1、A FO P Qx y () 求动点M的轨迹C的方程; () 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 2. 设椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1ab0 的左焦点为 F,上顶 点为 A,过点 A 作垂直于 AF 直线交椭圆 C 于另外一 点P,交x轴正半轴于点Q,且 AP = 8 5 PQ 求椭圆C的离心率; 若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l:x+ 3y-5=0相切,求椭圆C的方程. 3. 已知椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 )过点 A ( 3, 1 ),左,右焦点分别为 F1, F2,离心率为 2
2、 2 3 , 经过F1的直线l与圆心在x轴上且经过点A的圆C恰好相切于点B(0,2). (1)求椭圆E及圆C的方程; (2) 在直线 l 上是否存在一点 P,使 PAB 为以 PB 为底边的等腰三角形?若存在,求点 P 的 坐标,否则说明理由. 4. 已知 F1, F2是椭圆 x2 2 + y2= 1 的左,右焦点,过 F2作倾斜角为 4 的直线与椭圆相交于 A,B 两 点. (1)求F1AB的周长; (2)求F1AB的面积. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 1.已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离
3、的2倍. 5.已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点,且过( 2,0) (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程; 6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,且经过点(0,3) (1) 求此椭圆的方程 (2)若已知直线l:4x-5y+40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最 小距离是多少? 7.已知椭圆 y2 a2 + x2 b2 =1(ab0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a 2=4b2. ()求椭圆的方程; ()设点P在这个椭圆上,且PF1-PF2=1,求F1PF2的余弦值. 8.已知动点P与直线x=4的距离
4、等于它到定点F(1,0)的距离的2倍， （1） 求动点P的轨迹C的方程； （2） 点M1,1 在所求轨迹内， 且过点M的直线与曲线C交于A,B， 当M是线段AB中点时， 求直线AB的方程. 9. 已知直线 y = - x + 1 与椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 )相交于 A,B 两点， 且线段 AB 的中点在 直线l： x-2y=0上. （） 求此椭圆的离心率； （） 若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上， 求此椭圆的方程. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 10.已知曲线上任意一点P到两个定点F1 - 3,0 和F2 3,0 的距离之和
5、为4 （1） 求曲线的方程； （2） 设过0,-2 的直线l与曲线交于C,D两点， 且 OC OD =0 （O为坐标原点） ， 求直线 l的方程 11.设F1,F2分别是椭圆 x2 4 +y2=1的左,右焦点， 若P是该椭圆上的一个动点， 求 PF1 PF2的最 大值和最小值 于A,B两点。 (1)求线段AB的中点坐标； (2)求OAB的面积。 13.设P是椭圆 x2 a2 +y2=1(a1)短轴的一个端点， Q为椭圆上一个动点， 求|PQ|的最大值。 14. 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1ab0 的左焦点 F 为圆 x2+ y2+ 2x = 0 的圆心,且椭圆上的点到点 F的距
6、离最小值为 2 -1. (I)求椭圆方程; (II)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M - 5 4 ,0 ,证明: MA MB为定 值. 15.已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上,左,右焦点分别为F1,F2,且F1F2=2,点P 1, 3 2 在椭圆C上. (I)求椭圆C的方程; (II)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且AF2B的面积为 12 2 7 ,求直线l的方程. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 12.已知椭圆C的焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0)， 长轴长为6， 设直线y=x+2交椭圆C 16.已知椭圆 x2 a2 + y2
7、b2 =1(ab0)的焦距为4， 设右焦点为F1， 离心率为e （1） 若e= 2 2 ， 求椭圆的方程； （2） 设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点， AF1的中点为 M， BF1的中点为 N， 若原点 O 在以 线段MN为直径的圆上 证明点A在定圆上； 设直线AB的斜率为k， 若k 3， 求e的取值范围 17. 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 )的一个顶点为 B0,4 ， 离心率 e = 5 5 ， 直线 l 交椭圆于 M,N两点 （1） 若直线l的方程为y=x-4， 求弦MN 的长； （2） 如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F， 求直线l方程的一般式
8、18.已知椭圆E的焦点在x轴上， 离心率为 1 2 ， 对称轴为坐标轴， 且经过点 1, 3 2 （I） 求椭圆E的方程； （II） 直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A, B 两点， O 为原点， 在 OA,OB 上分别存在异于 O 点的点M,N， 使得O在以MN为直径的圆外， 求直线斜率k的取值范围 19.设椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)过点M(1,1),离心率e= 6 3 ,O为坐标原点. (I)求椭圆C的方程. ()若直线 l 是圆 O : x2+ y2= 1 的任意一条切线,且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求证: OA OB为定值.
