1、第八章 专题拓展 数学史和数学文化 对应学生用书起始页码 页 题型特点 数学文化越来越受到数学教育家的高度关注，数学家、数学 史、数学美、数学的思想方法和应用等构成数学文化的内涵在中 考中，适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应 用，以及数学发展史的有关材料，让学生感悟数学的作用，感受 数学家治学的严谨，欣赏数学的优美，凸显数学的价值，激发学 习数学的兴趣 命题规律 让数学史料、审美、名题、游戏、故事等文化元素走进中考， 特别是对教材中的例题、定理和阅读材料等方面进行深层次的 挖掘、重构试题注重与数学的“四基”有机结合，突出理性思维 的本质内涵 对应学生用书起始页码 页 题型一 经
2、典数学故事 古代中国出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及九章 算术直指算法统宗数书九章增删算法统宗等经典数学 著作，中考中常常直接以古代数学名著中的测量、称重、计数等 经典问题考查勾股定理、方程、方程组等相关知识 例 （ 湖南邵阳， 分）程大位是我国明朝商人， 珠算发明家他 岁时完成的直指算法统宗是东方古代数学 名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中有如下 问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁 意思是：有 个和尚分 个馒头，如果大和尚 人分 个，小和尚 人分 个，正好分完，大、小和尚各有多少人下列求 解结果正确的是（ ） 大和尚 人，小和尚 人 大
3、和尚 人，小和尚 人 大和尚 人，小和尚 人 大、小和尚各 人 解析 设大和尚有 人，则小和尚有（）人， 根据题意得 ， 解得 ， 则 ， 所以，大和尚 人，小和尚 人 故选 答案 例 （ 湖南湘潭， 分）九章算 术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾 股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？” 翻译 成 数 学 问 题 是： 如 图 所 示， 中， ，求 的长，如 果设 ，则可列方程为 解析 ， 在 中， ，即 （） 故可列方程为 （） 答案 （） 好题精练 （ 甘肃兰州， 分）九章算术是中国古代数学著作之 一，书中有这样一个问题：五只雀、六
4、只燕共重一斤，雀重燕轻， 互换其中一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？ 设 一只雀的重量为 斤，一只燕的重量为 斤，则可列方程组为 （ ） 答案 根据五只雀和六只燕共重一斤，列一个等式 ，再根据四只雀加一只燕的重量等于五只燕加一只雀的重 量，列一个等式 ，故选 （ 吉林长春， 分）九章算术是中国古代重要的数学 著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人 出六，不足十六，问人数鸡价各几何？ 译文：今有人合伙买鸡， 每人出 钱，会多出 钱；每人出 钱，又差 钱问人数、买 鸡的钱各是多少？ 设人数为 ，买鸡的钱数为 ，可列方程组为 （ ） 答案 每人出 钱，则多 钱， 每人
5、出 钱，则少 钱， 故选 本题考查列方程组，解题的关键是找到题中的 等量关系 本题中的第一个等量关系： 与人数之积减去 等于买鸡钱数；第二个等量关系： 与人数之积加上 等于 买鸡钱数 九章算术其作者已不可考一般认为它是经 历代各家的增补修订而逐渐成为现今定本的，现今流传的大多 是在三国时期魏元帝景元四年（ 年），刘徽为九章所作 的注本它是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十 书中最重要的一种，成于公元一世纪左右该书内容十分丰 富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就同时，九章算术 在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先 记录了盈不足等问题，方程章还在世界数学史上首次阐述
6、了负数及其加减运算法则它是一本综合性的历史著作，是当 时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数 学形成了完整的体系 （ 湖南长沙， 分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作 数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜， 其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这 道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 里， 里， 里，问这块沙田面积有多大？ 题中的“里”是我国市制长度 单位， 里 米，则该沙田的面积为（ ） 平方千米 平方千米 平方千米 平方千米 答案 ， 该沙田的形状为直角三角形，两直角边长分别为 里和 里， 又 里 米， 里 米， 则该沙田的面积为 （
7、平方米） （平方千米）故选 （ 浙江绍兴， 分）我国明代数学读本算法统宗一书 中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子 来量竿，却比竿子短一托 如果 托为 尺，那么索长为 尺，竿子长为 尺 答案 ； 解析 设索长为 尺，竿子长为 尺， 根据题意得 ， ， 解得 ， 故索长为 尺，竿子长为 尺 题型二 对经典数学故事的再认识 中考试题常常对历史上的数学名题做适当的介绍和改编， 让学生经历数学猜想、验证、证明、解决问题的数学思考过程，享 受数学探索的乐趣如对“七巧板”“赵爽弦图”“海伦公式”等的 应用和拓展；探索“杨辉三角”“斐波那契数列”中的数字规律等 例 （ 四川泸州， 分）
