1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 图形的轴对称 A组 2019年全国中考题组 1.(2019湖北武汉,4,3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是 轴对称图形的是( ) 诚 信 友 善 A B C D 答案答案 D 选项A、B、C中的图形都不是轴对称图形,选项D中的图形是轴对称图形.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019内蒙古呼和浩特,2,3分)甲骨文是我国的一种古代文字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的 甲骨文,其中不是轴对称图
2、形的是 ( ) 答案答案 B 根据四个字的甲骨文的特点,“比”字的甲骨文不是轴对称图形,故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019吉林,12,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=10,BDAD.若将BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E恰 好重合,则四边形BCDE的周长为 . 答案答案 20 解析解析 根据折叠的性质和E为AB的中点可知,BC=BE=5,CD=DE.BDAD,CD=DE=5.四边形BCDE的 周长为20. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要发现四边形BCDE是菱形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长
3、为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在 AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 49 13 解析解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形ABCD 是正方形,AD=AB,BAF=D=90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理得AE=13. 设AE与BF交于点H,易知AFHAED, = ,即 = ,AH= ,AG=2AH= ,GE=AE-AG = . AH AD AF AE12 AH5 13 60 13 120 13
4、 49 13 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后根据 两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH= ,最后得出GE的长. 60 13 解题关键解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019山西,22,11分)动手操作: 第一步:如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平.再沿过点C的直线折叠,使点B,点D 都落在对角线AC上.此时,点B与点D重合,记为点N,且点E,点N,点F三点在
5、同一条直线上,折痕分别为CE,CF, 如图2. 第二步:再沿AC所在的直线折叠,ACE与ACF重合,得到图3. 第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C与点F重合,如图4,展开铺平,连接EF,FG,GM,ME,如图5.图中的虚线 为折痕. 问题解决: (1)在图5中,BEC的度数是 , 的值是 ; (2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写出这 个菱形: . AE BE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)67.5; . (4分) (2)四
6、边形EMGF是矩形. (5分) 理由如下:四边形ABCD是正方形, B=BCD=D=90. 由折叠可知,1=2=3=4,CM=CG, BEC=NEC=NFC=DFC, 1=2=3=4= =22.5. BEC=NEC=NFC=DFC=67.5. 由折叠可知,MH,GH分别垂直平分EC,FC, MC=ME,GC=GF. 5=1=22.5,6=4=22.5, MEF=GFE=90. (7分) 2 90 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 MCG=90,CM=CG, CMG=45. 又BME=1+5=45, EMG=180-CMG-BME=90. (8分) 四边形EMGF是矩形. (9分) (3)答案
7、不唯一,画出正确图形(一个即可). (10分) 菱形FGCH(或菱形EMCH). (11分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)根据题意易得三角形AEF为等腰直角三角形,求出AEF=45,进而得出BEC的度数,根据 45度角的三角函数值易得 = ;(2)根据折叠的性质得出MEF=GFE=90,进而判断EMG=180- CMG-BME=90,得出四边形EMGF是矩形;(3)根据菱形的定义易得菱形FGCH或菱形EMCH. AE BE 2 解后反思解后反思 折叠的性质:位于折痕两侧的图形关于折痕对称;折叠前后的两部分图形全等,对应边、 角、线段、周长、面积等均相等;折叠之后,对
8、应点的连线被折痕垂直平分. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 图形的平移 (2019安徽,16,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的1212网格中,给出了以格点(网格线的交 点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD; (2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)如图,线段CD即为所求作. (4分) (2)如图,菱形CDEF即为所求作(答案不唯一). (8分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 图形的旋转 1.(2019
9、辽宁大连,6,3分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形 答案答案 C 根据轴对称图形的定义可得等腰三角形、等边三角形、菱形是轴对称图形,根据中心对称图形 的定义可得菱形、平行四边形是中心对称图形,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的只有菱形.故 选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019甘肃兰州,4,4分)剪纸是中国特有的民间艺术,在如图所示的四个剪纸图案中,既是轴对称图形又是 中心对称图形的是( ) 答案答案 C A、B既不是轴对称图形也不是中心对称图形;C既是轴对称图形也是中心对称图形;D是轴对称
10、 图形但不是中心对称图形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019湖北武汉,16,3分)问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于点P,可推 出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在MNG中,MN=6,M=75,MG=4 .点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点的 距离和的最小值是 . 图1 图2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 2 29 解析解析 连接MO、NO、GO,将MOG绕点M逆时针旋转60得到MOG,连接OO,NG,易得MOO为等边 三角形,OM=OO,则当N,O,O,G四点共线时,NO+MO+GO取到最小值,且最小值为
11、NG的长度.过点G作GA MN,垂足为A,可得AMG=45.MA=GA=4.NA=10.由勾股定理可得NG=2 . 29 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F, 则CF的长为 cm. 答案答案 (10-2 ) 6 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15, AED=45,
