1、初中数学与核心素养北师大版初中数学教材专业支持体系如何理解核心素养时代背景有什么新要求？新华社北京新华社北京7月月20日电：日电：国务院近日印发新一国务院近日印发新一代人工智能发展规划，提出了面向代人工智能发展规划，提出了面向2030年我年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国。科技强国。人工智能人工智能：对人的意识、思维的信息过程的模对人的意识、思维的信息过程的模拟，其产品是一种
2、类似人类智能方式做出反应拟，其产品是一种类似人类智能方式做出反应的智能机器。的智能机器。时代背景有什么新要求？案例：案例：九寨沟地震发生九寨沟地震发生18分钟后，中国地分钟后，中国地震台网震台网用用机器写了篇新闻稿，写作用时机器写了篇新闻稿，写作用时25秒。秒。稿件用词准确，行文流畅，且地形稿件用词准确，行文流畅，且地形、天气天气面面俱到，即便专业记者临阵受命，面面俱到，即便专业记者临阵受命，作作品品也不过如此。也不过如此。时代背景有什么新要求？2017年年3月贵州的大数据峰会月贵州的大数据峰会：如果我们继续以前的教学方法，如果我们继续以前的教学方法，对我们的孩子进行记、背、算，对我们的孩子进
3、行记、背、算，不让孩子去体验，不让他们去学不让孩子去体验，不让他们去学会琴棋书画，我可以保证，会琴棋书画，我可以保证，30年年后孩子们找不到工作后孩子们找不到工作，因为他没因为他没有办法有办法与与机器竞争机器竞争！马云语出惊人马云语出惊人 以前的以前的20年我们把人变成了机器，未来年我们把人变成了机器，未来20年，我年，我们会把机器变成人。们会把机器变成人。时代背景有什么新要求？过去的过去的200年是知识、科技的时年是知识、科技的时代，未来代，未来100年是智慧、体验的年是智慧、体验的时代。知识可以学，但智慧不能时代。知识可以学，但智慧不能学，只能体验。在未来，大数据、学，只能体验。在未来，大
4、数据、机器将把人类知识领域的事全部机器将把人类知识领域的事全部做完，人类和机器的竞争关键在做完，人类和机器的竞争关键在于智慧在于体验于智慧在于体验。马云语出惊人马云语出惊人 核心素养是如何提出的？8080年代年代素质教育十八大十八大把立德树人作为教育的根本任务，全面实施素质教育20142014年年研究提出各学段学生发展核心素养体系要把学科核心素养贯穿始终高中课标修订高中课标修订教育部教育部关于全面深化课程改革，关于全面深化课程改革，落实落实立德树人立德树人根本任务的意见根本任务的意见总体框架是什么？学生应具备的、能够适应终身发展和社会学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的发展需要的必备
5、品格必备品格和和关键能力关键能力。三个方面：三个方面：文化基础、自主发展、社会参与文化基础、自主发展、社会参与 六大素养：六大素养：人文底蕴、科学精神、学会学习人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新、健康生活、责任担当、实践创新 十八个基本要点：十八个基本要点：人文积淀人文积淀、人文情怀人文情怀、审审美情趣美情趣；理性思维理性思维、批判质疑批判质疑、勇于探究勇于探究；乐学善学乐学善学、勤于反思勤于反思、信息意识信息意识；珍爱生命珍爱生命、健全人格健全人格、自我管理自我管理；社会责任社会责任、国际理国际理解解、国家认同国家认同；劳动意识劳动意识、问题解决问题解决、技术技术运用
6、运用总体框架是什么？高中数学课程中的核心素养高中数学课程中的核心素养：学生学生应该具应该具备的、能够备的、能够适应适应终身发展终身发展和和社会发展需要社会发展需要的的、与数学有关的、与数学有关的关键能力关键能力和和思维品质思维品质。高中数学核心素养有哪些？数学教育的终极目标（与人的行为有关）：数学教育的终极目标（与人的行为有关）：会用数学的眼光观察现实世界会用数学的眼光观察现实世界会用数学的思维思考现实世界会用数学的思维思考现实世界会用数学的语言表达现实世界会用数学的语言表达现实世界高中数学核心素养有哪些？数学语言数学语言数学模型数学模型数据分析数据分析应用的应用的广泛性广泛性数学思维数学思维
