1、第一章 勾股定理1 1 探索勾股定理探索勾股定理名师导学A.勾股定理：_三角形两_的平方等于_的平方.如图1-1-1，在RtABC中，C=90，两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_+_=_.直角直角直角边直角边斜边斜边a a2 2b b2 2c c2 21.如图1-1-2所示是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：因为S1=_，S2=_，S3=_，所以S1+S2=S3，即_2+_2=_2.4 49 91313ACACBCBCABAB课堂讲练新知新知1 1：勾股定理的定义：勾股定理的定义【例1】如图1-1-3，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表
2、的正方形的面积是 （）A.12 B.13C.144D.194C C典型例题典型例题模拟演练模拟演练 1.如图1-1-4，在RtABC中，C=90，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（）A.225B.200C.250D.150A A【例2】如图1-1-5，在RtABC中，C=90，a=5，b=12，求c的长.解：因为解：因为ABCABC为直角三角形，为直角三角形，根据勾股定理，得根据勾股定理，得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.所以所以5 52 2+12+122 2=169=c=169=c2 2.所以所以c=13.c=13.典型例题典型例题模拟演练模拟演练2.如图
3、1-1-6，在RtABC中，C=90，BC=15，AB=25，求AC的长.解：因为解：因为ABCABC为直角三角形，为直角三角形，根据勾股定理，得根据勾股定理，得ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2.所以所以ACAC2 2=AB=AB2 2-BC-BC2 2=25=252 2-15-152 2=400.=400.所以所以AC=20.AC=20.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按图1-1-8和所示的方式拼成两个正方形.如图1-1-4，在RtABC中，C=90，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BC
4、FG的面积之和为所以AC2=AB2-BC2=252-152=400.【例4】如图1-1-9，已知一根长8 m的竹竿在离地面3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，则此时竹竿的顶部与底部的距离为_m.新知1：勾股定理的定义所以a2+b2=c2.因为S大正方形=(a+b)2,又S大正方形=4S+S小正方形第一章 勾股定理新知2：勾股定理的验证用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图1-1-12所示的图形，则下列结论正确的是（）c2=a2-2ab+b2验证中用到的面积相等关系是 （）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）如图1-1-6，在RtABC中，C=90，BC=15，AB=25，求AC的长.第
5、一章 勾股定理所以S1+S2=S3，用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图1-1-12所示的图形，则下列结论正确的是（）新知新知2 2：勾股定理的验证：勾股定理的验证【例3】如图1-1-7所示是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（其中两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形拼成的.请利用此图验证勾股定理：a2+b2=c2.（任选一图即可）典型例题典型例题解：选用图解：选用图1-1-71-1-7.因为因为S S大正方形大正方形=c=c2 2，又又S S大正方形大正方形=4S=4S+S+S小正方形小正方形=4=4 ab+(b-a)ab+(b-a)2 2，所以所以c c2
6、24 4 ab+(b-a)ab+(b-a)2 2=a=a2 2+b+b2 2.选用图选用图1-1-71-1-7.因为因为S S大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2,又又S S大正方形大正方形=4S=4S+S+S小正方形小正方形=4=4 ab+c ab+c2 2,所以所以(a+b)(a+b)2 2=4=4 ab+c ab+c2 2,即即a a2 2+b+b2 2+2ab=c+2ab=c2 2+2ab.+2ab.所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.模拟演练模拟演练3.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，
7、把它们按图1-1-8和所示的方式拼成两个正方形.利用两个正方形的面积相等来验证勾股定理：a2+b2=c2.解：由图解：由图1-1-81-1-8可知大正方形的边长为可知大正方形的边长为a+ba+b，则面积，则面积为（为（a+ba+b）2 2；图图1-1-81-1-8中把大正方形的面积分成了四部分，分别中把大正方形的面积分成了四部分，分别是：边长为是：边长为a a的正方形，边长为的正方形，边长为b b的正方形，还有两个的正方形，还有两个长为长为b b，宽为，宽为a a的长方形，则面积为的长方形，则面积为a a2 2+b+b2 2+2ab.+2ab.根据面积相等，得（根据面积相等，得（a+ba+b）
8、2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab.+2ab.由图由图1-1-81-1-8可得（可得（a+ba+b）2 2=c=c2 2+4+4 ab=c ab=c2 2+2ab.+2ab.所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.新知新知3 3：勾股定理的简单应用：勾股定理的简单应用【例4】如图1-1-9，已知一根长8 m的竹竿在离地面3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，则此时竹竿的顶部与底部的距离为_m.4 4典型例题典型例题模拟演练模拟演练4.如图1-1-10，有一羽毛球场地是长方形，已知AB=8 m，AD=6 m，若你要从A走到C，则至少走（）A.14 mB.12 mC.10 mD.9 m
