1、文科数学试题 第 页( 共页) 机密启用前 华大新高考联盟 届高三月教学质量测评 文科数学 本试题卷共页, 题( 含选考题) .全卷满分 分.考试用时 分钟. 祝考试顺利 注意事项: 答题前, 先将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上, 并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 填空题和解答题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 B铅笔
2、涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 考试结束后, 请将答题卡上交. 一、 选择题: 本题共 小题, 每小题分, 共 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 设集合A, ,Bx|(x) (x) , 则AB A , B , C , ,D , , 已知复数z i, 则z z ABC D 已知t a n(),t a n, 则t a n A BC D 魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术, 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法所谓割圆术, 就是以 圆内接正多边形的面积, 来无限逼近圆面积刘徽形容他的割圆术说: “ 割之弥细, 所
3、失弥少, 割之又割, 以 至于不可割, 则与圆合体, 而无所失矣” 某学生在一圆盘内画一内接正十二边形, 将 粒豆子随机撒入 圆盘内, 发现只有粒豆子不在正十二边形内据此实验估计圆周率的近似值为 A B C D 已知x l g ,y l n ,z l o g, 则 AxzyBzyx CxyzDzxy 文科数学试题 第 页( 共页) 执行如图所示的程序框图, 设输出数据构成集合A, 则集合A中元素的 个数为 A B C D 设椭圆 x m y 的离心率为e, 则m是e 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 在平行四边形A B C D中, 点M为B C的中点,
4、 设A C a,B D b, 则AM A a b B a b C a b D a b 设f(x) ,g(x) 分别为定义在, 上的奇函数和偶函数, 且f(x)g(x) e xc o s x(e为自然对数的底 数) , 则函数yf( x)g(x) 的图象大致为 将函数y c o sx 的图象向右平移 个单位得到yf(x) 的图象, 给出下列四个结论: f(x) 为偶函数;f(x) 在(,) 上有个零点;f(x) 在 , 上单调递减;f x f x 则正确结论的序号是 A B C D 在A B C中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ac,s i nB ,A B C的面积为 , 则 b |a
5、c| 的 最小值为 A B C D 制作芯片的原料是晶圆, 晶圆是由硅元素加以纯化得到, 晶圆越薄, 其体积越小且成本越低, 但对工艺的 要求就越高, 即制作晶圆越薄其工艺就越高某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中, 成立甲, 乙, 丙三个科研小组, 用三种不同的工艺制作晶圆甲小组制作的晶圆厚度为 s i n 毫米, 乙小组制作的 晶圆厚度为 s i n 毫米, 丙小组制作的晶圆厚度为 c o s 毫米, 则在三个小组中制作工艺水平最高与 最低的分别是 A甲小组和丙小组B丙小组和乙小组 C乙小组和丙小组D丙小组和甲小组 文科数学试题 第 页( 共页) 二、 填空题: 本题共小题, 每小题
6、分, 共 分. 设f(x) l o gx,x, x, x, 则f f 某工厂生产了一批节能灯泡, 这批产品中按质量分为一等品、 二等品、 三等品从这批产品中随机抽取一 件产品检测, 已知抽到一等品或二等品的概率为 , 抽到二等品或三等品的概率为 , 则抽到二等品 的概率为 在等腰直角A B C中,A B,B A C ,AD为斜边B C的高, 将A B C沿AD折叠, 折叠后使 A B C成等边三角形, 则三棱锥A B C D的外接球的表面积为 设点F,F分别为双曲线C: x a y b ( a,b) 的左、 右焦点, 过点F作直线l与双曲线C的左、 右支分别交于A,B两点,若|A F| |B
7、F|且A FB F, 则双曲线C的离心率为 三、 解答题: 共 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答.第 、 题为选考题, 考生根据要求作答. ( 一) 必考题: 共 分. ( 分) 年寒假期间新冠肺炎肆虐, 全国人民众志成城抗疫情某市要求全体市民在家隔离, 同时决定全市所 有学校推迟开学某区教育局为了让学生“ 停课不停学” , 要求学校各科老师每天在网上授课辅导, 每天共 分 钟教育局为了了解高三学生网上学习情况, 上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了 名 学生( 其中男女生恰好各占一半) 进行问卷调查, 按男女生分为两组,
