1、1.3.11.3.1二项式定理学习目标：学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用用 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 思考思考:我们知道（我们知道（a+b)1=a+
2、b ,(a+b)2 =a2+2ab+b2 ,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,由这些式子试猜想由这些式子试猜想(a+b)4展开后的结果，它们的各项是什展开后的结果，它们的各项是什么呢？么呢？(a+b)5，.呢？这里有规律吗呢？这里有规律吗?因为因为(a+b)3(a+b)(a+b)(a+b)对对(a+b)3 3展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，每个括号中要么取展开时，每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3,a2b,ab2,b3最后结果要合并同类
3、项最后结果要合并同类项.所以项的系数就是该项在展开所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C30,所以所以a3的系数为的系数为C30;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C31种，所以种，所以a2b的系数为的系数为C31;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C32 种，所以种，所以ab2的系数为的系数为C32;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C33 种，所以种，所以 b3的系数为的系数为C33;故故(a+b)3 C30 a3 C31 a2b C32ab2 C33b3因为恰
4、有因为恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，所以种，所以b4的系数为的系数为C44(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b4因为因为(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？对对(a+b)4 4展开式进行分析展开式进行分析:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项相乘得项,所以展开后其项的形式有所以展开后其项的形式有:a4,a3b,a2b2,ab3,b4最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项在展项的
5、系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即C40,所以所以a4的系数为的系数为C40;因为恰有因为恰有1个取个取b的情况有的情况有C41 种，所以种，所以a3b的系数为的系数为C41;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，所以种，所以 a2b2的系数为的系数为C42;因为恰有因为恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，所以种，所以 ab3的系数为的系数为C43;分析分析(a+b)n的展开式的展开式:(:(每一项怎么来的每一项怎么来的)011222()nnnnrn rrnnnnnnna
6、 bC aC ab C abC abC b 因为恰有因为恰有n个取个取b的情况有的情况有Cnn种，所以种，所以b4的系数为的系数为Cnn展开时，展开时，每个括号中要么取每个括号中要么取a,要么取要么取b,而且只能取一个来而且只能取一个来相乘得项相乘得项,所以展开后其项的形式有所以展开后其项的形式有:an,an-1b,an-2b2,bn最后结果要合并同类项最后结果要合并同类项.所以所以项的系数为就是该项在展项的系数为就是该项在展开式中出现的次数开式中出现的次数.可计算如下可计算如下:因为每个都不取因为每个都不取b的情况有的情况有1种种,即即Cn0,所以所以an的系数为的系数为Cn0;因为恰有因为
7、恰有1个取个取b的情况有的情况有Cn1 种，所以种，所以an-1b的系数为的系数为Cn1;因为恰有因为恰有2个取个取b的情况有的情况有Cn2 种，所以种，所以 an-2b2的系数为的系数为Cn2;二项展开式定理二项展开式定理右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的二项展开式二项展开式其中其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，记作，记作Tr+1即通项为展开式的第即通项为展开式的第r+1项：项：Tr+1=Cnr an-rbr Cnr 叫做叫做 二项式系数二项式系数.一般地，对于一般地，对于n N*，有：，有：011222()nnnnrn rrnnnnnnna
8、 bC aC ab C abC abC b 二项展开式的特点二项展开式的特点:项数：项数：共共n1项项系数系数:第第r1项的二项式系数为项的二项式系数为 (r0,1,2,，n）指数：指数：a按降幂排列，按降幂排列，b按升幂排列按升幂排列，每一项中每一项中a、b的的指数和为指数和为nrnC特殊地特殊地:2.令令a=1，b=x则则(1+x)n=1+Cnx+Cnxr+Cnxnrn11.把把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)rCnan-rbr +(-1)nCnbn01rn对定理的再认识：对定理的再认识：013CCC.nnnn(11)n 2n 5(1)12)x 展展开开
9、：（500112255512)(2)(2)(2)xCxCxCx（334455555(2)(2)(2)CxCxCx234511040808032xxxxx5(2)1 2)x若展开呢？（500112255512)(2)(-2)(2)xCxCxCx（334455555(2)(2)(2)CxCxCx234511040808032xxxxx5234512)11040808032xxxxxx（7(1 2)4x 3 3.求求的的展展开开式式的的第第项项的的系系数数是是_ _ _ _ _ _ _二二项项式式系系数数是是_ _ _ _ _.、4.4.已知已知(1-2(1-2x)7 7=a0 0+a1 1x+a2
10、 2x2 2+a7 7x7 7，则，则a1 1+a2 2+a7 7的值是的值是 .280已知已知求求:(1):(1)；(2)(2)；(3)(3);(4)(4)7270127(1 2)xaa x a xa x 127aaa1357aaaa017|aaa 0246aaaa赋值法再思考赋值法再思考:73110932 1094 218723-1-7 求求(x 2)10（x 21）展开式中含）展开式中含 x 10 项的系数项的系数为为.(1998年全国高考题年全国高考题)179能力训练能力训练3:在在(x2+3x+2)5 的展开式中的展开式中,x的系数为多少？的系数为多少？240能力训练能力训练2 2：
11、能力训练能力训练3:(x2+3x+2)5展开式中展开式中x的系数为的系数为_.方法方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 2403244C5,xx3)2x(51C442 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 2402351C,x2)3x(x51C44 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 2402351C,x)2x3(50C45 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法4 (x2+3x+2)
12、5=(x+1)5(x+2)5，.妙妙!能力训练能力训练4 4：你能否判断你能否判断 的展开式中是否的展开式中是否包含常数项？如果包含，常数项为多少？包含常数项？如果包含，常数项为多少？21 01(3)xx 分析分析:取通项来分析取通项来分析,10211013rrrrTCxx 常数项即常数项即 项项.0 x解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a3 3x2 2，b1x的通项公式是的通项公式是2101(3)xx 的展开式中第的展开式中第9 9项为常数项。项为常数项。2101(3)xx 520102102110101313rrrrrrrrTCxCxx 由题意可知，由题意可知，520082rr故
13、存在常数项且为第故存在常数项且为第9项，项，常数项常数项 8810 8091013405TCx 常数项即常数项即 项项.0 x1.若若(x+1)n=x n+ax3+bx2+1(nN*)，且且 a:b=3:1，那么，那么 n=_（95上海高考）上海高考）3.3.试判断在试判断在 的展开式中有无常数项？的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx 2.9192除以除以100的余数是的余数是 81自主测试：自主测试：929209219191929292929291(901)909090CCCC 分分析析：由此可见，除后两项外均能
14、被由此可见，除后两项外均能被100整除整除9192929290828182 10081CC 所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是813232.:3:1:3:1.11.nnnnaCbCa bCCn解：由题意，知：，又，解得1、2、3.3.试判断在试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx 解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，244063rr 故存在常数项且为
15、第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项 8 6660781172TCx 常数项即常数项即 项项.0 x1.1.二项式定理：二项式定理：011()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b 2.2.通项规律：通项规律：1,(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3.3.二项式系数：二项式系数：rnC第第(r+1)+1)项项 运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式子子,从而能解决些问题从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习这节课我们来做一些练习.4.4.特殊地：特殊地：12 211nrrn nnnnnxC x C xC xC x （）012(11)nnnnnnCCCC 2n 注注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以令以x=1=1得得课时小结：课时小结：
