1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 4.1 4.1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一、罗尔定理一、罗尔定理设连续光滑的曲线设连续光滑的曲线 y f(x)在端点在端点 A、B 处的纵坐标相等处的纵坐标相等 f ()?观察与思考观察与思考 提示提示 f ()0 函数函数 y f(x)满足条件满足条件 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 (2)在开区在开区间间(a b)内可导内可导 (3)f(a)f(b)则至少存在一点则至少存在一点 (a b)使得使得
2、 f ()0 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 费马费马(fermat)引理引理,)(0有定义在x且)(0 xf 存在,)()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证:设,)()(,)(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 罗尔（罗尔（Rolle）定理定理)(xfy 满足满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b),使使.0)(fxyoab)(xf
3、y 证证:，上连续在因,)(baxf故在故在 a,b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m.若若 M=m,则则,)(baxMxf因此因此.0)(,),(fba在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 若若 M m,则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设,)(afM 则至少存在一点则至少存在一点,),(ba使使,)(Mf.0)(f注意注意:1)定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由则由费马引理得费马引理得 1,
4、1)(xxxf 1,0)(xxxfx1yo1x1yo首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解解 因此在因此在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 1 使使 f (1)0 1是是 f (x)的的一个实根一个实根 在在(2,3)内至少存在一点内至少存在一点 2 使使 f (2)0 2 也是也是 f (x)的的一个实根一个实根 f (x)是二次多项式是二次多项式 只能有两个实根只能有两个实根 分别在区间分别在区间(1,2)及及(2,3)内内 例例2 不求导数不求导数 判断函数判断函数 f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导数的导数有几个实根有几个实根 以及其所在范围以及其所在范围 f
5、(1)f(2)f(3)0 所以所以 f(x)在在1,2 2,3上满足罗尔定理的三个条件上满足罗尔定理的三个条件 因为因为 f(x)是连续且可导的函数是连续且可导的函数 并且并且首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理观察与思考观察与思考 设连续光滑的曲线设连续光滑的曲线y f(x)在端点在端点 A、B 处的纵坐标不相等处的纵坐标不相等 直线直线AB的斜率的斜率k?f ()?提示提示 直线直线AB的斜率的斜率abafbfk)()(abafbff)()()(首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )(
6、1)在区间在区间 a,b 上连续上连续)(xfy 满足满足:(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导至少存在一点至少存在一点,),(ba使使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路:利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然,)(x在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,且且证证:问题转化为证问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点,),(ba,0)(使即即定理结论成立定理结论成立.,)(babbfaafb)()(0)()()(a
7、bafbff证毕证毕首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数如果函数 f(x)满足条件满足条件 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 (2)在在开区间开区间(a b)内可导内可导 则至少存在一点则至少存在一点 (a b)内内 使得使得 abafbff)()()(或或 f(b)f(a)f ()(b a)拉格朗日公式拉格朗日公式 因为因为 介于介于a 与与 b 之间之间 所以所以 可表示成可表示成 a (b a)(0 1)从而拉格朗日公式也可改写成从而拉格朗日公式也可改写成 f(b)f(a)f a (b a)(b a)(0 1)首页上一页下一页
8、结束微积分 (第三版)教学课件 )(11arctanarctan12212xxxx(x1,x2)证证 例例3 证明不等式证明不等式 arctan x2 arctan x1 x2 x1 (x1 x2)设设 f(x)arctan x f(x)在在x1,x2上满足拉格朗日定上满足拉格朗日定 理的条件理的条件 因此有因此有 因为1112 所以 arctan x2 arctan x1 x2 x1 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例4.证明不等式证证:设,)1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx
9、0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0,)0)(因此应有首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 推论推论1 如果函数如果函数 f(x)在区间在区间(a,b)内任意一点的导数内任意一点的导数 f (x)都为零都为零 那么那么 f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数 这是因为这是因为 对于任意对于任意 x (a b)及定点及定点 x0(a b)有有其中其中 介于介于 x 与与 x0 之间之间 f(x)f(x0)f ()(x x0)f(x0)f(x)0 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 推论推论1 如果函数如果函数 f(x)在区间在区间(a,b
10、)内任意一点的导数内任意一点的导数 f (x)都为零都为零 那么那么 f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数 推论推论2 如果函数如果函数 f(x)与与 g(x)在区间在区间(a,b)内每一点的导数内每一点的导数 f (x)与与g (x)都相等都相等 则这两个函数在区间则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常内至多相差一个常数数 这是因为这是因为 在区间在区间(a,b)内内任意一点任意一点 有有 f(x)g(x)f (x)g (x)0 根据推论根据推论1 函数函数f(x)g(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数 f(x)g(x)c 或或 f(x)g(x)c 其
11、中其中c为某一常数为某一常数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例5.证明等式.1,1,2arccosarcsinxxx证证:设,arccosarcsin)(xxxf上则在)1,1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)(常数)令 x=0,得.2C又,2)1(f故所证等式在定义域 上成立.1,1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上,0)(xf,0Ix 且.)(00Cxf使首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()(
12、)()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点,),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)(xF0)(xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 证证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且,),(ba使,0)(即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,)()()(baabfafbf),(,)()()(baabFaFbF两个 不一定相同错错!上面两式相比即得结论.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率