8、再将每组学生在线学习时间( 分钟) 分为 组, , ( , , ( , , ( , , ( , 得到如图所示的频率分布直方图 全区高三学生有 人( 男女生人数大致相等) , 以频率估计概率回答下列问题: ( ) 估计全区高三学生中网上学习时间不超过 分钟的人数; ( ) 在调查的 名高三学生且学习时间不超过 分钟的学生中, 男女生按分层抽样的方法抽取人 若从这人中随机抽取人进行电话访谈, 求至少抽到名男生的概率 ( 分) 设等比数列 an 的前n项和为Sn, 已知aa,S ( ) 求数列an 的通项公式; ( ) 设bn an, n为偶数, l o gan,n 为奇数, 数列 bn 的前n项和
9、为Tn, 求Tn 文科数学试题 第 页( 共页) ( 分) 如图所示, 在三棱柱A B C ABC中, 侧面A C CA为菱形,AA C ,A C, 侧面C B BC为正方形, 平面A C CA平面A B C点M为AC 的中点, 点N为A B的中点 ( )证明:MN平面B C CB; ( ) 求三棱柱A A B C的体积 ( 分) 设点F为抛物线y p x ( p) 的焦点,A,B,C三点在抛物线上, 且四边形A B C F为平行四边形, 当 B点到y轴距离为时,|B F| ( ) 求抛物线的方程; ( ) 平行四边形A B C F的对角线A C所在的直线是否经过定点? 若经过, 求出定点的坐
10、标; 若不经过定 点, 请说明理由 ( 分) 已知函数f( x)a x c o s x, (aR) ( ) 若a, 求曲线yf(x) 在点(,f() ) 处的切线方程; ( ) 若f(x), 求a的取值范围 ( 二) 选考题: 共 分.请考生在第 、 题中任选一题作答, 如果多选, 则按所做的第一题计分. 选修: 坐标系与参数方程 ( 分) 在直角坐标系x O y中, 曲线C的参数方程为 x c o s, y s i n ( 为参数) , 以坐标原点O为极点,x轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C的极坐标方程为 c o s , 点P 在曲线C上, 点Q在曲线 C上 ( ) 求曲线C的一般
11、方程和曲线C的直角坐标方程; ( ) 求|P Q|的最大值 选修: 不等式选讲 ( 分) 设a, b,c都是正数, 且abc ( ) 求 ab c 的最小值; ( ) 证明:a b c a b c 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 华大新高考联盟 届高三月教学质量测评 文科数学参考答案和评分标准 一、 选择题 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查一元二次不等式的解法和集合的运算, 考查考生的运算能力 【 解析】 因为A, ,Bx或x , 所以AB, , , 故选C 【 答案】 D 【 命题意图】 主要考查复数的概念及相关运算, 考查考生的运算求解能力 【 解析】 因为z i i
12、 , z i, 所以zz( i) ( i)故选D 【 答案】A 【 命题意图】 考查两角和、 差正切公式的应用, 考查考生的化归转化能力和运算求解能力 【 解析】 t a n t a n ( )t a n ( ) t a n t a n()t a n () 故选A 【 答案】 D 【 命题意图】 主要考查以数学文化为背景的概率问题, 考查考生的化归与转化能力、 数学建模能力和逻辑推 理能力 【 解析】 因为 R s i n R , 所以 故选D 【 答案】 C 【 命题意图】 主要考查对数函数的性质, 考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力 【 解析】 因为x l g , y l n ,z l
13、o g, 所以x最小 又因为yl g l ge , z l g l g , 所以yz, 所以xyz故选C 【 答案】 B 【 命题意图】 主要考查程序框图有关知识, 考查考生的逻辑推理能力 【 解析】 当xy;xy;xy;xy; x y;x, 退出循环, 所以A, , , 故选B 【 答案】A 【 命题意图】 主要考查椭圆的标准方程及几何性质和充要条件, 考查考生的逻辑推理能力和分类讨论思想 【 解析】 当m, 所以a,c , 所以e , 所以 m是e 的充分条件 当e , 若焦点在x 轴上, 则 m m , 所以 m; 若焦点在y轴上, 则 m , 所以 m , 所以m不是e 的必要条件 故
14、选A 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 【 答案】 D 【 命题意图】 考查向量的加、 减、 数乘运算, 考查考生的化归与转化能力和数形结合 的思想 【 解析】 因为A B D C a b,B C b a, 所以BM B C b a, 所以AM A BBM a b b a a b 故选D 【 答案】A 【 命题意图】 主要考查函数的性质与图象, 考查考生的化归与转化能力和数形结合能力, 以及逻辑推理、 直 观想象和数学运算 【 解析】 因为f(x)g(x) e xc o s x, 所以f(x)g(x) e xc o s (x) , 即f( x)g(x) e xc o s ( x)
