1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 第五章 圆 5.1 圆的性质 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 圆的有关概念和垂径定理 A组 2019年全国中考题组 1.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m AB AB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x
2、m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A. 1 2 思路分析思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019江苏苏州,17,3分)如图,扇形OAB中,AOB=90.P为 上的一点,过点P作PCOA,垂足为C,PC与AB 交于点D.若PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 . AB 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 5 解析解析 连接OP,设该扇形的半径为r. AOB=90,OA=OB,
3、 OAB=45. PCOA,PCA=90. CA=CD=1. 在RtPOC中,PCO=90, OP2-OC2=PC2,即r2-(r-1)2=32. 解得r=5. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 1.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF.若AOF =40,则F的度数是 ( ) A.20 B.35 C.40 D.55 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-AOF=140, EOF=EOB= (360-140
4、)=110. OE=OF,F=OEF= (180-EOF)=35,故选B. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019吉林,5,2分)如图,在O中, 所对的圆周角ACB=50,若P为 上一点,AOP=55,则POB的度 数为 ( ) A.30 B.45 C.55 D.60 AB AB 答案答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2 ,弦BM平分ABC交AC 于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2
5、)求证:AB+BC=BM. 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC= ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH= AC= . 在RtAOH中,cosOAH= , 即 = ,AO=2. O的半径为2. (4分) 1 2 1 2 3 AH AO 3 AO 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为
6、等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC, ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM. (10分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF= DC,连接AF,CF. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=10,BC=4 ,求tanBAD的值. 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAE
7、D中,ADE=90-CAD. AB=AC, = , ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD,BDC=2CFD. BDC=BAC,且由(1)知BAC=2CAD, CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB. ACBF,BE=EF,故CA垂直平分BF, AB AC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AC=AB=AF=10. 设AE=x,则CE=10-x. 在RtABE和RtBCE中,AB2-
8、AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4 ,102-x2=(4 )2-(10-x)2,解得x=6. AE=6,CE=4,BE= =8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE, = = , DE=3,AD=3 . 过点D作DHAB,垂足为H. 55 22 ABAE AE BE DE CE AD BC 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 SABD= AB DH= BD AE,BD=BE+DE=11, 10DH=116,故DH= . 在RtADH中,AH= = , tanBAD= = . 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. 1 2 1 2 33 5 22 ADDH 6 5 DH A
9、H 11 2 评析评析 本小题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、解直角三 角形、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等基础知识,考查运算能力、推理能力,考查函数与方程 思想. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 圆内接三角形、四边形 1.(2019甘肃兰州,6,4分)如图,四边形ABCD内接于O,若A=40,则C= ( ) A.110 B.120 C.135 D.140 答案答案 D 由圆的内接四边形的性质可得A+C=180,C=180-40=140,故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内
10、接于O,连接BD,则CBD的度数是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD= =120,BC=CD,CBD= (180-120)=30,故 选A. (62) 180 6 1 2 思路分析思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 圆的有关概念和垂径定理 B组 20152018年全国中考题组 1.(2018山东威海,10,3分)如图,O的半径为5,AB为弦,点C为 的中点,若ABC=30,则弦AB的长为 ( ) A. B.5 C. D.5 AB 1 2 5
11、3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 如图,连接OA、OC,OC 交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为ABC=30,故 AOC=60,在RtAOM中,sin 60= = = ,故AM= ,则AB=2AM=5 .故选D. AM OA5 AM3 2 5 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017新疆,9,5分)如图,O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交O于点E,连接BE,CE,若 AB=8,CD=2,则BCE的面积为 ( ) A.12 B.15 C.16 D.18 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A O的半径OD垂直于
12、弦AB,AB=8, AC=BC= AB=4. 设OA=r,则OC=OD-CD=r-2, 在RtAOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2, 解得r=5,AE=10, 在RtABE中,BE= = =6, SBCE= BC BE= 46=12.故选A. 1 2 22 AEAB 22 108 1 2 1 2 方法指导方法指导 运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解.其最常用的 方法是“连接圆心和圆中弦的端点”.若弦长为l,圆心到弦的距离为d,半径为r,则根据勾股定理有 l= . 1 2 22 rd 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017内蒙古呼和浩特,7,
13、3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD=58,则O 的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D. 96 5 39 10 5 答案答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=OD=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中, (5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13. 1 2 13 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方法规律方法规律 如图,设圆的半径为r、圆的一条弦的长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2,h=r-d(或h= r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.