8、“赵爽弦 图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是 我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼 成的一个大正方形设直角三角形较长直角边 长为 ，较短直角边长为 若 ，大正方形的面积为 ，则小 正方形的边长为（ ） 解析 由题意可知，中间小正方形的边长为 ， 每一个直角三角形的面积为 ， （） ， （） ， （舍负）， 故选 答案 例 （ 湖北宜昌， 分） 年，我国南宋数学家杨 辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现 要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中 的数字排列规律，则 ， 的值分别为（ ） ， ， 解析 根据题中
9、图形得：每个数字等于上一行其“肩上”的 两个数字之和， ， 故选 答案 好题精练 （ 浙江温州， 分）如图，在矩形 中， 为 中 点，以 为边作正方形 ，边 交 于点 ，在边 上取点 使 ，作 交 于点 ，交 于点 欧几里得在几何原本中利用该图解释了（）（） 现以点 为圆心， 为半径作圆弧交线段 于点 ，连接 ，记 的面积为 ，图中阴影部分的面积为 若点 ， ， 在同一直线上，则 的值为（ ） 答案 易得阴影部分的面积为 ， 连接 ，由题意得 ， ， ， （） ， （） （ ） （） 第八章 专题拓展 ， 在同一直线上，连接 ，易得， ，即 ， ，即 ， 故选 （ 江苏苏州， 分）“七巧板”是
10、我们祖先的一项卓越创 造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边 长为 的正方形薄板分为 块制作成的“七巧板”，图是 用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中 块图 形之一的正方形边长为 （结果保留根号） 答案 解析 如图，由题意得 是 的中点， ，所以 ，易得三角形 是等腰直角三角形，故 故所求正方形边长为 （ 湖北孝感， 分）我国古代数学家杨辉发现了如图所 示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：， ，记 ， ， ，那么 的值是 答案 解析 由 ，知 （） ， ， ， ， 则 （ 山东枣庄， 分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的 著作数书九章一书中，给出了著名
11、的秦九韶公式，也叫三斜 求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ，则该三 角形的面积为 () 现已知 的 三边长分别为 ， ，则 的面积为 答案 解析 的三边长分别为 ， ，面积公式为 () ，的 面 积 （ ） 题型三 数学在科技、生活中的应用 数学来源于生活，又高于现实生活中考常常紧密联系学生 的生活环境，充分利用学生已有的经验和知识结构，引导学生把 所学知识应用到科技、经济等生活中去如以窗花、剪纸、标志性 建筑等传统文化元素为背景，让学生认识图形，解决测量等问 题，增强人文素养；以数学游戏、数学科技活动的形式出现，趣味 性满满，引人入胜还有的中考试题，通过与其他学科相融合来体 现数学文
12、化，如科学、社会、美术、信息技术等 例 （ 浙江绍兴， 分）利用如图 所示的二维码可 以进行身份识别某校建立了一个身份识别系统，图 是某个学 生的识别图案，黑色小正方形表示 ，白色小正方形表示 将第 一行数字从左到右依次记为 ，那么可以转换为该生所在 班级序号，其序号为 如图 ，第一行数字 从左到右依次为 ，序号为 ，表 示该生为 班学生表示 班学生的识别图案是（ ） 解析 中，第一行数字从左到右依次为 ，序号为 ，故 选项不符合题意； 中，第一行 数字从左到右依次为 ，序号为 ， 选项符合题意； 中，第一行数字从左到右依次为 ， 序号为 ， 选项不符合题意； 中，第 一行数字从左到右依次为
13、，序号为 ， 选项不符合题意故选 答案 例 （ 山东菏泽， 分）一组“数值转换机”按下面 的程序计算，如果输入的数是 ，则输出的结果为 ，要使输 出的结果为 ，则输入的最小正整数是 解析 最后输出的结果是 ，由 ，解得 ，即 输入的数是 ；若前一次的结果是 ，由 ，解得 ， 即输入的数是 ；而当 时，解得 ，不是正整数，故 输入的最小正整数是 时，可按程序计算输出的结果为 答案 好题精练 （ 湖南张家界， 分）目前世界上能制造的芯片最小工 艺水平是 纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是 纳 米，已知 纳米 米，用科学记数法将 纳米表示为 米 答案 解析 纳米 米， 纳米 米 米 故答案为 （
14、 湖南常德， 分） 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的 规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实 地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他 的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 的人心 里想的数是 答案 解析 设报 的人心里想的数是 ，则报 的人心里想的数是 ，报 的人心里想的数是 ，报 的人心里想的数是 ，报 的人心里想的数是 ， 所以有 ， 解得 故答案为 （ 湖北黄石， 分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游 戏，规定：一局比赛后，胜者得 分，负者得 分，平局两人都 得 分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不 知道对方的策略 小光的策略是：石头