7、逻辑推理逻辑推理数学运算数学运算数学的数学的严谨性严谨性数学眼光数学眼光数学抽象数学抽象直观想象直观想象数学的数学的一般性一般性数学特征数学特征如何理解初中数学的核心素养？基本思想，基本活动经验基本思想，基本活动经验思想感悟和经验积累是一种隐性思想感悟和经验积累是一种隐性的东西，的东西，它它在很大程度在很大程度上上影响人影响人的思想方法的思想方法。因此，对学生、特因此，对学生、特别是对那些未来不从事数学工作别是对那些未来不从事数学工作的学生的重要性是不言而喻的，的学生的重要性是不言而喻的，这是学生数学素养的集中体现这是学生数学素养的集中体现，也是也是“育人为本育人为本”教育理念在数教育理念在数
8、学学科的具体体现。学学科的具体体现。8个核心概念个核心概念它们它们涉及的是学生在数学学习涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学们是学生在义务教育阶段数学课程中课程中最应培养的数学素养最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。是促进学生发展的重要方面。如何理解初中数学的核心素养？8个核心概念个核心概念如何理解初中数学的核心素养？数感、符号意识（数学抽象）数感、符号意识（数学抽象）推理能力（逻辑推理）推理能力（逻辑推理）几何直观、
9、空间观念（直观想象）几何直观、空间观念（直观想象）运算能力（数学运算）运算能力（数学运算）模型意识（数学建模）模型意识（数学建模）数学分析观念（数据分析）数学分析观念（数据分析）体现核心素养的关键是什么？对教师来说，在实际教学中落实对对教师来说，在实际教学中落实对“基本基本数学思想、基本活动经验数学思想、基本活动经验”的要求，的要求，关键关键是在教学是在教学设计设计中中要有要有这方面这方面的意识的意识。比如。比如，考虑在哪些教学环节可以渗透哪些数学，考虑在哪些教学环节可以渗透哪些数学思想；在分析问题、解决问题的整体结构思想；在分析问题、解决问题的整体结构设计时，考虑可以渗透、示范哪些活动经设计
10、时，考虑可以渗透、示范哪些活动经验，等等。验，等等。体现核心素养的关键是什么？实践中的一种倾向：强调实践中的一种倾向：强调基础知识扎实、基础知识扎实、基本技能熟练，基础知识扎实靠记忆，基基本技能熟练，基础知识扎实靠记忆，基本技能熟练靠训练。我们的教育变成了记本技能熟练靠训练。我们的教育变成了记忆和训练。忆和训练。案例：因式分解案例：因式分解逆用分配律的简便计算：逆用分配律的简便计算：2929*36+2936+29*6464拼图拼图a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)体现核心素养的关键是什么？由数到式的类比由数到式的类比99993 3-99=99(99+1)(9
11、9-1)-99=99(99+1)(99-1)。再举几个类似的例子。最后得到再举几个类似的例子。最后得到a a3 3-a=a(a-a=a(a2 2-1)=a(a+1)(a-1)1)=a(a+1)(a-1)分类：给一些整式乘法及因式分解的式子分类：给一些整式乘法及因式分解的式子，让学生分类，让学生分类明晰因式分解的概念明晰因式分解的概念体现核心素养的关键是什么？案例：案例：“平均数平均数”的一种设计的一种设计篮球队实力比较问题：如何比较两个篮球篮球队实力比较问题：如何比较两个篮球队员的实力？团队配合、身高、年龄等。队员的实力？团队配合、身高、年龄等。如何比较身高、年龄？如何比较身高、年龄？意图：数
12、据分意图：数据分析观念（收集数据，分析判断）；分析方析观念（收集数据，分析判断）；分析方法（理解平均数：数据的代表）法（理解平均数：数据的代表）体现核心素养的关键是什么？网页设计比赛：网页设计比赛：体现核心素养的关键是什么？8 8个评委给个评委给2 2个选手打分，个选手打分，4 4个评委给乙打个评委给乙打的分数高，的分数高，1 1个评委给甲乙打的分数一样，个评委给甲乙打的分数一样，但甲的平均分高（因为其中但甲的平均分高（因为其中1 1个评委给甲的个评委给甲的分特高），平均分不能反映多数评委的意分特高），平均分不能反映多数评委的意见。见。意图：数据分析观念（数据中隐意图：数据分析观念（数据中隐含
13、着信息）；理解平均数（平均数易受极含着信息）；理解平均数（平均数易受极端值影响）端值影响）体现核心素养的关键是什么？教师招聘问题：教师招聘问题：体现核心素养的关键是什么？呈现甲乙两人的笔试、课堂教学、面试呈现甲乙两人的笔试、课堂教学、面试答辩三部分成绩，甲的平均成绩高，而乙答辩三部分成绩，甲的平均成绩高，而乙的课堂教学成绩比甲高很多。有学生说选的课堂教学成绩比甲高很多。有学生说选甲，也有学生说选乙。引出加权。甲，也有学生说选乙。引出加权。意意图：数据分析观念（数据中隐含着信息）图：数据分析观念（数据中隐含着信息）；理解；理解“权权”的意义的意义归纳得出加权平均数的概念归纳得出加权平均数的概念学
