(Lamb H.，A Treatise of Hydrodynamics,1932;看完兰姆的水动力学，不觉得水是液体)方程，由动量方程导出（p.42）克罗柯(Crocco)方程:将 写成 ，带入兰姆方程得V21 2VpfVtV/dddphsT/phsTtVsTVhV 总焓2
6、2IV-4：动量方程克罗柯方程的意义 对于定常 、均能 ，方程简化为 因此 无旋 均熵0tV022VhsTV IV-4：动量方程IV-4:能量方程 基本形式：总能方程 动能方程：内能方程：e 温度方程（量热完全气体）焓方程h、熵方程221Ve221VKIV-4：能量方程能量方程：基本形式 原理：总能量守恒 积分形式：微分形式：)()()()()(ddtttttqnVpVfnVVtqVfVptqVfVpVt dd 即IV-4：能量方程动能方程 将动量方程 两端点乘以 得 于是IV-4：能量方程pftV1d/dV dtdKVVdtddtVdVpVVfdtdK21 1 pVVfVKdtdKdtdKd
7、tKd内能方程 将总能方程 减去动能方程 ，并利用 得内能方程 即qVpteddqVpVft dd pVVfdtdKpVVpVp)(qVpeVte)()(IV-4：能量方程温度方程 对于量热完全气体 利用内能方程得 TcevqcVcpTVtTvv)()(IV-4：能量方程焓方程 由内能方程 和连续性方程 得 由焓得定义 得qVptedd0dd Vtqtptedddd/peh dd1dd dd1dd1dddddd2qtpthtpqtptpteth即IV-4：能量方程量热完全气体焓方程 温度方程 量热完全气体焓定义 因此焓方程为qcVcpTVtTvv)()(TchpqVpthqVphVthdd)(
8、)(即IV-4：能量方程绝热流动 对于绝热流动 对于量热完全气体因此 积分得等熵关系式 d1dphpTRTchpd11ddd0dd d1dppppconstpIV-4：能量方程熵方程 由热力学基本关系式 得即 对于绝热流动pdvTdsdedtd1dtddtddtdpqVppesT qsTdtdIV-4：能量方程0d s量热完全气体压力方程 利用 有qVpthdd dd1ddqtpthqVptp)1(ddIV-4：能量方程IV-5:一维定常绝热流的积分型方程 积分形式的优点：不需要可微性和连续性假设，特别适应于有间断（激波等）的流动描述111,pV12222,pVIV-5：一维定常问题质量方程
9、一般形式 特殊情况：定常、边界固定 只有左右两个截面对积分有贡献 0dd)()(ttnVVt 0)(tnV01122VV22V右边界：11V左边界：IV-5：一维定常问题动量方程 一般形式 特殊情况：定常、边界固定、不考虑体积力 只有左右两个截面对积分有贡献 dd)()()()(ttttnpfnVVVVt 0)(tnpnVV2222pV右边界：1211pV 左边界：12112222pVpVIV-5：一维定常问题能量方程 一般形式 特殊情况：定常、边界固定、不考虑体积力、绝热 只有左右两个截面对积分有贡献，并且有)()()()()(ddtttttqnVpVfnVVt 021)(2)(ttnVpV
10、enVp)(2121211222总焓守恒VhVh1122VVIV-5：一维定常问题2222221VhV右边界：1112121VhV左边界：hIV-6:理想气体基本方程组 微分形式基本方程组：称为欧拉方程 定解条件 求解思路IV-6：方程组微分形式方程组：非守恒形式 连续性方程 动量方程 能量方程 热状态方程 和量热状态方程 封闭性：7个方程，7个未知数 0dd1or 0dd VtVtpfVVtVtV1)(dd qVfVpVet 21dd2 ),(Tpp),(pTee 321,VVVeTpIV-6：方程组微分形式方程组：守恒形式 连续性方程 动量方程 能量方程 热状态方程 和量热状态方程 封闭性
11、：7个方程，7个未知数0Vt fIpVVtVqVfVpVt),(Tpp),(pTee 321,VVVTpIV-6：方程组方程组 由 和 得 方程组的一般形式 5个微分方程，5个未知数 ),(Tpp),(pTee),(),(VpeppJzHyGxFtW,321VVVIV-6：方程组守恒变量 也称未知数321VVVW总能动量分量动量分量动量分量密度321IV-6：方程组通量函数 方向方向方向zyxVpVVVVVVHVVVpVVVVGVVVVVpVVF323231332322212213121211 ,IV-6：方程组源项qVffffJ3210体力功热释放体力分量体力分量体力分量neverIV-6：
12、方程组守恒形式与非守恒形式 二者对于古典解是等价的；对于有间断得解，二者不等价。它们的区别主要应用在计算流体力学上（吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2001）。对于数值计算，针对守恒形式进行离散得差分方法可以自动捕获激波等间断；而针对非守恒形式构造得格式需要添加特殊运算才能计算有激波得情况。IV-6：方程组问题提法 确定问题：泛定方程个数等于未知数个数，如前者多则称为超定问题，如前者少则称为欠定问题 定解问题：泛定方程定解条件 定解条件：边界条件初始条件 柯西问题（初始值问题，没有边界）：泛定方程初始条件 边值问题（分狄利克莱、牛曼和劳平，没有初始条件）：定常泛定方程边界条件 混合初
