1、第三章第三章 理论分布和抽样分布理论分布和抽样分布 第一节：概率及其计算第一节：概率及其计算 概率论：研究随机现象规律性的科概率论：研究随机现象规律性的科学。学。统计学：基于实际观测结果，利用统计学：基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，解释偶然性概率论得出的规律，解释偶然性中所寄寓的必然性。中所寄寓的必然性。两者都是研究随机现象，概率论是两者都是研究随机现象，概率论是统计学的基础，统计学是概率论得统计学的基础，统计学是概率论得出规律在各领域中的实际应用。出规律在各领域中的实际应用。一、事件与概率一、事件与概率 事件是指某一事物的每一个现象，或事件是指某一事物的每一个现象，或某项试验的每一结
2、果。（试验中所发生某项试验的每一结果。（试验中所发生的现象）。的现象）。分类：分类：、必然事件：在一定条件组下，必、必然事件：在一定条件组下，必然要发生的事件。然要发生的事件。例：在标准大气压下，水加热到例：在标准大气压下，水加热到100这一组条件实现，这一组条件实现，则水沸腾是必则水沸腾是必然事件。然事件。、不可能事件：在一定条件组下，一、不可能事件：在一定条件组下，一定不能发生的事件。定不能发生的事件。例：在以上条件实现，水结冰这一事例：在以上条件实现，水结冰这一事件，就是不可能事件。件，就是不可能事件。、随机事件：在一定条件组实现下，、随机事件：在一定条件组实现下，可能发生也可能不发生的
3、事件。可能发生也可能不发生的事件。例：一粒种子播种后发芽与否。例：一粒种子播种后发芽与否。红花豌豆与白花豌豆杂交，红花豌豆与白花豌豆杂交，2是红是红花。花。概率的统计定义：概率的统计定义：假定在相似条件下，重复进行同一类假定在相似条件下，重复进行同一类试验，事件发生的次数试验，事件发生的次数a 与总试验次与总试验次数数n的比数称为频率的比数称为频率a/n，在试验总次数，在试验总次数n逐渐增大时，逐渐增大时，事件的频率愈来愈稳事件的频率愈来愈稳定地接近定值定地接近定值p，于是定义事件的概，于是定义事件的概率为率为p，并记为，并记为 P(A)=p一个总体的概率值在理论上是存在一个总体的概率值在理论
4、上是存在的，但在一般情况下，无法得到这的，但在一般情况下，无法得到这个数值，只有通过样本的频率来推个数值，只有通过样本的频率来推断总体概率。因此便以断总体概率。因此便以n在充分大时在充分大时事件的频率作为该事件概率事件的频率作为该事件概率p的近的近似值，即似值，即 (A)=p(a/n)概率的表示：概率的表示：小数小数分数分数0p(A)1 P(A)=1 时为必然事件时为必然事件 P(A)=0 时为不可能事件时为不可能事件二、事件间的关系二、事件间的关系基本事件基本事件:就是不可能再分的事就是不可能再分的事件。件。复合事件复合事件:由若干个基本事件组由若干个基本事件组合而成的事件。合而成的事件。以
5、以“事件事件”一词代表随机事件，并一词代表随机事件，并以字母以字母A,B,C.等表示，以等表示，以U表示表示必然事件，以必然事件，以V代表不可能事件。代表不可能事件。1.事件事件A与事件与事件B至少有一件发生至少有一件发生而构成的新事件称为事件而构成的新事件称为事件A与事件与事件B的的和事件和事件。记作：记作：A+B读作读作“或或A发生，或发生，或B发生发生”和事件可以推广到个事件：和事件可以推广到个事件：A+B+C+.+N表示表示N个事件至少有一个事件至少有一个发生。个发生。2.两个事件两个事件A与与B同时发生而构成的同时发生而构成的新事件称为事件新事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事
6、件。记作：记作：A.B，读作，读作“AB同时发生同时发生”积事件可以推广到多个事件的情形：积事件可以推广到多个事件的情形：A.B.C.N表示表示N个事件同时发生个事件同时发生。3.两个事件两个事件A与与B如果不能同时发生，即如果不能同时发生，即A.B=V，那么称，那么称A和和B是是互斥事件互斥事件。例：任一玉米株高例：任一玉米株高2.5m以上以上(A)任一玉米株高任一玉米株高2.0-2.5m(B)A.B:任一玉米株高既高于任一玉米株高既高于2.5m又在又在2.0-2.5m之间。之间。抛硬币：抛硬币：A：正面朝上：正面朝上B:反面朝上反面朝上 4.如果事件如果事件A与事件必发生其一，与事件必发生
7、其一，但又不可能同时发生，即：但又不可能同时发生，即：A+B=u，A.B=V，那么那么B是是A的的对立事件对立事件，可，可用表示。用表示。A 5.如果事件如果事件A1、A2.An两两互斥，两两互斥，且每次试验必发生其一，则称且每次试验必发生其一，则称A1、A2.An为为完全事件系完全事件系。例：袋中有红、黄、黑、白四种颜色的例：袋中有红、黄、黑、白四种颜色的球，每次取一个，球，每次取一个，“取到红球取到红球”、“取取到黄球到黄球”、“取到黑球取到黑球”、“取到白球取到白球”构成完全事件系。构成完全事件系。、如果事件的发生与否不影响事、如果事件的发生与否不影响事件的发生，则称其件的发生，则称其相
8、互独立相互独立。例：例：A:第一粒种子发芽第一粒种子发芽B:第二粒种子发芽第二粒种子发芽三、计算概率的法则三、计算概率的法则法则一法则一:对立事件的概率：对立事件的概率：若事件若事件A的概率为的概率为P(A)，那么其对立事，那么其对立事件的概率为件的概率为 P()=1-P(A)例：小麦播种后发芽的概率为例：小麦播种后发芽的概率为0.9，那么，不发芽的概率为那么，不发芽的概率为(1-0.9)=0.1A法则二：法则二：互斥事件概率的加法：互斥事件概率的加法：若事件若事件A与事件与事件B是互斥的，概率是互斥的，概率各为各为P(A)和和P(B)，那么，那么“A+B”事件事件的概率为的概率为 P(A+B
9、)=P(A)+P(B)法则三：独立事件概率的乘法：法则三：独立事件概率的乘法：若确定事件若确定事件A的概率时不受到事件的概率时不受到事件B的影响，反之亦然，那么，这两个的影响，反之亦然，那么，这两个事件是互相独立，称独立事件。对事件是互相独立，称独立事件。对于这类事件，同时出现这一新事件于这类事件，同时出现这一新事件的概率必为每个事件概率的积。的概率必为每个事件概率的积。P(A.B)=p(A).P(B)法则四：完全事件系的概率法则四：完全事件系的概率 若若A1,A2.An是完全事件系，是完全事件系，则这则这n个事件的概率之和为个事件的概率之和为1，即，即P(A1+A2+A3+.+An)=P(A
10、1)+P(A2)+.+P(An)=1如果如果n个事件出现的概率是相等的，个事件出现的概率是相等的，那么那么 P(Ai)=1/n第二节总体分布第二节总体分布一、二项分布一、二项分布(binomial distribution)（一）二项分布的概率函数（一）二项分布的概率函数二项总体：有非此即彼事件组成的总二项总体：有非此即彼事件组成的总体。体。二项分布：以容量二项分布：以容量n从二项总体中抽从二项总体中抽样样,共有共有n+1种可能的结果种可能的结果,每种结果都每种结果都有一个固定的概率有一个固定的概率,这种变量取值及其这种变量取值及其概率构成的分布称为二项分布概率构成的分布称为二项分布.种子发芽
11、试验：种子发芽试验：一粒种子：发芽概率一粒种子：发芽概率p、不发芽概率、不发芽概率q概率相加得概率相加得(p+q)两粒种子：两粒种子：甲乙均发芽：概率为甲乙均发芽：概率为p2 甲发乙不发：概率为甲发乙不发：概率为p(1-p)pq 乙发甲不发：乙发甲不发：qp 甲乙均不发：甲乙均不发：q2概率相加得概率相加得p2+pq+qp+q2=(p+q)2依此类推，独立地对依此类推，独立地对n粒种子进行实粒种子进行实验，一种结果出现验，一种结果出现x次的概率是：次的概率是：称为二项分布律或二项概率函数，称为二项分布律或二项概率函数，是是(p+q)n展开后含有展开后含有p(x)的一的一项这一分布律也称为贝努里