14、生举加权平均数的实例学生举加权平均数的实例体现核心素养的关键是什么？案例：案例：“平均数平均数”的另一种设计的另一种设计1010个学生每人投个学生每人投1010次球，投中数目分别为次球，投中数目分别为：6 6，8 8，1010，6 6，8 8，8 8，1010，1010，1010，8 8。这这1010个同学平均每人投中几个球？个同学平均每人投中几个球？（用最原始的算法算）（用最原始的算法算）这里的这里的1010个个 表示各数值出现的次数占总表示各数值出现的次数占总数值次数的比值，说明各数值在这组数据数值次数的比值，说明各数值在这组数据中的地位一样。中的地位一样。体现核心素养的关键是什么？101
15、0个学生每人投数次球，投中数目为：个学生每人投数次球，投中数目为：2 2人人投中投中6 6个球，个球，4 4人投中人投中8 8个球，个球，4 4人投中人投中1010个个球。这球。这1010个同学平均每人投中几个球？个同学平均每人投中几个球？（用简便算法算）（用简便算法算）由此可以得到平均数的一种变形求法。由此可以得到平均数的一种变形求法。体现核心素养的关键是什么？1010个学生每人投数次球，投中数目为：个学生每人投数次球，投中数目为：20%20%人投中人投中6 6个球，个球，40%40%人投中人投中8 8个球，个球，40%40%人投人投中中1010个球。这个球。这1010个同学平均每人投中几个
16、个同学平均每人投中几个球？球？方法一：先求出人数方法一：先求出人数 方法二：直接用百分比方法二：直接用百分比体现核心素养的关键是什么？某班学生每人投数次球，投中数目数为：某班学生每人投数次球，投中数目数为：20%20%人投中人投中6 6个球，个球，40%40%人投中人投中8 8个球，个球，40%40%人人投中投中1010个球。这个班的同学平均每人投中个球。这个班的同学平均每人投中几个球？几个球？题目中没有总人数。题目中没有总人数。体现核心素养的关键是什么？某班学生每人投数次球，投中某班学生每人投数次球，投中6 6个球，个球，8 8个个球，球，1010个球的人数比值为个球的人数比值为2:4:42
17、:4:4。这个班的这个班的同学平均每人投中几个球？同学平均每人投中几个球？结论：结论：平均数平均数=各个数值每个数值出现各个数值每个数值出现次数占总次数的比值的和次数占总次数的比值的和体现核心素养的关键是什么？算术平均数的定义算术平均数的定义加权平均数的定义加权平均数的定义两种平均数的异同两种平均数的异同体现核心素养的关键是什么？体现核心素养的关键是什么？案例：探索三角形相似的条件（一）案例：探索三角形相似的条件（一）体现核心素养的关键是什么？案例：案例：丰富的图形世界丰富的图形世界的定位的定位体现核心素养的关键是什么？案例：用转化的思想整体把握代数运算内容案例：用转化的思想整体把握代数运算内
18、容体现核心素养的关键是什么？体现核心素养的关键是什么？体现核心素养的关键是什么？从核心素养的高度理解教材、把握教学数与代数这是什么式？(x-1)(x-1)2 2是多项式吗？如果是，它是几次几项是多项式吗？如果是，它是几次几项式？多项式的因式分解，分解后还是多项式？多项式的因式分解，分解后还是多项式吗？式吗？1/a1/a1/b1/b是不是分式？是不是分式？这是什么式？解析式：把数、字母用运算符号联结而成的解析式：把数、字母用运算符号联结而成的式子。又称数学式子，简称式子。式子。又称数学式子，简称式子。在初等代数中，对各种在初等代数中，对各种“式式”的定义是按的定义是按照如下顺序进行的：照如下顺序
19、进行的：初等运算包括代数运算与初等超越运算。初等运算包括代数运算与初等超越运算。代数运算代数运算：有限次的加减乘除、有理数次乘方。初等超越运算初等超越运算：无理数次乘方、对数、三角和反三角运算。这是什么式？代数式代数式：在一个解析式中，对字母只进行有限次的代数运算，这样的解析式叫做代数式。超越式超越式：在一个解析式中，对字母进行有限次的初等超越运算，这样的解析式叫做初等超越式，或称简单超越式，简称超越式。这是什么式？有理式有理式：只含有加减乘除、指数为整数的乘方运算的代数式，叫做有理式。无理式无理式：含有开方运算的代数式，叫做无理式。含有根号的代数式叫根式。无理式一定是根式，但根式不一定都是无
