1、 第三章第三章 函数的应用函数的应用3.2 3.2 函数模型及其应用函数模型及其应用feixuejiaoyufeixuejiaoyu 3.2.1 3.2.1 几类不同增长的函数模型（几类不同增长的函数模型（1 1）feixuejiaoyufeixuejiaoyu一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a0）feixuejiaoyufeixuejiaoyu 例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天
2、回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？feixuejiaoyufeixuejiaoyu问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？feixuejiaoyufeixuejiaoyu分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选
3、择投资方案提供依据.feixuejiaoyufeixuejiaoyu解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y=0.42x-1(xN*)进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.feixuejiaoyufeixuejiaoyu 我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。x x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元增
4、加量增加量/元元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.40.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.2feixuejiaoyufeixuejiaoyux/x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/y/元元 增加量增加量/元元 y/y/元元 增加量增加量/元元y/y/元元增加量增加量/元元6 64040606012.812.87 740400 07070101025.625.612.812.88 8404
5、00 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 0300300101021474214748364.8364.8 8107374182.107374182.4 4feixuejiaoyufeixuejiaoyu再作出三个函数的图象（图3.2-1）。feixuejiaoyufeixuejiaoyu 由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长
6、情况很不同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.feixuejiaoyufeixuejiaoyu 从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.feixuejiaoyufeixuejiaoyu下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：1 12
7、 23 34 45 56 6一一40408080120120160160200200240240二二101030306060100100150150210210三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.2feixuejiaoyufeixuejiaoyu7 78 89 910101111一一280280320320360360400400400400二二280280360360450450550550660660三三50.850.8102102204.4204.4 409.2409.2 818.8818.8feixuejiaoyufeixuejiaoyu因此，投
8、资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.feixuejiaoyufeixuejiaoyu例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？feixuejiaoyufeixuejiaoyu问1：例2涉及了哪几类函数模型？本
9、例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否 符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例 2的解答吗？feixuejiaoyufeixuejiaoyu分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10，1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.feixuejiaoyufeixuejiaoyu解：借助计算器或
10、计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）200400600800 100012354687Oxyy=0.25xy=5y=log7x+1y=1.002xfeixuejiaoyufeixuejiaoyu 观察图象发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.feixuejiaoyufeixuejiaoyu 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0
11、.25x，它在区间10,1000上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 ，由于它在区间10,1000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；5002.10 xfeixuejiaoyufeixuejiaoyu对于模型y=log7x+1，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000
12、时，是否有25.01log7 xxxy成立.feixuejiaoyufeixuejiaoyu 令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）200200400400600600800800 10001000 12001200-250-250-300-300-200-200-150-150-100-100-50-50Oxyfeixuejiaoyufeixuejiaoyu由图象可知它是递减的，因此 f(x)f(10)-0.31670即 log7x+1x2，有时2xlog2x.feixuejiaoyufeixuejiaoyu3说说函
13、数y=2x，y=x2，y=log2x的增长差异.在区间(0,+)上，总有x2log2x；当x4时，总有2xx2.所以当x4时，总有2xx2log2x.feixuejiaoyufeixuejiaoyu4一般的，在区间(0,+)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有 logaxxnx0时，总有xxyx2121log2 feixuej
14、iaoyufeixuejiaoyu.),0()10(log),0(),10(上的衰减情况在区间最后探究axynxyaayanx在区间在区间(0,+)(0,+)上，总存在一个上，总存在一个x0 0,当当xx0 0时，总有时，总有 xnaxloglogax（n0,00,0a0，且520-40 x0，即0 x13，于是可得 y=(520-40 x)x-200 =-40 x2+520 x-200，0 x1.2，所以，这个男生偏胖.feixuejiaoyufeixuejiaoyu建立函数模型解决实际问题的基本过程；收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题检验不符合实际符合实际feix
15、uejiaoyufeixuejiaoyu例3.北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京日报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？feixuejiaoyufeixuejiaoyu解：设每天报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有 y=0.10(20 x+10250)-0.1510(x-250)=0.5x+625，x250,4
16、00.因为函数y在250,400上单调递增，所以x=400时，ymax=825（元）.答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.feixuejiaoyufeixuejiaoyu1.1.一家旅社有一家旅社有100100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价每间每天房价住房率住房率2020元元 1818元元 1616元元1414元元6565 757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使
17、每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元2.2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按9090元一个售出时，能卖出元一个售出时，能卖出400400个，个，已知这种商品每个涨价已知这种商品每个涨价1 1元，其销售量就减少元，其销售量就减少2020个，为了取得最个，为了取得最大利润，每个售价应定为大利润，每个售价应定为()()A.95A.95元元 B.100B.100元元 C.105C.105元元 D.110D.110元元CAy=(90+x-80）（）（400-20 x)课后练习课后练习feixuejia
18、oyufeixuejiaoyu3某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A57km B911km C79km D35kmAfeixuejiaoyufeixuejiaoyu4某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20，要使水中杂质减少到原来的5以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据lg20.3010，lg30.4771）A5 B10 C14 D15Cfeixuejiaoyufeixuejiaoyu5有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为_m2（围墙厚度不计）2500feixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyufeixuejiaoyu
