1、 实验操作型 对应学生用书起始页码 页 题型特点 常见的形式有裁剪与拼接，折叠与对称，平移与旋转，作图 与测量等，重点考查学生的实践能力和创新意识 命题规律 在动手操作的过程中，让学生感受到数学学习的乐趣和价 值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高学生的创新意 识和综合能力，一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题， 解答题较多 对应学生用书起始页码 页 题型一 裁剪、拼接、作图 五种基本作图 基本 作图 作一条线 段等于已 知线段 作一个 角等于 已知角 作已知角 的平分线 过一点作 已知直线 的垂线 作已知线 段的垂直 平分线 图形 裁剪与拼接问题通常先给出一个图形，然后要求用直
2、线 或弧线将图形分成特殊形状或面积相等的几部分，解决这类问 题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解 例 （ 甘肃兰州， 分）如图，矩形 ， ，以点 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 ， 于 ， 两点，再分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧交 于点 ，作射线 交 于点 ，若 ，则矩形 的面积 等于 解析 由题意可知 是 的平分线， ，在 中， ，而 ， ，在中， ， ， 矩形 答案 例 （ 北京， 分）下面是小东设计的“过直线外 一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线 及直线 外一点 求作：直线 ，使得 作法：如图， 在直线 上取一点 ，作射线 ，以点 为圆心，
3、长为 半径画弧，交 的延长线于点 ； 在直线 上取一点 （不与点 重合），作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ； 作直线 所以直线 就是所求作的直线 根据小东设计的尺规作图过程， （）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （）完成下面的证明 证明： ， ， （ ）（填推理的依据） 解析 （）补全图形，如图所示： （）；三角形的中位线平行于三角形的第三边 好题精练 （ 云南昆明， 分）如图，点 在双曲线 （） 上，过点 作 轴，垂足为点 ，分别以点 和点 为圆 心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 交 轴于点 ，交 轴于点 （，），连接 ，若 ，则
4、的值为（ ） 第八章 专题拓展 答案 设 与 交于点 ，由题意知， 为线段 的 垂直平分线， ， ， 在 中， ， ， 易证 ， () ，又 ， ，故选 （ 北京， 分）已知锐角 如图， （）在射线 上取一点 ，以点 为圆心， 长为半径作 ( ，交 射线 于点 ，连接 ； （）分别以点 ， 为圆心， 长为 半径作弧，交 ( 于点 ，； （）连接 ， 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） 若 ，则 答案 由题意可知 ( ( ( ， 选项 的说法正确连接 ，则 ，又 ， 是等边三角形 ， ( ( ( ， 选项 的说法正确连接 ，由圆周角 定理可得 ， ， ， ， 选项 的说法正确
5、通过观察可知 选项 的说法错误 故选 （ 四川成都， 分）如图，在矩形 中，按以下步骤 作图：分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作 弧，两弧相交于点 和 ；作直线 交 于点 若 ，则矩形的对角线 的长为 答案 解析 如图，连接 ，由作图方法得 垂直平分 ， 在 中， 在 中， （ ） （ 四川成都， 分）如图， 的对角线 与 相交于点 ，按以下步骤作图：以点 为圆心，以任意长为半 径作弧，分别交 ， 于点 ，；以点 为圆心，以 长 为半径作弧，交 于点 ；以点 为圆心，以 长为半 径作弧，在 内部交前面的弧于点 ；过点 作射线 交 于点 若 ，则线段 的长为 答案 解析 由作图方法可得，
6、 在 中， 线段 为 的中位线， 线段 的长为 线段 长的一半，为 根据作图方法判断得出，由平行 四边形的性质以及平行线的判定定理得出线段 是 的中位线，进而求得线段 的长度 （ 广东， 分）如图，在 中，点 是 边上的点 （）请用尺规作图法，在 内，求作，使 ， 交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹） （）在（）的条件下，若 ，求 的值 解析 （）如图所示， 为所作（ 分） （） ， ， ， ， （ 分） （）利用尺规作图中的基本作图作一个角等于 已知角，作出 ；（）利用平行线分线段成比例得出 （ 江西， 分）在 中，点 在以 为直 径的半圆内请仅用无刻度的直尺 分别按下列要求画图（保留
7、画图痕迹） （）在图 中作弦 ，使 ； （）在图 中以 为边作一个 的圆周角 解析 （）如图： 线段 为所求弦 （）如图 、（以下画法供参考） 图 为所求角 图 为所求角 （ 福建， 分）已知 和点 ，如图 （）以点 为一个顶点作，使得，且 的面积等于 面积的 倍；（要求：尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹） （）设 ， 分别是 三边 ， 的中点， 分别是你所作的三边 ，的中点，求 证： 解析 （） 为所求作的三角形 （）证明： ， 分别是 三边 ， 的中点， ， ， 同理， ， ， ， ， ， 即 ， 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考 题型二 折叠与对称 图形的折叠属于全等变换，即折叠前
8、后的两个图形是全等 的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件另外，折叠还 是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质该类题型 综合性较强，但是难度不大 例 （ 新疆乌鲁木齐， 分）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是边 上 一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 若 为直角三角形，则 的长为 解析 易知 不可能为直角 当 是直角时，如图 ，易求 图 是直角， ， ， ，又 ，且易知 ， ， 由翻折可知， ， ， ， 当 是直角时，如图 ，连接 、， 第八章 专题拓展 图 由翻折可知， ， ， ， ， 又易证 ， ， ， 又 ，故可证， ， 延长 交 于 ，可得