20、理式，如根号2。这是什么式？有理整式有理整式：只含有加减乘（包括非负整数次乘方）运算的有理式叫做有理整式。有理整式简称整式，也称为多项式。单项式是多项式的特例。有理分式有理分式：含有除法运算的有理式，叫做有理分式。这是什么式？说明：说明：定义中所指的各种运算，是针对字母而言定义中所指的各种运算，是针对字母而言的。的。这种分类方法是就它们的形式而言的，即这种分类方法是就它们的形式而言的，即针对化简前的形式而言。针对化简前的形式而言。这是什么式？按照这样的定义，整式与多项式是一回事按照这样的定义，整式与多项式是一回事，单项式只是其中一类特例。因此，用初，单项式只是其中一类特例。因此，用初等代数的眼
21、光来看，等代数的眼光来看，(x-1)(x-1)2 2无疑是多项式。无疑是多项式。既然它是多项式，那它究竟是几次几项式既然它是多项式，那它究竟是几次几项式呢？呢？这是什么式？初等代数中的规定：一个多项式经过恒等初等代数中的规定：一个多项式经过恒等变形化为标准形式后（如果必要的话），变形化为标准形式后（如果必要的话），是几次几项就称为几次几项式是几次几项就称为几次几项式 。具体到刚才的问题，（具体到刚才的问题，（x-1x-1）2 2是二次三项式是二次三项式（不是标准形式）；因式分解是多项式的（不是标准形式）；因式分解是多项式的恒等变形，变形前后都是多项式。恒等变形，变形前后都是多项式。这是什么式？
22、1/a1/a1/b1/b是不是分式？当然是分式，因为是不是分式？当然是分式，因为对对a a、b b都有除法运算；同样地，（都有除法运算；同样地，（x+3x+3）（x-1x-1）自然也是分式，因为按照定义，它）自然也是分式，因为按照定义，它是不是分式只与所含字母的运算有关，与是不是分式只与所含字母的运算有关，与书写形式无关。书写形式无关。这是什么式？教材：把一个多项式化成几个整式的积的教材：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。形式，这种变形叫做因式分解。3x-3=33x-3=3（x-1x-1）算不算因式分解？）算不算因式分解？比较严谨的定义：把一个多项式表示成几比较严谨的定
23、义：把一个多项式表示成几个不可约整式的连乘积的过程叫做因式分个不可约整式的连乘积的过程叫做因式分解。解。这是因式分解吗？把一个多项式把一个多项式表示成几个表示成几个不可约不可约整式整式的连乘积的过的连乘积的过程。程。把一个整数表示把一个整数表示成几个成几个质数质数的连的连乘积的过程。乘积的过程。除了除了1和它本身和它本身不再有其他因数不再有其他因数当然因数：当然因数：1和和它本身它本身除了当然因式，除了当然因式，不再有其他因式不再有其他因式当然因式？当然因式？这是因式分解吗？当然因式：每一个当然因式：每一个不等于不等于0 0的数的数，以及每一，以及每一个与给定的整式个与给定的整式只差一个不等于
24、只差一个不等于0 0的数值因的数值因式的整式式的整式。不可约整式：给定数域不可约整式：给定数域F F上的整式上的整式q q，如果，如果只有当然因式（没有非当然因式），那么只有当然因式（没有非当然因式），那么q q就叫做就叫做F F上的不可约整式。上的不可约整式。可约与否，与给定的数域有关：如可约与否，与给定的数域有关：如2x2x2 2-1-1在在有理数域不可约，在实数域可约。有理数域不可约，在实数域可约。这是因式分解吗？这是什么方程？x+y=x-2x+y=x-2是一元一次方程吗？是一元一次方程吗？同解方程：同解方程：两个方程的解完全相同。解集两个方程的解完全相同。解集为空集的所有方程同解。为空
25、集的所有方程同解。同解变形同解变形：解方程时，用同解方程代替原解方程时，用同解方程代替原方程的过程。方程的过程。一元一元n n次方程次方程：一个整式方程经过同解变形一个整式方程经过同解变形能化成形如能化成形如a a0 0 x xn n+a+a1 1x xn-1n-1+a+an-1n-1x+ax+an n=0=0（其中（其中a a0 0，a a1 1，a an-1n-1，a an n为常数，且为常数，且a a0 00 0）的）的形式。形式。这是什么方程？解整式方程时所用到的去分母、去括号解整式方程时所用到的去分母、去括号、移项、合并同类项、用一个不等于零、移项、合并同类项、用一个不等于零的数去乘
26、方程的两边，都属于同解变形的数去乘方程的两边，都属于同解变形。x+y=x-2x+y=x-2经过同解变形可化为经过同解变形可化为y=-2y=-2，因，因此此 x+y=x-2x+y=x-2是一元一次方程。是一元一次方程。这些问题容易争执不清，关键是教材没有这些问题容易争执不清，关键是教材没有对相关代数概念给出系统且严谨的定义。对相关代数概念给出系统且严谨的定义。教材为何不给出系统严谨的定义？教材为何不给出系统严谨的定义？与数学教材的功能有关。与数学教材的功能有关。数学教材是用来数学教材是用来教学的。教学的。数学教学的过程，是学生不断丰数学教学的过程，是学生不断丰富其数学知识技能的过程，是学生不断感