9、椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 20. 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1a0,b0 的左右焦点分别为 F1和 F2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F2 和F1组成了一个高为 3,面积为3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点F1的直线和椭圆交于两点A,B,求F2AB面积的最大值. 21.已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的离心率为 2 2 ,其中左焦点F-2,0 . ()求出椭圆C的方程; () 若直线y=x+m与曲线C交于不同的A,B两点,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1 上,求m的值. 22.已知椭圆C: x2
10、 a2 + y2 b2 =1a0,b0 的焦距为4,且与椭圆x2+ y2 2 =1有相同的离心率,斜率 为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A,B. (1)求椭圆C的标准方程; (2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围. 23. 已知椭圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 )的离心率为 1 2 ,右焦点到直线 l1: 3x + 4y = 0 的距离为 3 5 . ()求椭圆C的方程; ()若直线l2:y=kx+m(km0) 与椭圆C交于A,B两点,且线段AB中点恰好在直线l1 上,求OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点). 椭
11、圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 24. 设椭圆 M: y2 a2 + x2 b2 = 1(a b 0)的离心率与双曲线 x2- y2= 1 的离心率互为倒数,且内切于 圆x2+y2=4. (1)求椭圆M的方程; (2)若直线 y = 2x + m 交椭圆于 A, B 两点,椭圆上一点 P ( 1, 2 ),求 PAB 面积的最大 值. 25.已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的左焦点为F(- 2,0),点F到右顶点的距离为 3 + 2. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,且与圆 x2+ y2= 3 4 相切,求 AOB 的面积为 3
12、 2 时直线 l 的斜率. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 椭圆基础大题训练25道参考答案 1. 解() 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则 |x4|=2(x1)2+y2 x2 4 + y2 3 =1. 所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为 x2 4 + y2 3 =1 () P(0, 3), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知：2x1=0+x2，2y1=3+y2 椭圆的上下顶点坐标分别是 ( 0, 3 ) 和 ( 0, - 3 ) ,经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率k存在.设直线m方程为:y=kx+3.联立椭圆和直线方
13、程,整理得: （3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2= 24k 3+4k2 ,x1x2= 24 3+4k2 x1 x2 + x2 x1 = 1 2 +2 (x1+x2)22x1x2 x1x2 = 5 2 (24k)2 (3+4k2)24 = 9 2 k= 3 2 所以,直线m的斜率k= 3 2 2.解:设Q(x0,0),由F(-c,0) (0,b)知 FA =(c,b), AQ =(x0,-b) FA AQ cx0-b2=0,x0= b2 c 设P(x1,y1),由 AP = 8 5 PQ,得x1= 8b2 13c ,y1= 5 13 b 因为点P在椭圆上,所以 ( 8b2 13c
14、)2 a2 + ( 5 13 b)2 b2 =1 整理得2b2=3ac,即2a2-c2=3ac,2e2+3e-2=0,故椭圆的离心率e= 1 2 由知2b2=3ac,得 b2 c = 3 2 a;又 c a = 1 2 ,得c= 1 2 a,于是F - 1 2 a,0 , Q 3 2 a,0 AQF的外接圆圆心为 1 2 a,0 ,半径r= 1 2 |FQ|=a 所以 1 2 a-5 2 =a,解得a=2, c=1,b= 3, 所求椭圆方程为 x2 4 + y2 3 =1 3.解:(1) c a = 2 2 3 ,则a2=9b2, 椭圆E: x2 9b2 + y2 b2 =1,F1(c,0),
15、B(0,2) l:y= 2 c (x+c) 设圆心M(m,0),半径r,则由MA =MB ,得m=1,r=MA = 5 圆C:x-1 2+y2=5,又MBBF 1 2 c 2 -m =-1,从而c=4,结合a2=9b2得a2=18,b2=2 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 椭圆E: x2 18 + y2 2 =1 (2)假设存在一点P,使PAB为以PB为底边的等腰三角形,则有PA =AB , 由(1)知l:y= 2 4 (x+4),即y= 1 2 x+2,设直线l上的点P(2t,t+2), PB中点H(t, t 2 +2),又kAH= t 2 +1 t-3 ,kPB= 1 2 ,