12、分项这一分布律也称为贝努里分布布其中，其中，x=0,1,2,n,为某为某事件出现次数。事件出现次数。n为样本含量为样本含量,即事件发生总数即事件发生总数.二项分布是说明结果只有两种二项分布是说明结果只有两种情况的情况的n次独立实验中发生某种次独立实验中发生某种结果为结果为x次的概率分布。次的概率分布。因为（因为（p+q），所以），所以二项分布的累积函数：二项分布的累积函数：二项分布中某结果最多发生二项分布中某结果最多发生k次的概率次的概率为发生为发生0次、次、1次、次、.、直至、直至k次的概率之和：次的概率之和：(二二)二项分布的应用条件二项分布的应用条件:(1)每次实验只有两类对立的结果每次
13、实验只有两类对立的结果;(2)n次事件相互独立；次事件相互独立；(3)每次实验某类结果的发生的概每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。率是一个常数。（三）（三）二项分布的参数二项分布的参数二项分布总体的平均数和标准差为：二项分布总体的平均数和标准差为：二项分布常表示为：二项分布常表示为：B(n,p)即：二项分布是由即：二项分布是由n和和p两个参数据两个参数据定的。定的。(四四)二项分布的形状二项分布的形状二项分布的二项分布的形状形状有如下特征：有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于二项分布图形的形状取决于P 和和n 的大小；的大小；(2)当当P=0.5时，无论时，无论n的大小，均为的大小
14、，均为对称分布；对称分布；(3)当当p0.5,n较小时为偏态分布较小时为偏态分布,n较大时较大时逼近正态分布逼近正态分布。一般来说，当一般来说，当n大于，而大于，而p或或q又不过小（例如不接近于），又不过小（例如不接近于），且且np及及nq不小于时，可将其不小于时，可将其看作正态分布看作正态分布,可用正态公式求其可用正态公式求其概率。概率。（五）二项分布的应用实例（五）二项分布的应用实例、一批种子的发芽率为、一批种子的发芽率为0.8，现每，现每穴播粒，问每穴出三棵苗的概率？穴播粒，问每穴出三棵苗的概率？平均每穴出苗几棵？平均每穴出苗几棵？本例中，每穴出苗数为随机变本例中，每穴出苗数为随机变量量
15、X，它服从，它服从B(5,0.8)，故：，故：若计算每穴出苗数低于若计算每穴出苗数低于4棵的概率，棵的概率，则计算累积概率：则计算累积概率：P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)平均每穴出苗数：平均每穴出苗数：=np=50.8=4、两个纯合亲本杂交、两个纯合亲本杂交(RRrr),F1自交，自交，F2的基因型分离比。的基因型分离比。F2中，中，R基因出现的概率基因出现的概率p=0.5，r基因出现的概率基因出现的概率q=0.5一对因子：一对因子：两对因子：两对因子：YYRRyyrrF2中显中显:显显:显显:显显:显显3、两对基因分离：、两对基因分离：bbRRBBrrF1
16、 BbRrF2 9B-R-:3B-rr:3bbR-:1bbrr问：样本容量多大时，才能以问：样本容量多大时，才能以99的概率至少得到一个的概率至少得到一个bbrr个体？个体？解：解：bbrr的概率的概率q=1/16,非非bbrr出现出现概率概率p=15/16。得到。得到bbrr的概率的概率99%,则非则非bbrr为，所以：为，所以：pn=(15/16)n=0.01n(lg15-lg16)=lg0.01n=71.4因此：要以的可能获得一个因此：要以的可能获得一个bbrr个体，样本容量只少为。个体，样本容量只少为。二、二、Poisson分布分布1.Poisson分布的概念分布的概念:二项分布二项分