27、富其数学知识技能的过程，是学生不断感悟数学思想、积累数学活动经验的过程，悟数学思想、积累数学活动经验的过程，同时也是学生不断提高其发现问题、提出同时也是学生不断提高其发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的过程。问题、分析问题、解决问题能力的过程。为何定义不严谨？因而，作为教学内容主要来源的教因而，作为教学内容主要来源的教材材，它对很多概念的处理必须遵循学生的认识它对很多概念的处理必须遵循学生的认识规律，不应该也不可能做到一以贯之的严规律，不应该也不可能做到一以贯之的严谨。谨。比如，教材比如，教材定义一元一次方程时为何定义一元一次方程时为何不采用类似于一元二次方程的定义方式呢不采用类似于一
28、元二次方程的定义方式呢？原因在于，学生在学习一元一次方程时？原因在于，学生在学习一元一次方程时基本没有什么解方程的经验，这时若出现基本没有什么解方程的经验，这时若出现“化成化成形式形式”，他们会不知所云。，他们会不知所云。为何定义不严谨？为何定义不严谨？与课程目标有关。与课程目标有关。初中数学学习各种代数式，主要目标是要初中数学学习各种代数式，主要目标是要用它们表示问题中的数量关系，掌握有关用它们表示问题中的数量关系，掌握有关的运算，解决一些简单问题，并在这一过的运算，解决一些简单问题，并在这一过程中发展程中发展符号意识、运算能力符号意识、运算能力，感受，感受模型模型思想思想。引入相关概念名词
29、，一定意义上是。引入相关概念名词，一定意义上是为了方便表达，并不是要对这些概念本身为了方便表达，并不是要对这些概念本身进行系统研究。进行系统研究。为何定义不严谨？初中数学学习各种方程，重点是根据具体初中数学学习各种方程，重点是根据具体问题中的数量关系列出方程，解决一些简问题中的数量关系列出方程，解决一些简单问题，并体会方程的单问题，并体会方程的模型思想模型思想，发展，发展应应用意识用意识；为此还需要掌握各种方程的解法；为此还需要掌握各种方程的解法，提高，提高运算能力运算能力和和推理能力推理能力。因此，引入。因此，引入方程的相关概念，也不是要对方程的有关方程的相关概念，也不是要对方程的有关理论问
30、题进行系统研究。理论问题进行系统研究。为何定义不严谨？既然如此，在不影响实现课程目标的前提既然如此，在不影响实现课程目标的前提下，有关概念不那么严谨又有何妨？相反下，有关概念不那么严谨又有何妨？相反，如果让初中学生去掌握这些系统而严谨，如果让初中学生去掌握这些系统而严谨的定义，那才是得不偿失的。的定义，那才是得不偿失的。为何定义不严谨？因此，在教学中不必花过多精力用以判断因此，在教学中不必花过多精力用以判断一个式子是不是某种一个式子是不是某种“式式”，或者一个方，或者一个方程是不是某种方程，特别要避免那些容易程是不是某种方程，特别要避免那些容易引发争议的判断问题，因为这与规定有关引发争议的判断
31、问题，因为这与规定有关，与理解相关内容的本质关系不大，也不，与理解相关内容的本质关系不大，也不是教学的重点所在。在教学和考试中都要是教学的重点所在。在教学和考试中都要回避这一类的争议问题。回避这一类的争议问题。几何与代数的定义有差别？概念的严谨程度与教科书中相应内容体系概念的严谨程度与教科书中相应内容体系的理论严谨程度有关。的理论严谨程度有关。平面几何的有关概念总体上更为严谨。平面几何的有关概念总体上更为严谨。原原因：因：与两个领域知识体系的严谨程度有关与两个领域知识体系的严谨程度有关。目前，平面几何。目前，平面几何知识体系总体上是一个知识体系总体上是一个演绎论证体系；而代数领域的课程内容在演
32、绎论证体系；而代数领域的课程内容在这方面则要弱得多。演绎论证体系中的概这方面则要弱得多。演绎论证体系中的概念，由于证明的需要，必须进行相对严谨念，由于证明的需要，必须进行相对严谨的表述。的表述。几何与代数的定义有差别？对概念要正确理解，区别对待。对概念要正确理解，区别对待。只是为称呼方便而提出的概念，只需让学只是为称呼方便而提出的概念，只需让学生了解其大意即可生了解其大意即可。重要的概念要在理解上下功夫。重要的概念要在理解上下功夫。尽量不要单纯地考查概念的定义。有关的尽量不要单纯地考查概念的定义。有关的计算、论证、应用计算、论证、应用既既可直接考查技能与应可直接考查技能与应用知识能力，也可间接