16、 由kPBkAH=-1得t=2 所求的点为P(4,4) 4.解:(1)F1AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=4 2 (2)F1(-1,0),F2(1,0),而kAB=tan 4 =1, 得AB的方程为y=x-1. 故点F1(-1,0)到y=x-1的距离为d= |-1-1-0| 2 = 2 设A(x1,y1),B(x2,y2),又 y=x-1 x2 2 +y2=1, 得x1=0,x2= 4 3 ,所以A(0,-1),B( 4 3 , 1 3 ),|AB|= 4 2 3 SF 1AB= 1 2 |AB|d= 4 3 5.解:(1)依题意得,将双曲线方程标
17、准化为 x2 1 2 - y2 1 2 =1,则c=1 椭圆与双曲线共焦点设椭圆方程为 x2 a2 + y2 a2-1 =1 椭圆过（ 2 ，0） 2 a2 + 0 a2-1 =1，即a2=2 椭圆方程为 x2 2 +y2=1 (2) 依题意,设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y),则 y=2x+b x2 2 +y2=1 得9x 2+8xb+2b22=0 x1+x2=- 8b 9 ,y1+y2= 2b 9 即x=- 4b 9 ,y= b 9 两式消掉b得y=- 1 4 x 令=0,64b 2-36(2b2-2)=0,即b=3,所以斜率为2,且与椭圆相切的直线方程为
18、y=2x3 即当x= 4 3 时斜率为2的直线与椭圆相切. 所以平行弦得中点轨迹方程为:y=- 1 4 x(- 4 3 x 4 3 ) 6.(1) x2 25 + y2 9 =1 (2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0 (1) 由方程组 4x-5y+k=0 x2 25 + y2 9 =1 消去y,得25x2+8kx+k2-225=0 (2) 令方程(2)的根的判别式=0,得64k2-425(k2-225)=0 (3) 解方程(3)得k1=25或k2=-25, 由图
19、可知,当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为 4x-5y+25=0 直线m与直线l间的距离d= 40-25 42+52 = 15 41 41 所以,最小距离是 15 41 41 7.解:()由已知c=1,则a 2-b2=1. 又3a2=4b2, 故a2=4,b2=3. 所求椭圆方程为 x2 3 + y2 4 =1 ()由 PF1+PF2=4， PF1-PF2=1， 解得PF1=- 5 2 ，PF2= 3 2 . 又F1F2=2, 于是cosF1PF2= 25 4 + 9 4 -4 2 5 2 3 2 = 3 5 . 8. （1） 设动点P(x,y)， 由 x-4
20、 (x-1)2+y2 =2， 平方整理得 x2 4 + y2 3 =1即为轨迹C的方程。 （2） 当直线AB的斜率不存在时， 直线x=1与椭圆交于两点， 由图形的对称性， 线段AB的中点应在x轴上， M点不满足题意。故直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-1=k(x-1)设Ax1， y1， Bx2， y2 x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1 x12-x22 4 =- y12-y22 3 k= y1-y2 x1-x2 =- 3 4 x1+x2 y1+y2 =- 3 4 直线AB的方程为：y-1=- 3 4 (x-1) 即3x+4y-7=0 9. （1） 设A
21、,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则由 y=-x+1， x2 a2 + y2 b2 =1 得： (a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0, 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 根据韦达定理， 得x1+x2= 2a2 a2+b2 ,y1+y2=-(x1+x2)+2= 2b2 a2+b2 , 且=4a2b2(a2+b2-1)0 即 a2+b2-10 (*) 线段AB的中点坐标为 a2 a2+b2 , b2 a2+b2 . 由已知得 a2 a2+b2 - 2b2 a2+b2 =0 a2=2b2=2(a2-c2)a2=2c2 故椭圆的离心率为e= 2 2 （2
22、） 由 （1） 知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y=0的对称点为(x0,y0)， 则 y0-0 x0-b 1 2 =-1且 x0+b 2 -2 y0 2 =0,解得x0= 3 5 b且y0= 4 5 b。 由已知得 x2 0+y 2 0=4,( 3 5 b)2+( 4 5 b)2=4,b2=4， 代入(1)中(*)满足条件 故所求的椭圆方程为 x2 8 + y2 4 =1 . 10.解：（1） 根据椭圆的定义， 可知动点M的轨迹为椭圆， 其中a=2， c= 3， 则b=a2-c2=1 所以动点M的轨迹方程为 x2 4 +y2=1 （2） 当直线l的
23、斜率不存在时， 不满足题意 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y=kx-2， 设C(x1,y1)， D(x2,y2)， OC OD =0， x1x2+y1y2=0 y1=kx1-2， y2=kx2-2， y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0 由方程组 x2 4 +y2=1, y=kx-2. 得1+4k2x2-16kx+12=0 则x1+x2= 16k 1+4k2 ， x1x2= 12 1+4k2 ， 代入， 得1+k2 12 1+4k2 -2k 16k 1+4k2 +4=0 即k2=4， 解得， k=2或k=-2所以， 直线l的