15、, 所以f(x)g(x) c o sx e x 因为y c o s x e x , 当x 时, y, 所以C,D错误 又 y (s i nxc o sx) e x s i nx e x , 所以x 为极值点, 即 B错误故选A 【 答案】A 【 命题意图】 考查三角函数的图象及性质, 考查考生的化归与转化能力、 数形结合能力、 逻辑推理能力与直 观想象 【 解析】 依题意f(x) c o sx c o sx , 显然错 令f( x), 即c o sx , x(,) , 所以 x , 由yc o sx的图象知正确 因为 x , 所以 x , 显然错 对于, 因为f c o s , 所以f( x)
16、 关于x 对称, 所以f x f x ,正确 故选A 【 答案】 C 【 命题意图】 考查余弦定理、 三角形面积公式、 二倍角公式和均值不等式, 考查考生的化归与转化能力、 数 形结合能力和运算求解能力 【 解析】 因为s i nB , 所以c o sB s i n B , s i nB , 又因为 a cs i nB , 所以a c, 所以b a c a cc o sB(ac) a c(ac) , 所以 b |ac| |ac| |ac| 当且仅当|ac| , 即a , c 时取“” , 故选C 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 【 答案】A 【 命题意图】 考查三角函数的单调性,
17、 利用导数判断函数的单调性, 考查考生的化归与转化能力, 处理数据 能力, 以及应用意识 【 解析】 设a s i n , b s i n , c c o s , 所以 a s i n , b s i n , c c o s 因为 , 所以 c o s c o s 又 , , 所以 s i n s i n , s i n s i n , 所以c最大, 否定B,D 设f( x) s i nx x , x , , f ( x) xc o sxs i nx x , 令g( x)xc o sxs i nx,x , , g ( x)xs i nx, 所以g( x) 在, 上为减函数, 所以g( x)g(
18、), 即 f ( x), 所以f(x) 在, 上为减函数 所以f f , 即 s i n s i n , 所以 s i n s i n , 所以b a, 故选A 二、 填空题 【 答案】 【 命题意图】 考查分段函数, 指数和对数的运算, 考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力 【 解析】 因为f l o g , 所以f f f() 【 答案】 【 命题意图】 主要考查互斥事件的概率, 考查考生的化归能力、 数学建模能力和运算求解能力 【 解析】 设抽到一等品、 二等品、 三等品的事件分别为A,B,C 则 P(A)P(B) , P(B)P(C) , P(A)P(B)P(C), 解得P(B) 【
19、答案】 【 命题意图】 考查平面图形折叠中的线面关系以及球体, 考查考生的空间想象能力、 转化与化归能力、 运算 求解能力 【 解析】 沿AD折叠后使A B C成等边三角形, 即折叠后B C 易得ADB DC D 而B DC D() ()B C, 所以B DC D 又ADB D,ADC D, 以A,D,B,C为顶点构造正方体, 设三棱 锥A B C D的外接球的半径为R, 则(R) DAD BD C()()(), 解得R 所以三棱锥A B C D的外接球的表面积S R 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 【 答案】 【 命题意图】 主要考查双曲线的定义及几何性质, 考查考生的运算求解
20、能力、 划归转化能力和数形结合能力 【 解析】 |A F| |B F|, 设|B F|m, 则|A F|m, 因为A FB F, 所以|A B|m 由双曲线定义得 m|A F|a, m|A F|ma, 解得 ma, |A F|a 在直角A B F中, c o s B A F a a 在A FF中, (c) a ( a) a(a) c o s(B A F) , 所以c a , 所以ec a 三、 解答题 【 命题意图】 主要考查频率分布直方图、 用样本估计总体、 古典概型等, 考查考生的数据处理能力、 数学建 模能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 男生自主学习不超过 分钟的人数: 人,分 女
21、生自主学习不超过 分钟的人数: 人,分 所以估计全区高三学生网上学习时间不超过 分钟的人数为 人 分 ( ) 在 名学生中, 男生网上学习不超过 分钟的人数: 人, 女生网上学习不超过 分钟的人数: 人, 所以选名男生, 名女生分 名男生设为a,a,a,a,名女生设为b,b, 任选人有:aa,aa,aa,aa,aa,aa,bb, ab,ab,ab,ab,ba,ba,ba,ba, 共 种 分 所以至少有一名男生的概率P 分 【 命题意图】 考查等比数列通项公式及前n项和公式的应用, 考查考生的运算求解能力, 化归与转化能力 【 解析】 ( ) 由aa, 显然公比q aq a, a(q ) q ,
22、 分 由得q, 所以q, 分 代入得a, 分 所以a n n 分 ( ) 因为bn n, n为偶数, n,n为奇数, 分 所以T nbbbnbbbnbbbn (n)( n) 分 ( n)n ( n) 分 n n n 分 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 【 命题意图】 主要考查空间线面平行、 线面垂直、 面面垂直、 椎体体积求法, 考查考生的空间想象能力、 推理 论证能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 连A C,B C, 因为A C CA为菱形, 点M为AC的中点, 所以A CACM 分 又点M为A C的中点, 点N为A B中点, 所以MNB C 分 而B C平面B C CB,