33、考查对概念的掌握用知识能力，也可间接考查对概念的掌握情况，这比单纯考概念要好得多。情况，这比单纯考概念要好得多。两种安排顺序：两种安排顺序：先学方程组：先学方程组：传统上我国初中数学在处理传统上我国初中数学在处理一次函数与二元一次方程组的顺序时，通一次函数与二元一次方程组的顺序时，通常是先学习二元一次方程组的相关内容，常是先学习二元一次方程组的相关内容，然后再学习一次函数的内容。然后再学习一次函数的内容。教材设计：先教材设计：先研究一次函数研究一次函数，再研究二元再研究二元一次方程组。一次方程组。为何一次函数在方程组之前？教材为什么要先学一次函数？教材为什么要先学一次函数？几何直观：几何直观：
34、利用图形描述和分析问题利用图形描述和分析问题已知二次函数已知二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c 的图象如图所示，的图象如图所示，回答下列问题：回答下列问题：为何一次函数在方程组之前？写出一元二次方程写出一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两个根；的两个根；写出不等式写出不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集；的解集；关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+c=k+bx+c=k有两个不相有两个不相等的实数根，求等的实数根，求k k的取的取值范围。值范围。为何一次函数在方程组之前？先学一次函数有利于发展几何直观：学生先学一次
35、函数有利于发展几何直观：学生在解决一次函数的有关问题时由于还没有在解决一次函数的有关问题时由于还没有掌握二元一次方程组这一代数工具，因此掌握二元一次方程组这一代数工具，因此就不得不借助图象：要么借助图象看出一就不得不借助图象：要么借助图象看出一个参数，用一元一次方程求出另一个参数个参数，用一元一次方程求出另一个参数；要么完全借助图象来解决问题。；要么完全借助图象来解决问题。为何一次函数在方程组之前？先学方程组是否也可以达到同样的效果？先学方程组是否也可以达到同样的效果？当当学生掌握了方程组这一代数工具学生掌握了方程组这一代数工具后后，多，多数学生在解决一次函数的有关问题时往往数学生在解决一次函
36、数的有关问题时往往就会就会表现出表现出代数化倾向代数化倾向 代数技能与几何直观：孰轻孰重？相比而代数技能与几何直观：孰轻孰重？相比而言，发展学生几何直观的机会比较少，而言，发展学生几何直观的机会比较少，而且很多时候需要教师进行有意识的深度挖且很多时候需要教师进行有意识的深度挖掘。掘。为何一次函数在方程组之前？为何一次函数在方程组之前？这样的设计，与这样的设计，与人类人类的发现过程基本一致的发现过程基本一致，创设了认知冲突，使，创设了认知冲突，使学生学生经历了经历了探索、探索、发现发现等数学思考等数学思考的过程，同时体会到数学的过程，同时体会到数学概念概念的的实际背景。实际背景。为何实数在勾股定
37、理之后？从人类的认识历史来说，勾股定理是发现从人类的认识历史来说，勾股定理是发现无理数的基础。正是因为有了勾股定理，无理数的基础。正是因为有了勾股定理，才导致了无理数的发现。才导致了无理数的发现。第一次数学危机。第一次数学危机。为何实数在勾股定理之后？从教学来说，从教学来说，尽管学生的认识过程不能完尽管学生的认识过程不能完全等同于人类的认识过程，但人类的认识全等同于人类的认识过程，但人类的认识过程无疑对设计教学过程具有重要的意义过程无疑对设计教学过程具有重要的意义：人类认识数学过程中的矛盾、困惑和危：人类认识数学过程中的矛盾、困惑和危机，正好可以用来构建学生认识数学的认机，正好可以用来构建学生
38、认识数学的认知冲突。知冲突。从而从而可以使学生了解学习无理数可以使学生了解学习无理数的必要性，同时可以使得学生认识无理数的必要性，同时可以使得学生认识无理数的素材更加丰富。的素材更加丰富。为何实数在勾股定理之后？如果如果反过来设计反过来设计，那么一般只能从，那么一般只能从诸诸如如“2 2的平方等于的平方等于4 4，2 2叫做叫做4 4的平方根，的平方根，那么那么2 2的平方根等于多少呢？如何表示呢？的平方根等于多少呢？如何表示呢？”从而引出平方根的概念和表示。接着研从而引出平方根的概念和表示。接着研究究带根号带根号的的数的数的小数表示，引出无理数的小数表示，引出无理数的概念。这样设计，背景平淡