12、 AFD=AED+CAE=60, 在RtADG中,AG=DG= =3 , 在RtAFG中,GF= = ,AF=2FG=2 , CF=AC-AF=10-2 .故CF的长为(10-2 )cm. 2 AD 2 3 AG 66 66 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 方法指导方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法构 造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 图形的轴对称 B组 20152018年全国中考题组 1.(2018重庆A卷,2,4分)下列图形中一定是轴对称图形的是 ( ) 答案答案 D 根据轴对称
13、图形的概念可得矩形一定是轴对称图形.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018天津,10,3分)如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为 BD,则下列结论一定正确的是 ( ) A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB 答案答案 D 由折叠的性质知,BC=BE,AE+CB=AB.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018吉林,5,2分)如图,将ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,折痕为MN.若AB=9,BC=6,则DNB的周长 为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案答案 A
14、 由折叠性质可得AN=DN,DN+NB=AN+NB=AB=9.D为BC的中点,DB=3,DNB的周长为 12. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017江西,3,3分)下列图形中,是轴对称图形的是 ( ) 答案答案 C 根据轴对称图形的概念可得选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形,只有选项C中的图形是 轴对称图形,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是ABC这个图形进行了一次 变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 ( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案答案 A
15、根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与ABC的对应点所连的线段被一条直线(对称 轴)垂直平分,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2016吉林,14,3分)在三角形纸片ABC中,C=90,B=30,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点.将此三角 形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a,则DEF的周长为 (用含a的式子表示). 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 3a 解析解析 易知FDC=C=90,FDB=90. B=30,在RtBDF中,BFD=60. EDB=B=30,DEF=60. DEF是等边三角形. DEF的周长是3a. 评析评析 本题考查折叠的性质,等边
16、三角形的判定和性质,属容易题. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 图形的平移 (2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图 形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方 形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移后的两个正 方形组成轴对称图形.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目
17、索引 考点三 图形的旋转 1.(2018云南,11,4分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( ) A.三角形 B.菱形 C.角 D.平行四边形 答案答案 B 三角形不一定是轴对称图形,且不是中心对称图形;菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形;角 是轴对称图形,但不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018山西,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=6,将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到 ABC,此时点A恰好在AB边上,则点B与点B之间的距离为 ( ) A.12 B.6 C.6 D
18、.6 23 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 如图,连接BB,由旋转可知AC=AC,BC=BC,A=60, ACA为等边三角形,ACA=60, BCB=ACA=60,BCB为等边三角形. 在RtABC中,A=60,AC=6,则BC=6 . BB=BC=6 ,故选D. 3 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2017黑龙江哈尔滨,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 选项A、B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形; 选项C中的图形是中心对称图形,不是轴对称图形; 选项D中的图形既是轴对称图形又是中心对称
19、图形,故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018福建,21,8分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转 90得到,EFG由ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D. (1)求BDF的大小; (2)求CG的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到, DAB=90,AD=AB=10. ABD=45. EFG由ABC沿CB方向平移得到, ABEF, BDF=ABD=45. (2)由平移的性质可得AECG,ABEF,且AE=CG. DEA=DFC=ABC,ADE+DA
20、B=180, DAB=90,ADE=90, ACB=90, ADE=ACB, ADEACB, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 = , AC=8,AB=AD=10, AE= , CG=AE= . AD AC AE AB 25 2 25 2 解后反思解后反思 本题考查图形的平移与旋转、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角 形、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查运算能力、推理能力、数形结合思想、化归与转化思想. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2018四川成都,27,10分)在RtABC中,ACB=90,AB= ,AC=2,过点B作直线mAC,将ABC绕点C顺 时针旋转得到
21、ABC(点A,B的对应点分别为A,B),射线CA,CB分别交直线m于点P,Q. (1)如图1,当P与A重合时,求ACA的度数; (2)如图2,设AB与BC的交点为M,当M为AB的中点时,求线段PQ的长; (3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA,CB的延长线上时,试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值.若存 在,求出四边形PABQ的最小面积;若不存在,请说明理由. 7 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由旋转的性质得AC=AC=2, ACB=90,AB= ,AC=2, BC= = , ACB=90,mAC, ABC=90, cosACB= = , ACB=30, ACA=60.