17、布n很大而很大而P很小时的特殊形很小时的特殊形式。其概率函数式。其概率函数 x=0,1,2.n，其中，其中e为自然对数的底，为自然对数的底，为总体均数，为总体均数，x为事件发生的次数。为事件发生的次数。主要描述大量实验中随机稀疏主要描述大量实验中随机稀疏现象，如：单位面积内的昆虫现象，如：单位面积内的昆虫数、病斑数、植物种类、细胞数、病斑数、植物种类、细胞计数、田间杂草分布等。计数、田间杂草分布等。2.Poisson分布的应用条件分布的应用条件:(1)两类结果要相互对立；两类结果要相互对立；(2)n次试验相互独立；次试验相互独立；(3)n应很大应很大,P应很小。应很小。3.Poisson分布的
18、参数分布的参数方差与平均数相等，只有一个参方差与平均数相等，只有一个参数。数。4.Poisson分布的性质分布的性质:(1)均数与方差相等；均数与方差相等；(2)均数均数较小时呈偏态较小时呈偏态,20时近似时近似正态；正态；(3)n很大很大,p很小，很小，np=为常数时为常数时二项分布趋近于二项分布趋近于Poisson分布；分布；(4)n个独立的个独立的Poisson分布相加仍分布相加仍符合符合Poisson分布分布5、形状、形状由由决定：决定：很小时分布很偏，很小时分布很偏，增大后逐渐对称，趋近于正态分增大后逐渐对称，趋近于正态分布布 三、正态分布三、正态分布（normal distribu
19、tion）（一）正态分布的密度函数和分布函（一）正态分布的密度函数和分布函数数是连续性变数的一种理论分布。是连续性变数的一种理论分布。许多生物学产生的数据都服从正态分许多生物学产生的数据都服从正态分布。布。正态分布是生物统计学的重要基础正态分布是生物统计学的重要基础 对于平均数为对于平均数为，标准差为，标准差为的正态分的正态分布，其概率密度函数为：布，其概率密度函数为：-x 其中：其中：平均数，是曲线最高值的横坐标，平均数，是曲线最高值的横坐标，曲线以其为对称；曲线以其为对称；标准差，表示曲线展开程度，标准差，表示曲线展开程度，越越大，曲线展开度越大，数据越分散；大，曲线展开度越大，数据越分散
20、；越小，曲线展开度越小，数据越集中；越小，曲线展开度越小，数据越集中；有了有了和和，曲线形状就可以确定下来。，曲线形状就可以确定下来。，标准差为，标准差为的正态分布称的正态分布称为标准正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。以。以N(，2)表示平均表示平均数为数为，标准差为，标准差为的正态分布；以的正态分布；以N(，)表示标准正态分布。表示标准正态分布。累积分布函数：累积分布函数：（二）正态分布曲线的特性（二）正态分布曲线的特性、以、以为原点左右对称；为原点左右对称；、x=处处f(x)具有最大值，且具有最大值，且算术平均数、中数、众数合于算术平均数、
21、中数、众数合于这一点；这一点；、是一个曲线簇，由、是一个曲线簇，由和和确确定：定：确定在确定在x轴上的位置，轴上的位置，确定其变异度；确定其变异度；以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线、在、在x=1有拐点；有拐点；、x取值范围是取值范围是,，但多数集，但多数集中在中在附近，离其越远，次数越少；附近，离其越远，次数越少；且在且在 x-相等处具有相等次数。相等处具有相等次数。、曲线的总面积等于。曲线下任何、曲线的总面积等于。曲线下任何定值之间的面积等于这两个定值间面定值之间的面积等于这两个定值间面积占总面积的成数，或者说变量落入积占总面积的成数，或者说变量落入这个区间内的概率。这个区间内的概率。
22、几个常用区间与其相应的面积或概率几个常用区间与其相应的面积或概率区间面积或概率区间面积或概率 0.68272 0.95453 0.99731.960 0.95002.576 0.9900区间区间面积或概率面积或概率10.682720.954530.99731.9600.95002.5760.9900正态分正态分布布（三）标准正态分布（三）标准正态分布将将x离其平均数的差数以离其平均数的差数以为单位进为单位进行转换，于是行转换，于是:u为正态离差。可将一般方程转为为正态离差。可将一般方程转为标准正态分布方程。标准正态分布方程。概率密度函数：概率密度函数：-u(四四)正态分布区间概率的计算方法正态
