1、学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 二次函数背景下面积的定值与最值问题 【典例选讲】如图，已知抛物线2 2 5 2 1 2 xxy与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C （1）点 P 是抛物线上一点，且 SABP=3，求点 P 的坐标； （2）点 Q 是抛物线上一点，且 SACQ=2，求点 Q 的坐标； （3）在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及 DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线上恰好存在三个点 F 使得 SACF=k，求 k 的值及点 F 的坐标； （
2、5）在抛物线上是否存在异于 A、C 的点 P，使PAC 中 AC 边上的高为 5 52 ？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由； （6）在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 Q，当 Q 与直线 AC 的距离 QD 最大时，求出点 Q 的坐标，并 求出最大距离是多少？ 【解析】 （1）设 P(x，y)，当 y=0 时， 2 15 20 22 xx，x1=1，x2=4，A(4，0)，B(1，0)， AB=3 1 3 | 3 2 ABY Sy ，y=2 或 y=-2 当 y=2 时， 2 15 22 22 xx，x2-5x+8=0，此方程无实数根 当 y=-2 时， 2 15 22 2
3、2 xx ，x1=0，x2=5，P(0，-2)或（5，-2） （2）取 OC 的中点 E，过点 E 作 AC 的平行线交抛物线于 Q1，Q2 E(0，-1) A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)，OA=4，OC=2 SAOC=4，SACE=2，SACQ1= SACQ2=2 AC 的解析式为： 1 2 2 yx，EQ 的解析式为： 1 1 2 yx 2 15 2 22 1 1 2 yxx yx 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 12 22 (22)(22) 22 QQ， 作点 E 关于点 C 的对称点 E，过点 E作 AC 的平行线交抛物线于 Q
4、3， Q4 EQ 的解析式为： 1 3 2 yx 2 15 2 22 1 3 2 yxx yx ， 34 66 (26, 2),(26, 2) 22 QQ （3）设 2 15 ( ,2) 22 D ttt，作 DEx 轴于 E 交 AC 于 F 2 15 2 22 DEtt ， 1 2 2 EFt DF=DE+EF= 2 1 2 2 tt 22 111 |(2 )4(2)4 222 DCAAB SDFxxttt 当 t=2 时，SDCA最大=4，D(2，1) （4）过点 F 作 AC 的平行线 FM 设 FM 的解析式为： 1 2 yxb 2 15 2 22 1 2 yxx yxb ，x2-4
5、x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，满足条件的点 F 有三个 b=0， 1 2 yx 2 15 2 22 1 2 yxx yx ，F1(2，1) 作点 O 关于点 C 的对称点 O，过点 O作 AC 的平行线交抛物线于 F OF 的解析式为： 1 4 2 yx 2 15 2 22 1 4 2 yxx yx ， 23 22 (22, 3),(22,3) 22 FF （5）作 OEAC 于 E，取 OC 的中点 M，过点 M 作 AC 的平行线 交抛物线于 P，交 OE 于 N，点 P 为满足条件的点 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 4
6、 5 5 OE ， 2 5 5 NE 由(2)知，满足条件的点 P 的坐标为： 12 22 (22,),(22,) 22 PP， 34 66 (26, 2),(26, 2) 22 PP （6）过点 Q 作 QRAC，设直线 QR 的解析式为： 1 2 yxb 2 15 2 22 1 2 yxx yxb ，x2-4x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，Q 与直线 AC 的距离 QD 最大 b=0， 1 2 yx， 2 15 2 22 1 2 yxx yx ，Q(2，1) 精讲精练 1【2015 攀枝花】如图，已知抛物线cbxxy 2 与x轴交于)0, 1(A、)0, 3(B两点，与
7、y轴交于点C， 抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐 标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由 （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 【解析】 （1）抛物线 2 yxbxc 与x轴交于( 1, 0)A 、(3, 0)B两点 10 930 bc bc ， 2 3 b c 抛物线的解析式为： 2 23yxx （2）作 DFx 轴于 F 交 BC 于 E，设 D(t，-
8、t2+2t+3)，由(1)知 B(3，0)，C(0，3) BC 的解析式为：y=-x+3 DF=-t2+2t+3，EF=-t+3，DE=DF-EF=-t2+3t 22 113327 |(3 )3() 22228 BCDBC SDExxttt 当 3 2 t 时， 3 15 ( ,) 24 D， 27 8 BCD S 最大 （3）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 直线 BC 的解析式为：y=-x+3， P(1，4)，M(1，2) 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 点 P 关于 M 的对称点 N(1，0) 过点 P 和点 N 作 AC 的平行线交抛
9、物线于点 Q PQ1的解析式为：y=-x+5，NQ2的解析式为：y=-x+1 2 5 23 yx yxx ， 2 1 23 yx yxx 123 3- 171- 17317117 (2 3)(, -),(, -) 2222 QQQ ， ， 2 【2015 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线)0(32 2 aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点 A在点B的左侧） ， 经过点A的直线l：bkxy与y轴交于点C， 与抛物线的另一个交点为D， 且ACCD4 （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示） ； （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE
10、的面积的最大值为 4 5 ，求a的值； 备用图 【解析】 （1）令 y=0，则 ax22ax3a=0，解得 x1=1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧，A（1，0） 作 DFx 轴于 F DFOC，CD=4AC，4 OFCD OAAC OA=1，OF=4，D 点的横坐标为 4 y=16a-8a-3a=5a，D(4，5a) 0 45 kb kba ， ka ba 直线l的函数表达式为 y=ax+a （2）设 E(m，a(m+1)(m-3)，AE 交 y 轴于 M，设 yAE=k1x+b1 11 11 (1)(3) 0 mkba mm kb ， 1 1 (3) (3) ka m ba m ，OM
11、=a(a-3) 由（1）知 OC=-a，CM=OM+OC=a(m-3)-a 2 11325 | (3) (1) 22228 ACEEA a SCMxxa mamma 当 3 2 m 时， 25 8 ACE Sa 最大 255 84 2 5 aa ， 学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题学习数学领悟数学秒杀数学秒杀中考压轴题 3 【2016 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线3) 1( 2 xay与x轴交于A，B两点（点A在点 B的左侧） ，与y轴交于点) 3 8 , 0(C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P， Q两点，点Q在y轴的右侧 （1）求a的值及
12、点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为7:3的两部分时，求直线l的函数表达式； 备用图 【解析】 （1）抛物线与 y 轴交于点 8 (0,) 3 C， 8 3, 3 1 3 aa 2 1 (1)3 3 yx，当 y=0 时， 2 1 (1)30 3 x ，x1=2，x2=-4，A(-4，0)，B(2，0) （2）A(-4，0)，B(2，0)， 8 (0,) 3 C，D(-1，-3) AD 的解析式为 y=-x-4，BC 的解析式为 48 33 yx 11818 3 3(3) 1210 22323 ADHBOCABCDOCDH SSSS 四边形梯形 从面积分析知，直线 l 只能与 AD 或 BC 相交 当直线 l 与 AD 相交于点 M1时，则 1 3 103 10 AHM S 1 1 3 | 3 2 M y ，yM1=-2，M1(-2，-2) 直线 l 的解析式为 y=2x+2 当直线 l 与 BC 相交于点 M2时， 2 3 BHM S 1 1 3 | 3 2 M y ，yM2=-2， 2 1 ( ,2) 2 M 直线 l 的解析式为 44 33 yx 综上，直线 l 的解析式为 y=2x+2 或 44 33 yx