22、 (2)M为AB的中点,ACB=90, MA=MB=MC, ACM=MAC, 由旋转的性质得MAC=A, 7 22 ABAC3 BC A C 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 A=ACM, tanPCB=tanA= , PB= BC= , tanBQC=tanPCB= , BQ=BC = =2, PQ=PB+BQ= . (3)S四边形PABQ=SPCQ-SACB=SPCQ- , S四边形PABQ最小即SPCQ最小, SPCQ= PQBC= PQ. 取PQ的中点G,连接CG. 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 7 2 3 1 2 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 P
23、CQ=90, CG= PQ. 当CG最小时,PQ最小, CGPQ,即CG与CB重合时,CG最小, CGmin= ,则PQmin=2 , (SPCQ)min=3,(S四边形PABQ)min=3- . 1 2 33 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 图形的轴对称 C组 教师专用题组 1.(2019天津,4,3分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 ( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念可得选项B、C、D都不是轴对称图形,“美”可以看作轴对称图形.故选 A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019北京,2,2分)下列倡导节约的图案中,
24、是轴对称图形的是( ) 答案答案 C 选项A、B、D不是轴对称图形,选项C是轴对称图形.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018河北,3,3分)图中由“ ”和“ ”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线 ( ) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 答案答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,由此 知该图形的对称轴是直线l3,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2017四川绵阳,2,3分)下列图案中,属于轴对称图形的是 ( ) 答案答案 A A选项中的图形是轴对称图形,共有5条对称轴;B、D选项中的图形既不是轴对称图
25、形,也不是中 心对称图形;C选项中的图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019浙江杭州,16,4分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B 和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A点,D点的对称点为D点.若FPG=90,AEP的面积为4, DPH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于 . 答案答案 10+6 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 由题意可知AEPF,AEP=DPH. 由折叠的性质知A=A=90,D=D=90, A=D,AEPDPH. = = . AB=CD,AB=
26、AP,CD=PD,AP=PD. SAEPSDPH=41, =2,即AE=2DP. SAEP= AP AE= DP 2DP=4, 解得DP=2(负值舍去), AP=DP=2, AE=AE=4,EP= =2 ,PH= EP= , A E D P A P D H PE PH A E D P 1 2 1 2 22 A EA P5 1 2 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 DH=DH= AP=1. AD=AE+EP+PH+DH=5+3 , AB=AP=2, S矩形ABCD=AB AD=10+6 . 1 2 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,
27、AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠, 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形, BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图. 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, 3 5 3 5 5 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 = . 在RtADB中,由勾股定理得BD
28、= = , = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 . EC EB B D AB 22 B AAD 2 1 a 2 3 2 1 a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019山东潍坊,16,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=2.将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,
29、折痕为DE.若将 B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB= . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 3 解析解析 在矩形ABCD中,AD=2,A=B=90.由翻折性质得AE=AE,1=2,2=3,1+2+3=180, 1=2=3=60.在RtAED中,AE= = = ,AE= ,在RtAEB中,EB=AE cos3= cos 60= ,AB=AE+BE= . tan1 AD 2 tan60 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2019山东青岛,13,3分)如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落