14、 2 2 a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 1.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50, 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 折叠
15、后刚好经过AB的中点D.若O的半 径为 ,AB=4,则BC的长是 ( ) A.2 B.3 C. D. AB BC 5 32 5 3 2 65 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交BC于点E,连接OD,OB,OC, D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD= AB=2,OB= ,OD= =1,BD=2OD=2,即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得AOC=90, DOC=90,CD= OC= ,CBD=45,BD=2,BE=ED= ,根据勾股定理得C
16、E= = 2 ,所以BC=BE+CE=3 ,故选B. 1 2 5 22 OBBD 2102 22 CDED 22 方法指导方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关 系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行求解. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017云南,14,4分)如图,B、C是A上的两点,AB的垂直平分线与A交于E、F两点,与线段AC交于D点. 若BFC=20,则DBC= ( ) A.30 B.29 C.28 D.20 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A BFC=20, BAC=2BFC=4
17、0, AB=AC, ABC=ACB= =70. EF是线段AB的垂直平分线, AD=BD, ABD=A=40, DBC=ABC-ABD=70-40=30.故选A. 18040 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度. AB BC 答案答案 29 解析解析 连接OC(图略), = ,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC= BOC=29. AB BC 1 2 思路分析思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半 即可求得BDC的度数. AB
18、 BC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2017内蒙古包头,17,3分)如图,点A、B、C为O上的三个点,BOC=2AOB,BAC=40,则ACB= . 答案答案 20 解析解析 BAC=40,BOC=80.BOC=2AOB,AOB= BOC=40,ACB= AOB=20. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图
19、2.若AB= ,DH=1,OHD= 80,求BDE的大小. 3 图1 图2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF,F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90, 又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BC=DH=1. 在RtABC中,AB= ,BC=1,tan
20、ACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD= DOC=20. BCDE,BDE=CBD=20. 3 AB BC 3 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 一题多解一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB=
21、 , CAB=30,AC=2, ADB=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x),解得x=20,即BDE=20. PC PB CD BF 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 圆内接三角形、四边形 1.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 . 答案答案 1 2 解析解析 设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为 r,内接正三角形的边心距为 r,故 r r= 1. 2
22、 2 1 2 2 2 1 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 . AD AB cos30 AD 6 3 2 33 1 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.
23、(1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分) BE EC 30 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 圆的有关概念和垂
24、径定理 C组 教师专用题组 1.(2018山东菏泽,6,3分)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是 ( ) A.64 B.58 C.32 D.26 答案答案 D 由垂径定理,得 = ,又ADC=32, BOC=2ADC=64,OBA=90-64=26. AC BC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互补, 则弦BC的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3333 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120
25、.作ODBC交BC于点D,BC=2BD. OB=OC,OBD=OCD= =30, BD=OBcos 30=2 ,BC=2BD=4 ,故选B. 180 2 BOC 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017四川阿坝州,7,4分)如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 ( ) A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm 353 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 如图,过点O作ODAB,交AB于点D,连接OA, 由折叠知OA=2OD=2 cm,OD=1 cm. AD= = = (cm), ODAB,AB=2AD=2 cm. 22
26、OAOD 22 213 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2015宁夏,13,3分)如图,在O中,CD是直径,弦ABCD,垂足为E,连接BC.若AB=2 ,BCD=30,则O 的半径为 . 2 答案答案 2 6 3 解析解析 连接OB,BCD=30,BOD=60.CD是直径,CDAB,BE= AB= ,OB= = = . 1 2 2 sin BE BOD 2 3 2 2 6 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为
27、圆心的圆.已知圆心在水面上 方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求 点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88) 图1 图2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=AD tan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.