23、分布区间概率的计算方法随机变量落在某区间随机变量落在某区间(a,b)内的概率，内的概率，可以从标准正态分布可以从标准正态分布累积分布累积分布函数函数表中查出。对于一般的正态分布，表中查出。对于一般的正态分布，先将其化为标准正态分布再查表先将其化为标准正态分布再查表.例：例：u=-0.82,（0.82）0.2061 u=1.15 （u）=0.8749例：随机变量例：随机变量U服从服从N(0,1)，求其落在，求其落在0,1.21间的概率：间的概率：P(0U1.21)=(1.21)(0)=0.88690.5000=0.3869落在落在-1.96和和1.96之间的概率：之间的概率：P(|U|u)=1-
24、2(-u)=1-2(-1.96)1-0.0500=0.9500正态分正态分布布例：变量例：变量X服从服从N(156.2,4.822),求：求：(1)X164;(3)152X162的概率的概率(1)(161-156.2)/4.82=1 P(X164)=1-P(X164)=P(X-164)=(-u)=(-1.62)=0.0526 (3)u1=(152-156.2)/4.82=-0.87 u2=(162-156.2)/4.82=1.2P(152P162)=(u2)-(u1)=(1.2)-(-0.87)=0.8849-0.1921=0.6928(五五)正态分布的单侧分位数正态分布的单侧分位数/临界值临
25、界值上面介绍了正态分布区间概率的计上面介绍了正态分布区间概率的计算方法。即对于给定的算方法。即对于给定的u，通过正，通过正态分布累积函数表查态分布累积函数表查Uu)=时的时的u值。值。u称称为为的上侧分位数。的上侧分位数。对于左侧尾区，满足：对于左侧尾区，满足：P(Uu/2)=时的时的u/2称为称为的双侧分位数。的双侧分位数。对于单尾表（上侧分位对于单尾表（上侧分位）：对于双尾表对于双尾表：第三节第三节 抽样分布抽样分布(sampling distribution)可从两个方向研究总体与样本的关可从两个方向研究总体与样本的关系：一是总体到样本，即由已知的总系：一是总体到样本，即由已知的总体研究
26、样本的分布规律；二是从样本体研究样本的分布规律；二是从样本到总体的方向，即由样本推断未知的到总体的方向，即由样本推断未知的总体。抽样分布是研究第一个方向的总体。抽样分布是研究第一个方向的问题问题,是统计推断的基础。是统计推断的基础。从一个总体进行随机抽样从一个总体进行随机抽样:从无限总体中可抽取无限多个随机样本。从无限总体中可抽取无限多个随机样本。从容量为从容量为N的有限总体的有限总体:样本容量为样本容量为n，有，有Nn个所有可能样本。个所有可能样本。每个样本可得一平均数：每个样本可得一平均数：，构成，构成一新的总体，平均数为新总体的变量。每一新的总体，平均数为新总体的变量。每一平均数会有差异
27、，所以平均数新总体也一平均数会有差异，所以平均数新总体也有其分布，称为平均数的抽样分布。有其分布，称为平均数的抽样分布。（一）从一个正态总体抽出的随机样（一）从一个正态总体抽出的随机样本的平均数分布本的平均数分布、总体标准差已知时的平均数分布、总体标准差已知时的平均数分布u分布分布从一个正态总体抽出的随机样本从一个正态总体抽出的随机样本,无论无论样本容量大小，其样本平均数的抽样样本容量大小，其样本平均数的抽样分布必呈正态分布分布必呈正态分布若总体不是正态分布，但具有一定若总体不是正态分布，但具有一定量的量的和和2，只要样本容量，只要样本容量n足够大足够大（一般（一般n30），从总体抽出的样），
28、从总体抽出的样本平均数也近似地服从正态分布本平均数也近似地服从正态分布N(,2/n)，称为中心极限定理。，称为中心极限定理。(1)该抽样分布的平均数与母总体的平均数该抽样分布的平均数与母总体的平均数相等相等(2)该抽样分布的方差与母总体方差间存在该抽样分布的方差与母总体方差间存在如下关系：如下关系：即：即：标准化：标准化：其中，其中，n为样本容量，为样本容量，是样本平均数是样本平均数分布的标准差，称为分布的标准差，称为标准误标准误（差），（差），可以度量抽样分布的变异可以度量抽样分布的变异 例：从例：从N3(2,4,6),以以n=1,2,4,8复置抽复置抽样样n=1n=2n=4n=8 ffff