30、在线段AE上 的点G处,折痕为AF,若AD=4 cm,则CF的长为 cm. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 6-2 5 解析解析 设BF=x cm,则FG=x cm,CF=(4-x)cm. 在RtADE中,利用勾股定理可得AE= =2 . 根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=2 -4. 在RtFCE中,利用勾股定理可得EF2=(4-x)2+22, 在RtGEF中,利用勾股定理可得EF2=(2 -4)2+x2, 则(2 -4)2+x2=(4-x)2+22, 解得x=2 -2. 则CF=4-x=(6-2 )cm. 22 ADDE5 5 5 5 5 5 疑难突破疑难突破 折叠问题主
31、要是抓住折叠的不变量,包括线段相等、角相等,在直角三角形中利用勾股定理求 解,有时也利用三角函数或相似把边与边联系起来. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019广东广州,24,14分)如图,等边ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一动点(不与点C重合), CDE关于DE对称的图形为FDE. (1)当点F在AC上时,求证:DFAB; (2)设ACD的面积为S1,ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在, 请说明理由; (3)当B,F,E三点共线时,求AE的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AB
32、C是等边三角形, A=B=C=60, 由CDE关于DE对称的图形为FDE可知DF=DC,又点F在AC上, DFC=C=60, DFC=A,DFAB. (2)存在. 如图,过点D作DMAB,交AB于点M, BC=AB=6,BD=4,CD=2,DF=2, 点F在以D为圆心,DF为半径的圆上, 当点F在DM上时,S2最小, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BD=4,DMAB,ABC=60,MD=2 , S2的最小值= 6(2 -2)=6 -6, S1= 23 =3 , S最大值=3 -(6 -6)=6-3 . 3 1 2 33 1 2 33 333 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BD2=BG2+D
33、G2,16=BG2+3, BG= , EHBC,C=60,CH= ,EH= EC, GBD=EBH,BGD=BHE=90, BGDBHE, = , = , EC= -1,AE=AC-EC=7- . 13 2 EC3 2 DG BG EH BH 3 13 3 2 6 2 EC EC 1313 (3)如图,过点D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H, CDE关于DE的轴对称图形为FDE, DF=DC=2,EFD=C=60, GDEF,FG=1,DG= , 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 (1)由对称的性质和等边三角形的性质可得DFC=A,可证DFAB. (2)过点D作DM
34、AB,交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,由ACD的面积S1的值是 定值,可得当点F在DM上时,SABF最小,S最大. (3)过点D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明BGDBHE,可 求EC的长,即可求AE的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 图形的平移 (2015福建龙岩,22,12分)下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形 所得,该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形. (1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长; (2)如图甲,把六边形ABCDEF沿EH,BG剪成三
35、部分,请在图甲中画出将与拼成的正方形,然后 标出变动后的位置,并指出属于旋转、平移和轴对称中的哪一种图形变换; 图甲 图乙 (3)在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线,并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)由剪拼前后面积相等可知,拼成的正方形的边长= =4 . (3分) (2)如图. 都是平移变换. (8分) (3)如图(答案不唯一). 22 622 (12分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点三 图形的旋转 1.(2019江苏苏州,9,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16.将ABO沿点A到点C的
36、方 向平移,得到ABO.当点A与点C重合时,点A与点B之间的距离为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 由菱形及平移的性质得AO=OC=CO=2,BO=OD=BO=8, AOB=AOB=90, AOB为直角三角形. AB= = =10,即点A与点B之间的距离为10.故选C. 22 AOB O 22 68 解后反思解后反思 本题考查了菱形的对角线互相垂直平分及图形平移的性质,可通过构造直角三角形,运用勾股 定理求得AB的长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019广东,5,3分)下列四个银行标志中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是
37、 ( ) 答案答案 C A选项是轴对称图形,但不是中心对称图形;B选项是轴对称图形,但不是中心对称图形; C选项既是轴对称图形,又是中心对称图形;D选项是轴对称图形,但不是中心对称图形.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019福建,3,4分)下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形 答案答案 D A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;B中的图形不一定是轴对称图形,不是中心对称 图形;C中的图形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019吉林,4,
