2最值系列之辅助圆.pdf

1、1 最值系列之辅助圆 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值在将军饮 马问题中，折点 P 就是那个必须存在的动点并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就 是作端点关于折点所在直线的对称即可 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如 P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最 值问题辅助圆 在这类题目中， 题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆， 也很少把这个圆画出来， 因此， 结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图， A 为圆外一点，在圆上找一点 P 使得 PA 最小 当然，也

2、存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如： 【2017 四川德阳】 如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC=5，点 P 为圆 C 上一动点，经过点 O 的直线 l 上有两点 A、 B， 且 OA=OB， APB=90， l 不经过点 C， 则 AB 的最小值为_ 【分析】连接 OP，根据APB 为直角三角形且 O 是斜边 AB 中点，可得 OP 是 AB 的一半， 若 AB 最小，则 OP 最小即可 连接 OC，与圆 C 交点即为所求点 P，此时 OP 最小，AB 也取到最小值 2 一、从圆的定义构造圆 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合 构造思路：

3、若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧 【2014 成都中考】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点， 将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_ 【分析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MA=MA=1，所以 A轨迹是以 M 点为圆心，MA 为半径的圆弧 连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC 的值最小 构造直角MHC，勾股定理求 CM，再减去 AM 即可 3 【2016 淮安中考】 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，点

4、 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值 是_ 【分析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半 径的圆弧 过 F 点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减去 FP，即可得到 PH 4 【2019 扬州中考】 如图，已知等边ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过点 P 的一条直线，把ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的

5、对应点是点 B当 PB=6 时，在 直线 l 变化过程中，求ACB面积的最大值 【分析】考虑 l 是经过点 P 的直线，且ABC 沿直线 l 折叠，所以 B轨迹是以点 P 为圆心， PB 为半径的圆弧 考虑ACB面积最大，因为 AC 是定值，只需 B到 AC 距离最大即可过 P 作作 PHAC 交 AC 于 H 点，与圆的交点即为所求 B点，先求 HB，再求面积 5 【2018 相城区一模】 如图， 矩形 ABCD 中， AB=4， BC=8， P、 Q 分别是直线 BC、 AB 上的两个动点， AE=2， AEQ 沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_ 【分

6、析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD， PF+PD 化为 PF+PD 连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可 6 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义： 若 AB 是一条定线段，且APB=90，则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆 【例题】已知正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 BC、CD 上的动点，且满足 BE=CF，连 接 AE、BF，交点为 P 点，则

7、PD 的最小值为_ 【分析】由于 E、F 是动点，故 P 点也是动点，因而存在 PD 最小值这样的问题，那 P 点轨 迹如何确定？ 考虑 BE=CF，易证 AEBF，即在运动过程中，APB=90，故 P 点轨迹是以 AB 为直径的 圆 连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度 思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆） ，接下来可以寻找与动 点相关有无定直线与定角 7 【2013 武汉中考】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为

8、 2，则线段 DH 长度的最小值是 _ 【分析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证 AGBE，即AHB=90， 所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求 8 【2016 安徽中考】如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动 点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值是_ 【分析】PBC+PBA=90，PBC=PAB， PAB+PBA=90， APB=90， P 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧 当 O、P、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求 OC，再减去 OP 即可 9 【寻找定边

9、】如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，AB=5，AC=4D 是弧 BC 上 的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的 最小值为 【分析】E 是动点，E 点由点 C 向 AD 作垂线得来，AEC=90，且 AC 是一条定线段，所 以 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧 当 B、E、M 共线时，BE 取到最小值连接 BC，勾股定理求 BM，再减去 EM 即可 【寻找定边与直角】如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的 一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O

10、于点 E，则 AE 的最小值为_ 【分析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED=90，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题 10 看成定线段 CB 对直角CEB 取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧 连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， 22 10222 262AEAMEM （2019 苏州园区一模）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出 11 发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过 点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连

