1、3.1.3导数的几何意义导数的几何意义1.平均变化率的定义平均变化率的定义:式子式子 称为函数称为函数 f(x)从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.1212)()(xxxfxf令令x=x2 x1,f=f(x2)f(x1),则则xfxxxfxf )()(1212一、复习回顾一、复习回顾平均变化率平均变化率OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率1212)()(xxxfxfxy2.平均变化率的平均变化率的几何意义：几何意义：函数函数y=f(x)在在x=xo 处的导数处的导数记作记作 或或0()fx 0 xxy 0000
2、0()()()limlimxxf xxf xyfxxx 一、复习回顾一、复习回顾3 3、导数的、导数的概念概念:4 4、求函数、求函数y=f(x)在在x=xo处的导数的处的导数的步骤：步骤：2.2.算比值算比值00()()f xxf xyxx 1.1.求函数增量：求函数增量：00()()yf xxf x 3.3.取极限：取极限：00()limxyfxx 导数的几何意义又是什么呢？导数的几何意义又是什么呢？PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T观察观察:如图如图,当点当点Q沿着曲线趋近于点沿着曲线趋近于点P时时,割线割线PQ的变化趋势是什么的变化趋势是什么?PQoxyy=f(x)割割线线切线切
3、线T导数的几何意义:我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P时时,割线割线PQ趋近于趋近于确定的位置确定的位置,这个确定的位置这个确定的位置PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同么不同?xyOl1l2MN问题问题1 1 ：平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的：平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？割线或切线的呢？问题问题2 2:如图直线如图直线l1 1是曲线是曲线C C的切线吗的切线吗?l2 呢呢?l2l1AB0 xy对于一般的对于一般的曲线的切线曲线的切
4、线该如何寻找该如何寻找呢？呢？初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。做切点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。PQ0 0 x xy yy=f(x)y=f(x)割割线线切线切线T请看当请看当点点Q Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P P接近接近时时,割线割线PQPQ绕着点绕着点P P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.我们发现我们发现,当点当点Q沿着沿着曲线无限接近点曲线
5、无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.割线趋近于确定的位置割线趋近于确定的位置的直线定义为切线的直线定义为切线.xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0时，时，割线割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是，就是曲线在点曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重
6、要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T 函数
7、函数 y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的几何意义，就是曲线的几何意义，就是曲线 y=f(x)在在点点P(x0,f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率。要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:（1 1）与该点的位置有关）与该点的位置有关;（2)2)要根据割线是否有极限位置来判断与要根据割线是否有极限位置来判断与求解求解.如有极限如有极限,则在此点有切线则在此点有切线,且切线且切线是唯一的是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;(3)(3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个并不一定与曲线只有一个交点交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至
8、可以无穷多个.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111Oj jM y x.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求切线的方程求切线的方程:（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的处的导数导数 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxf
9、xfy 归纳归纳:求切线方程的求切线方程的步骤步骤练习练习、已知曲线已知曲线y=xy=x2 2+2x+5+2x+5上的一点上的一点P P(2 2，1313)求点求点P P处的切线方程。处的切线方程。6x-y+1=06x-y+1=0例例2 2、在曲线在曲线y=xy=x2 2上求过哪点的切线满足上求过哪点的切线满足:(2)(2)与与x x轴成轴成135135o o的倾斜角。的倾斜角。(1)(1)垂直于直线垂直于直线2x-6y+5=0;2x-6y+5=0;3 93 9(,)(,)2 42 4)4 41 1,2 21 1(点评点评:首先设出切点坐标为首先设出切点坐标为(x0,y0),根据导数的根据导数
10、的几何意义几何意义,求出切线的斜率求出切线的斜率,然后利用两直线然后利用两直线的位置关系的位置关系(平行或垂直平行或垂直)求出切点坐标求出切点坐标求切点求切点:探究：探究：已知已知 函数函数 f(x)=x f(x)=x2 2+x+x ,填写下表填写下表,观观察察 与与x存在什么关系存在什么关系?当当x x变化时，变化时，是是x的一个函数，称它为的一个函数，称它为 f x的导函数，简称导数。的导函数，简称导数。(x)(x)f fx xf(x)f(x)x)x)f(xf(xlimlimy y0 0 x x59192x0+1导数的定义：导数的定义：00000()()()limlimxxf xxf xy
11、fxxx 从求函数从求函数f(x)f(x)在在 x=x0 0 处导数的过程可以看到，处导数的过程可以看到，当当 x=x0 时，时，是一个确定的数是一个确定的数，这样，当，这样，当 x 变变化时，化时，便便是是 x 的一个函数的一个函数，我们称它为，我们称它为f(x)的的导函数导函数(简称导数简称导数)。y=f(x)的导函数也记作的导函数也记作 ，即，即0()fx()fx y 00()()()limlimxxyf xxf xfxyxx 通过观察跳水问题中导数的变化情况通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些你得到了哪些结论结论?(1)(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，以直代曲：大多
12、数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；该点的切线近似代替；PPP(2)(2)函数的单调性与其导函数正负的关系函数的单调性与其导函数正负的关系.(3)(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系例例3 3如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)c=f(t)（单位：（单位：mg/mlmg/ml）随时间）随时间t t（单位：（单位：minmin）变化的函数图像，根据图像，估计）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8t=0.2,
13、0.4,0.6,0.8（minmin）时，血管中）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1)0.1)作业:处的导数。处的导数。在在求函数求函数11.1 xxy2.提问与解答环节Questions And Answers谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