38、2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少 为 ( ) A.30 B.90 C.120 D.180 答案答案 C 图形中有三个箭头,所以与自身重合的旋转角度至少为3603=120.故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,2,3分)下面四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 答案答案 D A和B中图形均是中心对称图形,不是轴对称图形.C中图形是轴对称图形,不是中心对称图形.D 中图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019云南,7,4分)下列图形既是轴对称图形
39、,又是中心对称图形的是 ( ) 答案答案 B A,C,D三个选项中的图形均是轴对称图形,不是中心对称图形,B选项中的图形既是轴对称图形, 又是中心对称图形.故选B. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2019天津,11,3分)如图,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的 对应点为E,连接BE,下列结论一定正确的是 ( ) A.AC=AD B.ABEB C.BC=DE D.A=EBC 答案答案 D 由旋转的性质可知,AC=CD,但AC不一定等于AD,选项A不符合题意.由旋转的性质可知,BC= EC,但BC不一定等于DE,选项C不符合题意.根据旋转的性质可
40、得,ACD=ECB,AC=CD,BC=CE,A= CDA= (180-ACD),EBC=CEB= (180-ECB),A=EBC,选项D符合题意.根据题意无法得 到ABE=90,B选项不符合题意.故选D. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 8.(2018天津,4,3分)下列图形中,可以看作中心对称图形的是 ( ) 答案答案 A 在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个 图形叫做中心对称图形,选项A中的图形符合中心对称图形的定义,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019广东广州,14,3分)一副三角板如图放置,将三角板A
41、DE绕点A逆时针旋转(00,则DH=a,AH=4-a. 在RtADH中,由勾股定理得AD2+DH2=AH2,即a2+32=(4-a)2,解得a= ,AH=4- = ,H . 54 25 72 25 54 72 , 25 25 , , , BEDDAB DBEADB DEAB 7 8 7 8 25 8 25 3, 8 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 (3)=60或300. 详解:分两种情况: 当F在AB的右侧时,如图2,过F作FMAB于M, 图2 FB=FA,AM=BM= AB= AF,AFM=30, MAF=60,即=60时,FA=FB. 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 当F在
42、AB的左侧时,如图3,过F作FMAB于M,同理得FAM=60, 图3 此时=360-60=300.综上,为60或300时,FB=FA. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 1.(2019湖北十堰丹江口3月模拟,24)如图,在等腰RtABC中,BAC=90,点E在AC上(点E不与点A、C重 合),在ABC的外部作等腰RtCED,使CED=90,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接 AF. (1)请直接写出线段AF,AE的数量关系; (2)(i)将CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证 明你的结论; (ii)如图,若AB
43、=2 ,CE=2,在图的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转的过程中,当平行四边形 ABFD为菱形时,直接写出线段AE的长度. 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)AF= AE. 详解:四边形ABFD是平行四边形,AB=DF, AB=AC,AC=DF,DE=EC,AE=EF. DEC=AEF=90,AEF是等腰直角三角形, AF= AE. (2)(i)结论:AF= AE. 证明:如图,连接EF,设DF交BC于K. 四边形ABFD是平行四边形,ABDF, DKE=ABC=45,EKF=180-DKE=135, 又DEKE,EK=ED. 2 2 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 A
44、DE=180-EDC=180-45=135,EKF=ADE. DKC=C,DK=DC,DF=AB=AC,DF-DK=AC-DC,KF=AD. 在EKF和EDA中, EKFEDA, EF=EA,KEF=AED, 又BED=90,FEA=BED=90, AEF是等腰直角三角形,AF= AE. (ii)AE=4 或2 . 详解:如图1,当AD=AC时,四边形ABFD是菱形,设AE交CD于H,易知AEDC,则EH=DH=CH= ,AH= =3 ,AE=AH+EH=4 . , , , EKED EKFADE KFAD 2 22 2 22 (2 5)( 2)22 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 图1 如图
45、2,当AD=AC时,四边形ABFD是菱形,同上易知AHDC,则AE=AH-EH=3 - =2 . 222 图2 综上所述,线段AE的长为4 或2 . 22 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,24)旋转是图形变化的方法之一,借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、 取值范围、判断三角形形状等问题,在实际生活中也有着十分重要的地位和作用. 问题背景: 一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时,我们可以用所学的知识帮助工 人师傅在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长. 数学建模: 如图1,等边三角形ABC内有一点P,已知PA=2 ,PB=4,PC=2 . 问题解决: (1)如图2,将ABP绕点B顺时针旋转60得到CBP,连接PP,易证BPP= , 为等边三 角形, =90,BPA= ; (2)在图2中,点H为直线BP上的一个动点,则CH的最小值为 ; (3)求AB的长; 37 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 拓展延伸: 已知:点P在正方形ABCD内,点Q在平面内,BP=BQ=1,BPBQ. (4)在