15、、剪子、布、石头、剪子、布、 小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机、（说明：随机指石 头、剪子、布中任意一个） 例如，某次游戏的前 局比赛中，两人当时的策略和得分情况 如下表： 局数 小光实际策略 石头 剪子布石头 剪子布石头 剪子布 小王实际策略 剪子布剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 小王得分 已知在另一次游戏中， 局比赛后，小光总得分为 分，则小 王总得分为 分 答案 解析 由二人的策略可知：每 局一循环，每个循环中第一局 小光得 分，第三局小光得 分，第五局小光得 分 （组）（局）， （）（分） 设其他二十五局中，小光胜了 局，负了 局，则平了（ ）局，根据题意得 ，
16、 、（）均非负， ， 小王的总得分（）（分） 故答案为 （ 贵州黔南州， 分）“分块计数法”： 对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的 方法 例如：图 有 个点，图 有 个点，图 有 个点，按 此规律，求图 、图 有多少个点 我们将每个图形分成完全相同的 块，每块黑点的个数相同 （如图），这样图 中黑点个数是 个；图 中黑点个数是 个；图 中黑点个数是 个所以容易求出图 、图 中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在 图上），再完成以下问题： （） 第 个点阵中有 个圆圈；第 个点阵中有 个圆圈； （）小圆圈的个数会等于 吗？ 如果会，请
17、求出是第几个 点阵 解析 题图 中黑点个数是 个；题图 中黑点个数 是 个 故答案为 ， 第八章 专题拓展 （）对点阵进行分块如图所示第 个点阵中有 个小圆圈， 第 个点阵中有 个小圆圈， 第 个点阵中有 个小圆圈， 第 个点阵中有 个小圆圈， 第 个点阵中有 个小圆圈， 第 个点阵中有 （）（）个小圆圈 故答案为 ，（） （）令 ， 即 ， （）（） ， 解得 ，（舍）， 小圆圈的个数会等于 ，它是第 个点阵 （ 内蒙古通辽， 分）如图，物理老师为同学们演示单 摆运动，单摆左右摆动中，在 的位置时俯角 ，在 的位置时俯角 若 ，点 比点 高 求： （）单摆的长度（ ）； （）从点 摆动到点
18、经过的路径长（） 解析 （）如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ，且 ， ， 设 ， 则在 中， ， 在 中， ， 由 可得 ， 解得 答：单摆的长度约为 （）由题知， 又 ， （ ） 答：从点 摆动到点 经过的路径长约为 题型四 数学的发展 说数学文化，就要讲讲数学家发现创造数学的心路历程，说 说数学的思想和方法，感悟数学的价值和作用，体会再创造的快 乐中考要重视课堂数学文化的融入，揭秘数学发展的历史进程， 重视教材中“阅读材料”的挖掘和开发，让学生受到潜移默化的 熏陶和影响 例 （ 山东临沂， 分）任何一个无限循环小数都可 以写成分数的形式，应该怎样写呢？ 我们以无限循环小数 为
19、例进行说明：设 ，由 可知， ， 所以 ，解方程，得 ，于是，得 将 写成 分数的形式是 解析 设 ，则 ， ， 解得 故 答案 好题精练 （ 湖南常德， 分）阅读理解：， 是实数，我们把符 号 称为 阶行列式，并且规定： ，例 如： （）（） 二元一次方程 组 ， 的解可以利用 阶行列式表示为 ， ， 其 中 ， ， 问题：用上面的方法解二元一次方程组 ， 时，下面说 法错误的是（ ） 方程组的解为 答案 ， 选项正确； ， 选项正确； ， 选 项不正确； ， ， 选项正确故选 （ 湖南娄底， 分）已知：表示不超过 的最大整数 例： ， 令关于 的函数 （） （ 是正整数）例：（） 则下列结
20、论 错误的是（ ） （） （） （） （）（）（） 或 答案 （） ，故选项 正确； （） （），故选项 正确； 当 时，（） ，而 （） ，故选 项 错误； 当 （ 为自然数）时，（） ，当 为其他的正整数时， （） ，所以选项 正确故选 （ 浙江绍兴， 分）在探索“尺规三等分角”这个数学名 题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形 是矩形， 是 延长线上一点， 是 上一点， 若，则 的度数是（ ） 答案 设，则 ， ，在 中， ，即 ， ，即 ，又 ， （ 湖南株洲， 分）如图所示， 若 内一点 满足 ，则点 为 的布洛卡点 三角形的布洛卡点（ ） 是 法国数学家和数学教育家克洛尔（ ，）
21、 于 年首次发 现，但他的发现并未被当时的人们所 注意， 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡 （，）重新发现，并用他的名字命名问题：已 知在等腰直角三角形 中， ，若点 为 的布洛卡点，则 （ ） 答案 如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选 （ 湖南张家界， 分）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为 ，这个数 叫做虚 数单位，把形如 （， 为实数）的数叫做复数，其中 叫这 个复数的实部， 叫做这个复数的虚部它的加、减、乘法运算与 整式的加、减、乘法运算类似 例如计算：（）（） （）（）； （）（） （） 根据以上信息，完成下列问题： （）填空： ， ； （）计算：（）（）； （）计算： 解析 （） ， （ ）（） 故答案为， （）（）（） （）