39、，不易留下较概念。这样设计，背景平淡，不易留下较为深刻的思维印记；可能还会有学生为深刻的思维印记；可能还会有学生质质疑疑研究无理数的必要性：研究无理数的必要性：“有平方等于有平方等于2 2的数的数吗？吗？”为何实数在勾股定理之后？带来带来的的不便：在不便：在“勾股定理勾股定理”一章的教学一章的教学中，因学生尚未学习开平方，故而需要精中，因学生尚未学习开平方，故而需要精心选择有关问题涉及的数据。但换个角度心选择有关问题涉及的数据。但换个角度看，如果能让学生在学习这一章时感受到看，如果能让学生在学习这一章时感受到数据需要选择，那么岂不更能激发其学习数据需要选择，那么岂不更能激发其学习无理数的欲望吗
40、？无理数的欲望吗？为何实数在勾股定理之后？运算能力与算理教学 有一种比较流行的说法：当今学生的运算有一种比较流行的说法：当今学生的运算的能力大不如从前。的能力大不如从前。这种说法所说的这种说法所说的“运算能力运算能力”实际上更多实际上更多指的是指的是“计算技能计算技能”，强调的是，强调的是“熟练程熟练程度度”。就计算技能而言，可能真的今不如昔！就计算技能而言，可能真的今不如昔！计算技术进步的一个必然结果。计算技术进步的一个必然结果。当今智能化加速了这种趋势。当今智能化加速了这种趋势。要与时俱进。要与时俱进。数学教育强调的是数学教育强调的是“运算能力运算能力”。运算能力与算理教学 课标：主要是指
41、能够根据法则和运算律正课标：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算途径解决问题。运算能力运算能力：前提：前提理解算理理解算理；结果；结果会算和算正确会算和算正确。不不过分过分强调速度强调速度，不过分，不过分强调技巧（学数学与学财会的差别）。强调技巧（学数学与学财会的差别）。运算能力与算理教学 数学运算包括算理和算法两个方面数学运算包括算理和算法两个方面：算算理理为什么这样算，算法为什么这样算，算法怎样算怎样算。教学实践中重算法，轻算理？教
42、学实践中重算法，轻算理？案例案例1 1：有理数的除法：有理数的除法运算能力与算理教学 主要内容是利用除法和乘法的关系，探索主要内容是利用除法和乘法的关系，探索有理数的除法法则有理数的除法法则1 1和和除法法则除法法则2 2。在探究法则在探究法则1 1环节，设计了三个问题，基本环节，设计了三个问题，基本没有作任何解释，放手让学生分组探究：没有作任何解释，放手让学生分组探究：（1 1）根据乘法法则计算下列算式：）根据乘法法则计算下列算式：2 2（-3-3），（），（-4-4）（-3-3），），8 89 9，2 24 4，2 2（-4-4），（），（-2-2）（-4-4）。）。运算能力与算理教学 （
43、2 2）利用除法是乘法的逆运算确定下列除）利用除法是乘法的逆运算确定下列除法算式的值：法算式的值：（-6-6）（-3-3），），1212（-4-4），），72729 9，8 84 4，（，（-8-8）（-4-4），），8 8（-4-4）。）。（3 3）结合有理数的乘法法则，观察除法算）结合有理数的乘法法则，观察除法算式商的符号及其绝对值与被除数和除数的式商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系，归纳总结出有理数的除法法则。关系，归纳总结出有理数的除法法则。运算能力与算理教学 课堂效果课堂效果：一个小组：一个小组：“除以一个数等于除以一个数等于乘以这个数的倒数乘以这个数的倒数”；另一小组；另一小组
44、 “除以一除以一个数等于乘以这个数的倒数；同号得正，个数等于乘以这个数的倒数；同号得正，异号得负；异号得负；0 0除以任何数都得除以任何数都得0”0”；还有一；还有一小组小组是是 “同号得正，异号得负同号得正，异号得负”。问题出在哪里？问题出在哪里？运算能力与算理教学 学生清楚学生清楚 “除法是乘法的逆运算除法是乘法的逆运算”的的意思意思吗？吗？（-6-6）（-3-3），这是有理数的除法，计算），这是有理数的除法，计算这个式子就是要寻求一个数这个式子就是要寻求一个数“”，使得，使得 （-3-3）=-6=-6（除数（除数商商=被除数）被除数）；因为（因为（-3-3）2=-62=-6，所以（，所以