9、C C 分层训练分层训练【A A组】组】1.直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为 （）A.4 B.5 C.6 D.10B B2.如图1-1-11所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大正方形G的边长是6 cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是 （）A.18 cm2B.36 cm2C.72 cm2D.108 cm2D D3.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）D D4.如果梯子的底端离建筑物5 m，那么13 m长的梯子可以到达建筑物的高度是 （）A.12 m B.13 m C.14 m D.15 m A A解：由图1-1
10、-8可知大正方形的边长为a+b，则面积为（a+b）2；1-1-13所示图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上.1-1-13所示图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上.所以S1+S2=S3，所以52+122=169=c2.如图1-1-2所示是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：1-1-13所示图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上.新知1：勾股定理的定义【例4】如图1-1-9，已知一根长8 m的竹竿在离地面3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，则此时竹竿的顶部与底部的距离为_m.新知1：勾股定理的定义用四个边长均为a，
11、b，c的直角三角板，拼成如图1-1-12所示的图形，则下列结论正确的是（）由图1-1-8可得（a+b）2=c2+4 ab=c2+2ab.c2=a2-2ab+b2所以52+122=169=c2.验证中用到的面积相等关系是 （）因为S大正方形=(a+b)2,又S大正方形=4S+S小正方形如图1-1-10，有一羽毛球场地是长方形，已知AB=8 m，AD=6 m，若你要从A走到C，则至少走（）5.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为_.1010【B组】6.用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图1-1-12所示的图形，则下列结论正确的是（）A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab
12、+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=（a+b）2A A7.历史上对勾股定理的一种验证法采用了如图1-1-13所示图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上.验证中用到的面积相等关系是 （）A.SEDA=SCEBB.SEDA+SCEB=SCDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.SEDA+SCDE+SCEB=S四边形ABCDD D8.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图1-1-14，为了防止羊的再次丢失，小明的爸爸要在高0.9 m，宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一块加固木板，这块木板的长度为_.1.5 m1.5 m【C组】9.如图1-1-15，为修通铁路凿通隧道AC，
13、量出ACB=90，AB=5 km，BC=4 km，若每天凿隧道0.15 km，则几天才能把隧道AC凿通？解：因为解：因为ACB=90ACB=90，AB=5 kmAB=5 km，BC=4 kmBC=4 km，由由ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2，得得AC=3AC=3（kmkm）.3 30.15=200.15=20（天）（天）.答：答：2020天才能把隧道天才能把隧道ACAC凿通凿通.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图1-1-14，为了防止羊的再次丢失，小明的爸爸要在高0.如图1-1-11所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.所以c24 ab
14、+(b-a)2=a2+b2.所以S1+S2=S3，S四边形CDAE=S四边形CDEB下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）如图1-1-10，有一羽毛球场地是长方形，已知AB=8 m，AD=6 m，若你要从A走到C，则至少走（）所以a2+b2=c2.新知3：勾股定理的简单应用请利用此图验证勾股定理：a2+b2=c2.答：20天才能把隧道AC凿通.新知2：勾股定理的验证如图1-1-15，为修通铁路凿通隧道AC，量出ACB=90，AB=5 km，BC=4 km，若每天凿隧道0.c2=a2-2ab+b2【例1】如图1-1-3，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是 （）
15、所以c24 ab+(b-a)2=a2+b2.解：由图1-1-8可知大正方形的边长为a+b，则面积为（a+b）2；10.如图1-1-16，在四边形ABCD中，BAD=90，CBD=90，AD=4，AB=3，BC=12，求以DC为边的正方形的面积.解：因为解：因为BAD=90BAD=90，所以，所以ADAD2 2+AB+AB2 2=DB=DB2 2.所以所以3 32 2+4+42 2=DB=DB2 2.所以所以DB=5.DB=5.因为因为CBD=90CBD=90，所以，所以BDBD2 2+BC+BC2 2=DC=DC2 2.所以所以5 52 2+12+122 2=DC=DC2 2.所以所以DC=13.DC=13.所以所以S S正方形正方形DCEFDCEF=DC=DC2 2=13=132 2=169.=169.