13、边值问题：泛定方程初始条件边界条件 适定问题：定解问题解存在、唯一且稳定。IV-6：方程组边界条件回忆 无限远场（扰动未传播到）：固体壁面：对于理想流体，流体法向速度为0（无穿透条件，也称滑移边界条件）激波条件：Rankine-Hugoniot关系式 库塔条件：绕流物体尖后缘处，上下流体在此会合，一侧流体不能绕过尖缘流动（否则梯度无穷大，从而粘性起主导作用）切向间断面条件：滑移面、尾涡面、射流自由面上，切向速度不连续，但两侧法向速度和压力相等)(),(xtxxIV-6：方程组库塔条件IV-6：方程组求解思路 方程组是非线性、彼此耦合的，一般情况下只能求数值解，也因此计算流体力学成为一门单独学科
14、（划时代的计算方法是Godunov于1959年在军令状压力下6个月内完成的）。对流动模型做不同层次的简化，求近似解 （1）一维定常流和非定常流 （2）特殊问题的精确解 （3）对特殊几何问题采用线化方法 （4）找出相似参数，求相似规律IV-6：方程组IV-7:其它坐标系中的方程 笛卡尔坐标系 正交坐标系 柱坐标系 球坐标系 一般运动变形坐标系中的守恒形式 时-空变换坐标系统(Wu,2001)统一欧拉拉格朗日系统(Hui et al,1999)IV-7：其它坐标系坐标变换 笛卡尔坐标系 一般正交坐标系 柱坐标系 球坐标系 一般运动变换 运动变形变换 时空变换 欧拉拉各朗日系统),(tzyx),(t
15、,sin),(rytrx,cossin),(rxtr),(),(tzyxt),(tzyx,d/d1hVt IV-7：其它坐标系坐标系变换的原则 流动参数随坐标系进行变换：此时，可以将微分方程写成矢量形式，然后按新坐标系展开成各种分量形式。注意 是客观不变量 流动参数不变化：此时，可以将微分方程写成笛卡尔坐标系的形式，然后进行坐标变换，即将对 的偏导数经过连锁求导法则，转换成对 的求导VVVTp,zyxVVVTp,tzyx,Tp,IV-7：其它坐标系变流动参数变换 将流动方程写成向量形式qVfVpVtfIpVVtVVt)()(0)(IV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系 利用z)y,(x,ji,0),
16、(jezeyexeVVVVizyxtrzyxIV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系续qVfzVyVxVtzpfzVVyVVxVVtVypfzVVyVVxVVtVxpfzVVyVVxVVtVzVyVxVtzyxzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxzyx 0IV-7：其它坐标系非惯性笛卡尔坐标系 体积力形式的惯性力存在 参阅 （1）张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出版 社，1998；（2）吴子牛，计算流体力学基本原理，科学 出版社，2001柱坐标系 利用ji,0,),(其它 jeeeeererexeVVVVirrrxtrrx球坐标系和一般正交坐标系 利用 参阅（张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出
17、版社，1998）?reV固定流动参数变换 基本变换 基本变换关系式IV-7：其它坐标系),(),(),(tzyxtzyxtzyxt001xxxxxxxxxxxxzzzzyyyyxxxx100010zzzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyzzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxx固定流动参数变换 基本关系式的解)()()(det111yxyxjxzxzjzyzyjzzzyyyxxxjzyxtztytxttztytxttztytxtzyxzyxzyxzyxzyxyxyxjxzxzjzyzyjyxyxjxzxzjzyzyj)()()()()()(111111IV-7：其它坐标系偏微分与
18、方程的变换 求导连锁法则 方程变换zzzzyyyyxxxxttttJzHyGxFtWJHGFWHGFWHGFWWzyxtzyxtzyxt)()()(IV-7：其它坐标系变换方程的守恒形式)()()()(非守恒形式JHGFWHGFWHGFWWzyxtzyxtzyxt（守恒形式）JHGFW)()()(,HGFWjHHGFWjGHGFWjFjJJjWWzyxtzyxtzyxt）（1975 Viviand,IV-7：其它坐标系坐标变换与基本解及基本类型 坐标变换能否改变基本解的类型？可以 坐标变换能否改变方程的类型？可以 以上属于前沿研究问题 第一项成果将刊登在最古老的欧洲力学学报上V:声速与马赫数、
19、可压缩性 声速的定义：自己回忆（p25）声速传播的性质:自 己回忆(p26)声速公式的一般形式:自己回忆（p26)热完全气体的声速:自己回忆（p26)马赫数定义:自己回忆(p27)气流速度的划分:自己回忆(p27-28)可压缩性定义与性质V：声速、马赫数、可压缩可压缩性定义 给流体微团的压力增加其体积将缩小 体积弹性模量定义为压力的改变量与比容的相对变化量 压缩性系数dd dd/lim0pvpvvvpKppppmVv/mVVvv/）（流体微团流体微团pVdpd11KV：声速、马赫数、可压缩等温压缩与等熵压缩 等温压缩 等熵压缩 对于热完全气体 ，因此在1大气压下有 对于水TTdpd1SSdpd1pT1牛顿米/1025T牛顿米/105210TV：声速、马赫数、可压缩可压缩条件 对于工程问题，需要考虑可压缩性的临界条件为 从声速定义和伯努利原理有%5p3.0:2121/2121 2222222MMaVVaVppa可压缩性条件3.0M%5V：声速、马赫数、可压缩