9、（），易知 垂 直平分 ， ，在直角三角形 中，由 ， ，可求得 ， 在直角 三角形 中，（ ） ，将 ， 代 入（）可得 综上， 或 答案 或 好题精练 （ 重庆 卷， 分）如图，在 中， 是 边的中 点，连接 ，把 沿 翻折，得到，与 交于 点 ，连接 若 ，则点 到 的距离为 （ ） 答案 如图，连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 由翻折的性质可知 ， 点 、 在 的垂直平分线上， 垂直平分 ，点 是 边的中点， ，即为等边三角形， ， ， ， （ ） ， ，解得 由题意可知， 到 的距离 故选 求点 到 的距离，一般是利用等面积法， 本题中， ，其中 ， 可 以求出来，这样便可求出 的
10、长，从而再利用全等三角形对 应边上的高相等，得到 到 的距离等于 的长 （ 吉林长春， 分） 如图，有一张矩形纸片 ， ，先将矩形纸片 折叠，使边 落在边 上，点 落在点 处，折痕为 ；再将 沿 翻折， 与 相交于点 ，则 的周长为 答案 解析 第一次折叠后，可得 ，则 第二次翻折后，易得， 所 以 ，则可得 ， 在直角三 角形 中，由勾股定理可得 ，所以 的周长为 （ 江西， 分）如图，在 中，点 是 上的点， ，将 沿着 翻折得到，则 答案 解析 ， ， 是由 翻折所得的， ， ，即 （ 黑龙江齐齐哈尔， 分）折纸是同学们喜欢的手工 活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折
11、纸的过程还蕴含着丰富的数学知识 折一折：把边长为 的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ，如图；点 为 上一点，将正方 形纸片 沿直线 折叠，使点 落在 上的点 处， 展开后连接 ，如图 （一）填一填，做一做： （）图中， ；线段 ； （）图中，试判断 的形状，并给出证明； 剪一剪、折一折：将图中的 剪下来，将其沿直线 折 叠，使点 落在点 处，分别得到图、图 （二）填一填： （）图中阴影部分的周长为 ； （）图中，若，则 ； （）图中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； （）如图，点 落在边 上，若 ，则 （用含 ， 的代数式表示） 解析 （一）填一填，做一做： （）； （
12、 分） 详解：如图，由题知 ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， （） 是等边三角形（ 分） 证明：由折叠可知 ，（ 分） ， ，（ 分） ， ，（ 分） ， 是等边三角形（ 分） （二）填一填： （）（ 分） 详解：由（）可知 为等边三角形， 由折叠可知 ， 阴影部分周长 （）（ 分） 详解：由折叠知， ， ， ， ， ， ， （）（ 分） 详解：由（）知， 再加上， 共有 对相似三角形 （） （ 分） 详解： ， 可设 ，（）， 是等边三角形， （）， 由折叠可知 ， ， ， ， ， ， （） （） ， 即 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴，再根 据轴对称性得出全等三角形，同时可以得
13、到折叠前后两图形对 应边及对应角相等的关系 第八章 专题拓展 题型三 平移与旋转 以图形的平移或旋转为背景，多与相似三角形的判定和性 质结合解题时，要注意平移、旋转前后的图形全等，再利用全等 图形的对应角相等、对应边相等及对应点到旋转中心的距离相 等来解题 例 （ 福建， 分）在 中， ， 将 绕点 顺时针旋转一个角度 得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， （）若点 恰好落在边 上，如图 ，求 的大小； （）若 ， 为 的中点，如图 ，求证：四边形 是平行四边形 解析 （）在 中， 由旋转性质得， （） ， 又， （）证明：在 中， 是 的中点， ， ， 由旋转性质得 ， ， ， 延长 交 于点
14、 ，则， ， ， 四边形 是平行四边形 （） 在 中， ， ， ， 是 的中点， ， 由旋转性质得 ， ， ， 由旋转性质得 为等边三角形， ， 又 ， 四边形 是平行四边形 例 （ 天津， 分）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 （，），点（，），点 （，），以点 为中 心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， 的对应点 分别为 ， （）如图 ，当点 落在 边上时，求点 的坐标； （）如图 ，当点 落在线段 上时， 与 交于点 求证； 求点 的坐标； （）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积， 求 的取值范围（直接写出结果即可） 图 图 解析 （） 点 （，），点 （，）， ， 四边形
15、 是矩形， ， 矩形 是由矩形 旋转得到的， 在 中，有 ， 点 的坐标为（，） （）证明：由四边形 是矩形，得 又点 在线段 上，得 由（）知，又 ， 由 ，得 又在矩形 中， 设 （），则 ， 在 中，有 ， （），解得 点 的坐标为 ， () （） 提示：如图 ，当矩形顶点 在线段 上时，点 到直线 的距离最小，最小值为线段 的长， ， 图 如图 ，当矩形顶点 在 的延长线上时，点 到直线 的距离最大，最大值为线段 的长， ， 所以 图 （）根据点的坐标及旋转的性质得 ，在直角 中运用勾股定理可求 的长，从而可确定 点坐标（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定；由 知，再根据矩形的性质
16、得，从而 ，故 ，在 中，运用勾股定理可求 得 的长，得出 点的坐标（）在矩形旋转的过程中，根据点 与直线 的距离范围即可确定 的取值范围 好题精练 （ 河南， 分）如图，在 中，顶点 （，），（，）， （，）将 与正方形 组成的图形绕点 顺时针旋转 每次旋转，则第 次旋转结束时，点 的坐标为（ ） （，）（，） （，）（，） 答案 由题意得，五边形 绕点 顺时针旋转，每 次旋转 ，经过 次旋转可回到初始位置，即每 次旋转为 一个循环，即第 次旋转结束时与第 次旋 转结束时位置相同易得初始位置时点 的坐标为（，）， 又 点 旋转 次，即顺时针旋转了 后的点 与点（， ）关于原点对称，所以第 次旋转结束时，点 的坐标为 （，），故选