24、方程是y=2x-2或y=-2x-2 11.解： 易知a=2, b=1, c= 3， 所以F1(- 3,0),F2( 3,0). 设P （x, y） ， 则 PF1 PF2=(- 3 -x,-y)( 3 -x,-y) =x2+y2-3=x2+1- x2 4 -3= 1 4 (3x2-8). 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 因为x-2,2， 故当x=0， 即点P为椭圆短轴端点时， PF1 PF2有最小值-2. 当x=2， 即点P为椭圆长轴端点时， PF1 PF2有最大值1. 12. 解： 设椭圆 C 的方程为 x2 a2 + y2 b2 = 1 （1 分） ， 由题意 a = 3,
25、c = 2 2， 于是 b = 1， 所以椭圆 C 的方程为 x2 9 +y2=1由 y=x+2 x2 9 +y2=1 ， 得10x2+36x+27=0 （6分） ， 由于该二次方程的0， 所以点A,B不同。 设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1+x2=- 18 5 ， 故线段AB的中点坐标为 - 9 5 , 1 5 。 解一,设点 O 到直线 y = x + 2 的距离为 d， 则 d = |0-0+2| 2 = 2 ， 又 x1x2= 27 10 ， 所以 |AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2= 2 - 18 5 2 -4 27 10 = 6 3 5 ， 所以SAOB=
26、 1 2 2 6 3 5 = 3 6 5 解二,设直线y=x+2与x轴交于点M(-2,0)， 则SOAB=SOAM+SOBM， 由可知， y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4= 2 5 , y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=- 1 2 , 则SOAB= 1 2 2|y1|+ 1 2 2|y2|=|y1-y2| =(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2 = 2 5 2 -4 - 1 2 = 3 6 5 。 13.解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上, 所以,x 2=a2(1-y2) , |PQ|2
27、= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2 =(1-a 2) y- 1 1-a2 2 - 1 1-a2 +1+a 2 . 因为|y|1,a1, 若a 2, 则 1 1-a2 1, 当y= 1 1-a2 时, |PQ|取最大值 a2a2-1 1-a2 ; 若10， 所以2e2-10， 所以 k2= e4-2e2+1 2e2-1 3 化简， 得 e4-8e2+40, 2e2-10. 解之， 得 1 2 0) 由 c a = 1 2 a=2c,b2=a2-c2=3c2 椭圆经过点(1, 3 2 )， 则 1 4c2 + 9 12c2 =1， 解得c2=1 椭圆的方程为 x
28、2 4 + y2 3 =14 （II） 联立方程组 y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1 ， 消去y整理得(4k2+3)x2-16kx+4=05 直线与椭圆有两个交点， =(-16k)2-16(4k2+3)0， 解得k2 1 4 6 原点O在以MN为直径的圆外， MON为锐角， 即 OM ON 0 而M,N分别在OA,OB上且异于O点， 即 OA OB 08 设A,B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 则 OA OB =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4 =(k2+1
29、) 4 4k2+3 -2k 16k 4k2+3 +40 解得k20 -2 3 m2 3 x0= x1+x2 2 =- 2m 3 ,y0=x0+m= m 3 点 Mx0,y0在圆x2+y2=1上, - 2m 3 2 + m 3 2 =1，即m= 3 5 5 22. 解:(1)焦距为4, c=2 又x2+ y2 2 =1的离心率为 2 2 e= c a = 2 a = 2 2 ,a=2 2,b=2 标准方程为 x2 8 + y2 4 =1 (2)设直线l方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1 得1+2k2x2+4kx-6=0 x1+x2=- 4k 1+2k2 ,x1x2=- 6 1+2k2 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 由(1)知右焦点F坐标为(2,0), 右焦点F在圆内部, AF BF 0 (x1 -2)(x2-2)+ y1y20 即x1x2-2(x1+x2)+4+k 2 x 1x2+k(x1+x2)+10 1+k2 - 6 1+2k2 +k-2 - 4k 1+2k2 +5= 8k-1 1+2k2 0 k 1 8 经检验得k0成立. 24. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 25. 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道 椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道