45、（-6-6）（-3-3）=2=2运算能力与算理教学 案例案例2 2：用两种方法：用两种方法 解分式方程解分式方程132xx 为什么可以为什么可以交叉相乘交叉相乘？依据是什么？它与？依据是什么？它与常规解法有什么异同？常规解法有什么异同？运算能力与算理教学132xx 案例案例3：方差：方差运算能力与算理教学除以同一个不为0的数 恰当把握：恰当把握：解方程的依据是什么？解方程的依据是什么？运算能力与算理教学考点选择不太合适运算能力与算理教学132xx运算能力与算理教学过分强调计算速度是没有道过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因生课业负担加
46、重的主要原因。素养培养是慢功夫。数学。素养培养是慢功夫。数学学习是需要思考的，教师的学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导一项重要责任，就是要引导和启发学生学会思考、敢于和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。思考、善于思考。速度要求要适当速度要求要适当从核心素养的高度理解教材、把握教学图形与几何图形与几何领域有何教育价值？演绎证明？演绎证明？空间观念，几何直观，推理能力空间观念，几何直观，推理能力 以传统平面几何内容为例，谈推理能力的以传统平面几何内容为例，谈推理能力的设计设计人类很早就在生活和实践中认识了许多几何人类很早就在生活和实践中认识了许多几何知识。但它们知识。但它们大都是
47、粗浅的、直观的、经验大都是粗浅的、直观的、经验性的和零散的性的和零散的。以以泰勒斯泰勒斯为代表的数学家开始尝试为代表的数学家开始尝试将几何结将几何结果排成逻辑链条；排在前面的可以推导出排果排成逻辑链条；排在前面的可以推导出排在后面的，因而有了在后面的，因而有了“证明证明”的念头。的念头。毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派在此在此基础上又进行了更深入基础上又进行了更深入的研究。的研究。几何发展史有怎样的启示？柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，提出了提出了“分析分析法法与综合法与综合法”。亚里斯多德提倡演绎方法，提出的亚里斯多德提倡演绎方法，提出的“三段三段论论”对
48、几何学的发展影响巨大。对几何学的发展影响巨大。他他关注关注演绎系统的构建：演绎系统的构建：A A 为何成立？因为为何成立？因为 B B；而而B B为何成立？因为为何成立？因为 C C；因此要讲究证因此要讲究证明就必须有出发点，叫做公设明就必须有出发点，叫做公设。几何发展史有怎样的启示？柏拉图提供方法，亚里士多德供演绎架构柏拉图提供方法，亚里士多德供演绎架构，还有许多数学家累积了更多的几何知识，还有许多数学家累积了更多的几何知识。这一切都预示着，更伟大的作品将。这一切都预示着，更伟大的作品将要要出出现。现。几何发展史有怎样的启示？欧几里得欧几里得的的原本原本（the Elementsthe El
49、ements）。）。对对前人积累的大量数学成果前人积累的大量数学成果进行了整理，进行了整理，采用了前所未有的独特编写方式采用了前所未有的独特编写方式：提出提出5 5条条公设、公设、5 5条公理条公理；每一卷前面都列出本卷所每一卷前面都列出本卷所要用到的概念的定义要用到的概念的定义，共计，共计119119个定义个定义。以。以此为基础此为基础推导出所有的定理推导出所有的定理。几何发展史有怎样的启示？欧几里得欧几里得的贡献在于：的贡献在于：不仅仅作出了证明不仅仅作出了证明，更重要的是，他是在这种公理，更重要的是，他是在这种公理体系体系中作中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明出的证明。这种论证方法
50、的优越性十分明显，每一个命题都与前一个命题有着十分显，每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系，可以避免循环论证。清晰而明确的联系，可以避免循环论证。这是公理化方法的初始，在人类思想史上这是公理化方法的初始，在人类思想史上具有里程碑意义。具有里程碑意义。几何发展史有怎样的启示？原本原本的的漏洞漏洞：有些定义模糊不清，有有些定义模糊不清，有些概念根本就没有定义；而作为推理依据些概念根本就没有定义；而作为推理依据的的公设与公设与公理严重不足，因此在证明某些公理严重不足，因此在证明某些定理时，欧几里得不得不定理时，欧几里得不得不借助借助图形直观。图形直观。第第5 5公设与非欧几何的诞生公设与