11、接 AG，则 AG 长的最小值为 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AE=CF，BGEF，但BGE 所对的 BE 边是 不确定的 重点放在 AE=CF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交点即为 O 点 BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆 记 BO 中点为 M 点，当 A、G、M 共线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减去 GM 即可 【辅助圆+将军饮马】如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE， 12 过点 A 作 AFBE 于点 F，点 P 是 AD 边上

12、另一动点，则 PC+PF 的最小值为_ 【分析】AFB=90且 AB 是定线段，故 F 点轨迹是以 AB 中点 O 为圆心、AB 为直径的圆 考虑 PC+PF 是折线段，作点 C 关于 AD 的对称点 C，化 PC+PF 为 PC+PF，当 C、P、F、 O 共线时，取到最小值 13 【辅助圆+相切】如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30，AB=4，D 是 BC 上一动点， CEAD 于 E，EFAB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_ 【分析】AEC=90且 AC 为定值，故 E 点轨迹是以 AC 为直径的圆弧 考虑 EFAB，且 E 点在圆上，故当 EF 与圆相切的时候，

13、CF 取到最大值 连接 OF，易证OCFOEF，COF=30，故 CF 可求 14 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相定边必不可少，而直角则 可一般为定角例如，AB 为定值，P 为定角，则 A 点轨迹是一个圆 当然，P 度数也是特殊角，比如 30、45、60、120，下分别作对应的轨迹圆 若P=30，以 AB 为边，同侧构造等边三角形 AOB，O 即为圆心 若P=45，以 AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形 AOB，O 即为圆心 若P=60，以 AB 为底，同侧构造顶角

14、为 120的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 15 若P=120，以 AB 为底，异侧为边构造顶角为 120的等腰三角形 AOB，O 即为圆心 【例题】如图，等边ABC 边长为 2，E、F 分别是 BC、CA 上两个动点，且 BE=CF，连接 AE、BF，交点为 P 点，则 CP 的最小值为_ 【分析】由 BE=CF 可推得ABEBCF，所以APF=60，但APF 所对的边 AF 是变化 的 所以考虑APB=120，其对边 AB 是定值 16 所以如图所示，P 点轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （构造 OA=OB 且AOB=120） 当 O、P、C 共线时，可得 CP 的最小值，利用 RtOBC

15、 勾股定理求得 OC，再减去 OP 即可 【2017 山东威海】如图，ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为ABC 内一动点，且满足 PAB=ACP，则线段 PB 长度的最小值为_ 【分析】由PAB=ACP，可得APC=120，后同上例题 17 【2019 南京中考】 在ABC 中， AB=4， C=60， AB， 则 BC 的长的取值范围是_ 【分析】先作图，如下 条件不多，但已经很明显，AB 是定值，C=60，即定边对定角故点 C 的轨迹是以点 O 为圆心的圆弧 （作 AO=BO 且AOB=120） 题意要求AB，即 BCAC，故点 C 的轨迹如下图 当 BC 为直径时，BC 取到最大

16、值， 考虑A 为ABC 中最大角，故 BC 为最长边，BCAB=4无最小值 18 【2019 武汉中考】如图，AB 是圆 O 的直径，M、N 是弧 AB（异于 A、B）上两点，C 是弧 MN 上一动点，ACB 的角平分线交圆 O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E，当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是_ 【分析】分别考虑 C、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧 MCN，其对应圆心角为MON，半 径为 OM（或 ON） 再考虑 E 点轨迹，考虑到 CE、AE 都是角平分线，所以连接 BE，BE 平分ABC，可得： AEB=135 考虑到AEB 是定角，其对边 AB 是定线段，根据定边对定角，所以 E 点轨迹是个圆，考虑 到ADB=90，所以 D 点即为圆心，DA 为半径 E 点轨迹所对的圆心角为MDN，是MON 的一半，所以 C、E 两点轨迹圆半径之比为 1： 根号 2，圆心角之比为 2:1，所以弧长比值为根号 2