28、64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. (10分) 1 2 cos41.3 AD 3 0.75 思路分析思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三角形,求得AO和 OD的长,从而求出点C到弦AB所在直线的距离. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 1.(2018四川凉山州,10,3分)如图,O是ABC的外接圆,已知ABO=50,则ACB的大小为 ( ) A.40 B.30 C.45 D.50 答案答案 A 因为OA=OB,所以OAB=OBA,所以AOB=180-502=80,根据
29、圆周角定理得ACB= AOB=40.所以选A. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018江苏淮安,8,3分)如图,点A、B、C、D在O上,AOC=140,点B是 的中点,则D的度数是 ( ) A.70 B.55 C.35.5 D.35 AC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 如图,连接OB.点B是 的中点, = , AOB= AOC= 140=70,D= AOB= 70=35. AC AB BC 1 2 1 2 1 2 1 2 方法总结方法总结 在圆中,见到弧的中点时,就要想到等弧、相等的圆心角、圆周角以及相等的弦. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017陕西
30、,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5 5 3 2 23 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60, OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5. PB=AB=OA=OP,四边形OABP是菱形,OBAP, AP=2AB cos 30=25cos 30=25 =5 .故选D. 3 2 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在O中, = ,点D在O上,CDB=25,则AOB= ( ) A.
31、45 B.50 C.55 D.60 AB BC 答案答案 B 连接OC,CDB=25,COB=50,又 = ,AOB=COB=50,故选B. AB BC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,O中,弦AB、CD相交于点P,A=42,APD=77,则B的大小是 ( ) A.43 B.35 C.34 D.44 答案答案 B 由三角形外角的性质可得C=APD-A=77-42=35, B与C所对的弧均为 , B=C=35.故选B. AD 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D
32、,E,DCE=40,则P的度 数为 ( ) A.140 B.70 C.60 D.40 答案答案 B DCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140,P= AOB=70.故选B. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2018甘肃武威,9,3分)如图,A过点O(0,0),C( ,0),D(0,1),点B是x轴下方A上的一点,连接BO,BD,则 OBD的度数是 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60 3 答案答案 B 连接CD,可得出OBD=OCD,根据点D(0,1),C( ,0),得OD=1,OC= ,又COD=90,由 勾股定理得出CD=2,OD= CD,OCD
33、=30,OBD=30. 33 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2019浙江温州,14,5分)如图,O分别切BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧( )上.若BAC=66, 则EPF等于 度. EDF 答案答案 57 解析解析 连接OE,OF,则四边形OEAF中,OFA=OEA=90,A=66(已知), FOE=180-66=114, P在O上,EPF= =57. 2 FOE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD 的长为 . 答案答案 2 解析解析 如图,连接O
34、C、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2.CBA=45,CDAB, CB= CD,CD= . 22 解题关键解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2017重庆A卷,15,4分)如图,BC是O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,AOB=64,则ACB= . 答案答案 32 解析解析 = ,AOB=64,ACB= AOB=32. AB AB 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2016广东,16,4分)如图,点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点,且不与四边形顶点重合.若AD是O
35、 的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= . 答案答案 a 13 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 如图,连接OB、OC, AB=BC=CD, = = . 又AD是O的直径, AOB=BOC=COD=60, CPB=APB=30, AE= PA= a,APC=60, RtAPF中,AF=APsin 60= a, AE+AF= a. AB BC CD 1 2 1 2 3 2 13 2 评析评析 本题主要考查圆的有关性质与锐角三角函数. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 12.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是O的直