29、2122122.0122.00122.258182.54102.5036902.751123083263.010303.002667983.2550416383.516563.5078427443.751 016381041443124.019764.001 10744284.251 01643184.516724.5078435284.75504239452105.010505.0026613305.251125885.54225.50361985.758466166166.0166.00166总和31293681324656126244均数12/3=(4)36/9=(4)324/81=(4
30、)26244/6561=(4)方差8/34/32/31/3、总体标准差未知、总体标准差未知(或虽然总体标准或虽然总体标准差已知，但总体不呈正态，且差已知，但总体不呈正态，且n较小较小)时的平均数分布时的平均数分布t分布分布总体总体2未知，可以用样本标准差代替未知，可以用样本标准差代替总体标准差，标准化变量总体标准差，标准化变量 不服从正态分布，而是服从自由度为不服从正态分布，而是服从自由度为n-1的的t分布分布 其中其中 ，为标准误。为标准误。t分布也是一组对称密度函数曲线分布也是一组对称密度函数曲线分布，它只有一个参数自由度分布，它只有一个参数自由度确定其分布。与正态曲线相比，确定其分布。与
31、正态曲线相比，t分布曲线稍微扁平，峰顶略低，分布曲线稍微扁平，峰顶略低，尾部稍高。尾部稍高。理论上，随着自由度的增大，理论上，随着自由度的增大，t 分分布趋于正态分布：布趋于正态分布：30时接近正时接近正态曲线，态曲线，时，与正态曲线合时，与正态曲线合一。一。正态分布正态分布t分布分布40。正态分布正态分布t分布分布4000.10.20.30.4123-3-2-1正态分布曲线与t分布曲线的比较 概率密度函数：概率密度函数：t分布的平均数和标准差分布的平均数和标准差：t 分布的累积函数：分布的累积函数：t分布的概率累积函数也分为一尾分布的概率累积函数也分为一尾表和两尾表，一尾表是表和两尾表，一尾
32、表是t到到的面的面积，两尾表是积，两尾表是-t到到-的面积和的面积和t到到的面积之和。的面积之和。单尾表表头上的各概率（单尾表表头上的各概率（）是）是t大于表中所列大于表中所列t值时的概率。例如值时的概率。例如从表中查出从表中查出df=9,=0.05的的t单侧单侧分位数分位数t0.05=1.8331,表示表示t1.8331 时，曲线下面积（或概率）为时，曲线下面积（或概率）为0.05 由于曲线的对称性，对于单侧分由于曲线的对称性，对于单侧分位数可以表示为：位数可以表示为：P(tt)=P(t-t)=两尾时，每一尾的面积只有给出两尾时，每一尾的面积只有给出概率的概率的1/2。例如。例如df=9,=
33、0.05的的t双侧分位数，就要查双侧分位数，就要查/2=0.025时的单侧分位数：时的单侧分位数：t0.025,9=2.2622,由于对称性，另一侧由于对称性，另一侧-t0.025,9=-2.2622即：即：t2.2622和和t2.2622（相当于（相当于|t|2.2622）两尾）两尾面积之和为面积之和为0.05。（二）样本总和数的抽样分布（二）样本总和数的抽样分布样本总和数（以样本总和数（以x表示）的抽样分布表示）的抽样分布参数与母总体间存在如下关系：参数与母总体间存在如下关系：（）抽样分布的平均数是母总体平（）抽样分布的平均数是母总体平均数的均数的n倍倍xn(2)抽样分布的方差是母总体方差
