1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学第四章 不定积分 高等数学（上）高等数学（上）河海大学理学院高等数学第一节第一节 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 定义定义 1 如果在区间如果在区间I 内，可导函数内，可导函数 的导函数为的导函数为 ，即对，即对 ，都有，都有 )(xF)(xfIx )()(xfxF 或或dxxfxdF)()(则就称则就称 为为 在区间在区间 I 上的上的原函数原函数.)(xF)(xf例如例如 ，故，故 )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间),0(内内的的原原函函数数.河海大学理学院高等数学问
2、题问题1：原函数的存在性问题：原函数的存在性问题:原函数原函数)(xF函数函数)(xf求导求导是否存在是否存在定理定理1(原函数存在定理原函数存在定理)定义在区间定义在区间 I 上的上的连续函数连续函数 在在 I 上一定有原函数上一定有原函数.)(xf即：连续函数必有原函数即：连续函数必有原函数.问题问题2：原函数的惟一性问题：原函数的惟一性问题:河海大学理学院高等数学定理定理2 如果函数如果函数 在区间在区间I上的原函数存在上的原函数存在,则它的任意两个不同的原函数只则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数相差一个常数.若若 为为 的原函数，则的原函数，则 的所有的所有原函数的集合为：原函数
3、的集合为：)(xF)(xf)(xf CCxF)()(xf证证 若若 和和 都是都是 的原函数的原函数,)(xF)(xG)(xf )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C河海大学理学院高等数学 定义定义2 若若 为为 在区间在区间 I 上的原函数，上的原函数，则称则称 )(xF)(xfCxF)(（为任意常数）为任意常数）C为为 在在 I 上的上的不定积分不定积分，记为，记为)(xf CxFdxxf)()(积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式 称为积分变量称为积分变量x河海大学理学院高等数学例例1 求求 .dxx 5解解,65
4、6xx Cxdxx 665例例2 求求 .dxx211解解 211arctanxx Cxdxxarctan112河海大学理学院高等数学例例3 设曲线通过点设曲线通过点（1，2），且其上任一，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程求此曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为 ，)(xfy 根据题意知根据题意知xxf2)(由曲线通过点由曲线通过点（1，2），故有，故有 .1 C因而，所求曲线方程为因而，所求曲线方程为12 xy Cxxdxxf22)(所以所以河海大学理学院高等数学函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的
5、积积分分曲曲线线.xxf2)(河海大学理学院高等数学(2)由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(CxFxdF)()(结论结论 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.dxedxdx2dxedxdx)(2dxedx2河海大学理学院高等数学(1)kdxCkx (2)dxx Cx 111 (3)xdxCx ln二、基本积分表(5)Caadxaxx lnCedxexx )4(河海大学理学院高等数学 xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;
6、tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx 河海大学理学院高等数学(12)21xdxCx arcsinCx arccos或(13)21xdxCx arctanCxarc cot或或河海大学理学院高等数学例例4 求积分求积分 .dxxx 2解解dxxx 2dxx 25Cx 125125Cx 2772河海大学理学院高等数学三、不定积分的性质 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到
7、有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）河海大学理学院高等数学 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k注注:(1):(1)求积分是利用积分表和积分性质求积分是利用积分表和积分性质来试来试,要变形要变形,技巧大技巧大.设法变形为积分表中函数的线性组合形式设法变形为积分表中函数的线性组合形式,以求出积分的方法称为以求出积分的方法称为直接积分法直接积分法.(2)不是所有函数都肯定能积分出来不是所有函数都肯定能积分出来.初等函数初等函数初等函数初等函数 )(?初等函数初等函数河海大学理学院高等数学例例5 求积分求积分 .dxxx)1213(22 解解dx
8、xx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 河海大学理学院高等数学例例6 求积分求积分 .dxxxxx )1(122解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112Cxx lnarctan河海大学理学院高等数学例例7 求积分求积分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx2cos121Cx tan21dxx 2sec21河海大学理学院高等数学一一、求求下下列列不不定定积积分分：1 1、dxxx221 2 2、dxxxx42532 课堂练习课堂练习3 3、dxx2cos2 4 4、dxxxx22sincos2cos 5 5、dxxxx)11(2 6 6、xdxxxx2222sec1sin .)1(21222dxxxx .124dxxx