36、径,C,D是O上的两点,若BCD=28,则ABD= . 答案答案 62 解析解析 AB是O的直径,ACB=90. BCD=28, ACD=90-28=62, ABD=ACD=62. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 13.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在O上,CO的延长线交AB于点D,A=50,B=30,则ADC的度 数为 . 答案答案 110 解析解析 在O中,BOC=2A=250=100,所以DOB=180-BOC=180-100=80, 所以ADC=B+DOB=30+80=110. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 14.(2019天津,18,3分)如图,在每个小正方形的
37、边长均为1的网格中,ABC的顶点A在格点上,B是小正方形边 的中点,ABC=50,BAC=30,经过点A,B的圆的圆心在边AC上. (1)线段AB的长等于 ; (2)请用 的直尺,在如图所示的网格中,画出一个点P,使其满足PAC=PBC=PCB,并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明) . 无刻度 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 (1) (2)如图,取圆与网格线的交点E、F,连接EF,与AC相交,得圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长,交 O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P,连接AP,则点P满足PAC=PBC=PCB 17 2 栏目引栏目引 栏
38、目索引栏目索引 解析解析 (1)根据勾股定理得AB= = . (2)取圆与网格线的交点E、F,连接EF与AC相交,根据90度的圆周角所对的弦是直径,可得EF与AC的交点为 圆心O;AB与网格线相交于点D,连接DO并延长交O于点Q,连接QC并延长,与点B,O的连线BO相交于点P, 连接AP. 由图形可知点D为AB的中点,ODAB, OA=OB,BAC=30, BAC=ABO=30,AOD=BOD=60, BOC=60, ABC=50,CBP=20, AOD=COQ=60,BOC=COQ. OB=OQ,OC=OC,COQCOB, Q=CBO=20, 2 2 1 2 2 17 2 栏目引栏目引 栏目
39、索引栏目索引 AOP=POQ=120,且OA=OQ,OP=OP, POQPOA,Q=CAP=20, ABC=50,BAC=30,ACB=100, ACP=Q+COQ=20+60=80, PCB=ACB-ACP=100-80=20, PAC=PBC=PCB=20,点P符合条件. 难点突破难点突破 点P位置的确定需要学生清楚BAC=30,经过点A、B的圆的圆心在边AC上,进而确定圆心位 置,利用圆的对称性把PAC转化到Q,最后只要求PCB=20,便可把所求问题进行有效转化,显然射线 QC与线段OB的交点即为所求的点P. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 15.(2019云南,23,12分)如图,AB
40、是C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是C上的点,且DE2=DB DA.延 长AE至F,使AE=EF,设BF=10,cosBED= . (1)求证:DEBDAE; (2)求DA,DE的长; (3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长. 4 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:DE2=DB DA, = . (1分) 又BDE=EDA, DEBDAE. (3分) (2)AB是C的直径,E是C上的点, AEB=90,即BEAF. 又AE=EF,BF=10, AB=BF=10. DEBDAE, EAD=BED,cosBED= , cosEAD=cosBED= . DE
41、 DA DB DE 4 5 4 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 在RtABE中,由AB=10,cosEAD= , 得AE=ABcosEAD=8, BE= =6. (5分) DEBDAE, = = = = . DB=DA-AB=DA-10, 解得 经检验, 是 的解. 4 5 22 ABAE DE DA DB DE EB AE 6 8 3 4 3 , 4 103 , 4 DE DA DA DE 160 , 7 120 . 7 DA DE 160 , 7 120 7 DA DE 3 , 4 103 4 DE DA DA DE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (8分) (3)连接FM. BEAF
42、,即BEF=90, BF是B、E、F三点确定的圆的直径. 点F在B、E、M三点确定的圆上,即F、E、B、M四点在同一个圆上, 点M在以BF为直径的圆上. FMAB. (10分) 在RtAMF中,由cosFAM= , 得AM=AFcosFAM=2AEcosEAB=28 = . (11分) MD=DA-AM= - = . 160 , 7 120 . 7 DA DE AM AF 4 5 64 5 160 7 64 5 352 35 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 MD= . (12分) 352 35 思路分析思路分析 (1)将DE2=DB DA转化为比例式 = ,又由BDE=EDA,即可证明DEBD
43、AE. (2)由直径所对的圆周角为90得出BEAF,由AE=EF,BF=10得出AB=BF=10,由DEBDAE得出BED =EAD,所以cosBED=cosEAD= ,即可求出AE,BE的长度,再利用 = = ,即可求出DA,DE的长. (3)连接FM,易得BEF=90,可得点F,E,B,M四点共圆,则点M在以BF为直径的圆上,FMAB,在RtAMF 中,利用锐角三角函数值求出AM的值,则MD=AD-AM. DE DA DB DE 4 5 BE AE DE DA BD DE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 16.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD 于BC,过点C作CEAD交ABC 的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 不平行 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 证明证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180, D+DAE=180,AEDC, 四边形AECD是平行四边形. (5分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 四边形AECD是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,CO平分BCE. (10分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 17.(