34、的抽样分布的方差是母总体方差的n倍倍x2n2（三）从两个正态总体抽出的随机（三）从两个正态总体抽出的随机样本的平均数差数的分布样本的平均数差数的分布总体总体N(，12),以以n1抽样抽样:,s1；总体总体2N(，22),以以n2抽样抽样:,s2；、标准差、标准差1、已知：已知：两者抽样相互独立，则两个独立随两者抽样相互独立，则两个独立随机抽取的样本平均数间差数机抽取的样本平均数间差数()的抽样分布参数与两个母总体间存在的抽样分布参数与两个母总体间存在如下关系：如下关系：xx21),()(2221212121nnNxx 标准化：、标准差、标准差1、未知：未知：若若1、未知，但两个总体相互独未知，
35、但两个总体相互独立而且都是正态分布，同时立而且都是正态分布，同时1=，则差数分布服从，则差数分布服从df1+df2的的t分分布布,其中其中df1=n1-1,df2=n2-1；3 3 近似近似t t分布：分布：当两个总体标准差当两个总体标准差11和和22未知，且未知，且1212，符合近似，符合近似t t检验检验因为因为1212，差数标准误需用两个样本的，差数标准误需用两个样本的S1S1、S2S2均方分别估计均方分别估计11、2222121212xxsssnn121212()()xxxxts 21221222121(1)xxxsksskk 具有自由度二、二项总体的抽样分布二、二项总体的抽样分布（一
36、）样本平均数（成数）的分布（一）样本平均数（成数）的分布从二项总体进行抽样得到样本，样本平从二项总体进行抽样得到样本，样本平均数（成数）的分布为二项分布：均数（成数）的分布为二项分布：平均数：平均数：方方 差：差：标准误：标准误：（二）样本总和数（次数）的抽样分布从二项总体进行抽样得到样本，样本总和数（次数）的分布为二项分布三、样本方差的抽样分布三、样本方差的抽样分布（一）卡方分布（一）卡方分布从方差为从方差为2的正态总体中，随机抽的正态总体中，随机抽取容量为取容量为n的样本，计算出样本方的样本，计算出样本方差差s2,将其标准化，得到一个不带任将其标准化，得到一个不带任何单位的纯数，然后讨论其
37、分布。何单位的纯数，然后讨论其分布。标准化的方法为：标准化的方法为：称为具有称为具有n-1自由度的卡方自由度的卡方,分分布是概率曲线随自由度布是概率曲线随自由度df而改变而改变的一类分布（如图），它的密度的一类分布（如图），它的密度函数为：函数为：分布的平均数和标准差为：分布的平均数和标准差为：（二）（二）F分布分布从平均数和方差为从平均数和方差为(，2)一个正态一个正态总体中独立地抽出含量分别为总体中独立地抽出含量分别为n1、n2的样本，并分别求其方差的样本，并分别求其方差s12和和s22。则：。则：F=s12/s22此此F值具有自由度值具有自由度1和和2，如果按给定的自由度如果按给定的自由
38、度1和和2进行一进行一系列的抽样，就可以得到一系列系列的抽样，就可以得到一系列值而成一个分布。分布的形状值而成一个分布。分布的形状决定于决定于1和和2,在在1=1或和或和1=2时时为反向为反向J型型,1大于等于大于等于3时转为偏时转为偏态。态。分布下一定区间的概率可以从已分布下一定区间的概率可以从已制成的统计表查出。制成的统计表查出。如：如：1 3,2 1 2 时，时，F0.05=3.49;F0.01=5.95,表示以表示以n1=4,n2=13在一个正态总体中连在一个正态总体中连续抽样，则所的续抽样，则所的F值大于值大于3.49的概的概率仅有率仅有5%，而大于，而大于5.95的概率仅有的概率仅有1%。从两个正态总体中抽样时，从两个正态总体中抽样时，F值为值为标准化的样本方差之比标准化的样本方差之比：F表专为测验表专为测验12是否显著大于是否显著大于22而而设计的，当设计的，当FF值时，应否定值时，应否定HO:12 22在方差分析体系中，在方差分析体系中，F测验可用于检测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否真测某项变异因素的效应或方差是否真实存在实存在。F测验需具备：测验需具备：1、变数、变数x服从服从N(,2);2、s12 s22彼此独立。彼此独立。不符合这些条件时，需作适当转不符合这些条件时，需作适当转换。换。