23、MN平面B C CB, 分 所以MN平面B C CB 分 ( )侧面A C CA为菱形,AA C , A AC为等边三角形,AAACA C 取A C的中点H, 连AH, 则AHA C 分 又平面A C CA平面A B C, AH平面A B C,AHB C分 而C B BC为正方形,B CC C 又A AC C,B CAA, 又A AAHA,B C平面A C CA 分 又A AC的面积S s i n 分 VAA B CVBAA C 分 【 命题意图】 考查抛物线的定义及标准方程、 抛物线的性质、 直线与抛物线的位置关系, 考查考生的运算求 解能力、 化归与转化能力和分析问题与解决问题的能力 【
24、解析】 ( ) 依题意xB,分 由抛物线定义p , 所以p 分 所以抛物线方程为y x分 ( ) ( 方法一) 设直线A C:x t y m, 设A( x,y) ,C(x,y) ,B(x,y) ,F(,) , 所以F A ( x,y) ,F B ( x,y) ,F C ( x,y) , 依题意F A F CF B, 分 所以 xxx, yyy, 即 xxx, yyy, 分 联立 x t y m, y x, 得y t y m, 所以( t) m, 即t m, yy t,yy m,分 所以xx t y m t y mt( t)m t m分 所以 x t m, y t, 而y x, 分 所以( t)
25、 ( t m) , 所以m即直线A C:x t y , 分 令y, 则x, 分 所以直线A C恒过定点(, ) 分 ( 方法二) 设A(x, y) ,C(x,y) ,B y , y , 则B F中点为D y , y , 分 文科数学参考答案和评分标准 第 页( 共页) 所以 yy y , 即yyy又y x,y x, 所以y y ( xx) 当xx时, yy xx( yy) , 所以kA C y, 分 所以直线A C: y y y x y , 即y y( x) , 令x, 则y, 所以直线A C过定点(, ) 分 当xx时, 根据抛物线对称性, 四边形A B C F为菱形, 所以直线A C: x
26、, 所以过定点(,) 分 综上直线A C恒过定点(, ) 分 【 命题意图】 主要考查曲线的切线、 函数的单调性与极值、 函数导数的综合应用, 考查考生的推理论证能 力、 抽象概括能力, 考查化归与转化思想和分类讨论思想 【 解析】 ( ) 若a, 则f(x)x c o s x, f ( x)x s i nx, 斜率k f ( ) 分 又f() c o s , 所以切线方程为y ( x) , 即 xy 分 ( ) 因为f(x)f(x) , 所以f(x) 为偶函数因为f(x), 所以当x时,f(x),分 因为 f ( x)a x s i nx,x,分 令g( x)a x s i nx, 则 g
27、( x)a c o sx(ac o sx)分 当a时, g ( x), 所以g(x) 在,) 上单调递增, 所以g(x)g(), 即 f ( x), 所以f(x) 在,) 上单调递增, 所以f(x)f(), 满足条件分 当a时,f a, 显然不满足条件分 当a时, 若x , , 令 g ( x), 则c o sxa, 所以存在x使得当x(, x) , g ( x), 所以g( x) 在(,x) 上单调递减, 即g(x)g(), 即 f ( x), 所以f( x) 在(,x) 上单调递减, 所以f(x)f(), 所以不满足条件 分 综上, a的取值范围是,) 分 【 命题意图】 主要考查圆与椭圆
28、的参数方程和椭圆的极坐标方程, 考查考生的数形结合能力、 化归与转化 能力和运算求解能力 【 解析】 ( ) 曲线C:x ( y) c o s s i n , 即x ( y) 分 曲线C: c o s , 即 ( c o s s i n ), 所以( x y ) (x y ) , 即 x y 分 ( ) 设Q( c o s,s i n) ,C(,) |CQ| ( c o s) ( s i n) s i n s i n s i n s i n s i ns i n 分 当s i n 时, |CQ|m a x , 分 所以|P Q| m a x 即|P Q|的最大值为 分 文科数学参考答案和评分标
29、准 第 页( 共页) 【 命题意图】 主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及证明不等式考查考生的推理论证能力和运算 求解能力 【 解析】 ( ) 因为a,b,c为正数, 且abc, 所以 ab c abc ab abc c c ab ab c c ab ab c 当且仅当abc时取“” , 所以 ab c 的最小值为 分 ( )a b c ( a b b c a c ) ( a b b c a c ) 当且仅当abc 时等号成立 分 ( a b b c a c ) ( a b b c a b a c b c a c ) ( a b ca b ca b c ) a b c(bac)a b c 当且仅当abc 时等号成立 分
