1、 第三节第三节 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法二、级数的绝对收敛与条件收敛二、级数的绝对收敛与条件收敛一、一、交错交错级数及其审敛法级数及其审敛法1 1、定义、定义:正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数.)1()1(111nnnnnnaa 或或2 2、莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:(i),3,2,1(1 naann;(ii)0lim nna,则级数收敛则级数收敛,且其和且其和1as ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值 1|nnar.)0(na其中其中证明证明nnnnaaaaaas21
2、2223212)()(又又)()()(21243212nnnaaaaaas 1a,01 nnaa.lim12assnn ,0lim12 nna,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnass,s.,1ass 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnaar余项余项,21 nnnaar满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnar定理证毕定理证毕.收敛收敛收敛收敛 nn1)1(4131211)11 !1)1(!41!31!211)21nn例例 用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:
3、2 2、莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:(i),3,2,1(1 naann;(ii)0lim nna,则级数收敛则级数收敛,且其和且其和1as ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值 1|nnar.3、三点说明三点说明:(1)满足条件满足条件(i)(ii)的交错级数为的交错级数为莱布尼茨型莱布尼茨型级数级数.(2)两个条件两个条件(i)(ii)是是交错级数收敛的充分条件交错级数收敛的充分条件 .若不满足条件若不满足条件(ii)，则，则交错级数交错级数必发散必发散.若不满足条件若不满足条件(i)，交错级数交错级数未必发散未必发散.例如：例如：1112)1()1nn
4、nn发散发散.122)1(1)2nnn收敛收敛.(3)应用应用莱布尼茨定理判断交错级数敛散性莱布尼茨定理判断交错级数敛散性必必须验证这两个条件，缺一不可须验证这两个条件，缺一不可 .例例 1 1 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性.解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnaa1limlim nnannn又又.0 原级数收敛原级数收敛.,)()(,)1)(,)()2(.10)1(111的增减性的增减性从而得到从而得到的增减性的增减性符号判断符号判断的的由由求导求导对对令令或或证明证明常用方法有：常用方法有：判断判断nnnn
5、nnnnaxfxfxxfnfaaaaaaa 收敛收敛收敛收敛 nn1)1(4131211)11 !1)1(!41!31!211)21nn上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11 nn;!1)21 nn发散发散收敛收敛例例 用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛1 1、定义定义:一般项为任意实数的级数称为一般项为任意实数的级数称为任意项级数任意项级数.2、定理定理 若若 1|nna收敛收敛,则则 1nna收敛收敛.证明证明),(|)|(21Nnaavnnn 令令,
6、0 nv则则|,|nnav 且且,1收敛收敛 nnv),|2(11 nnnnnava又又.1收敛收敛 nna定理的作用定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数3 3、定义、定义:若若 0|nna收敛收敛,则称则称 1nna为为绝对收敛绝对收敛;以上定理说明：若任意项级数绝对收敛，则该级数必收敛.,1为任意项级数为任意项级数设设 nna,)lim(lim1有确定意义有确定意义或或若极限若极限 nnnnnnaaa级数绝对收敛级数绝对收敛；则则 (1)当当 0 1 时时,(2)当当 1 时时,级数发散级数发散；(3)当当 1 时时,级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定.定理定理(Page
7、246)211112:1(1)(1)ln(1)!(2)(1)11(3)(1)12nnnnnnnnnnnnnn例 讨论下列级数的敛散性（）12112:1(4)(1)sin(5)1sin2npnnnnnannn例 讨论下列级数的敛散性(6)的敛散性？的敛散性？如何判别任意项级数如何判别任意项级数 1nna若收敛若收敛,要要指出指出是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.一般步骤如下：一般步骤如下：,0lim.1 nna则级数发散则级数发散.否则：否则：.|1的敛散性的敛散性判别判别 nna.,|.211绝对收敛绝对收敛则则收敛收敛若若 nnnnaa否则：否则：.,|.311发散发散则则法得出
8、法得出发散是用比值法或根值发散是用比值法或根值若若 nnnnaa,1的敛散性的敛散性否则应考虑否则应考虑 nna,1条件收敛条件收敛则则若收敛若收敛 nna.1发散发散否则否则 nna1112()?nnnnnnnabab、若级数绝对收敛，条件收敛，则是条件收敛还是绝对收敛1nna判断级数的敛散性一般有如下程序：一、首先判断级数是正项级数，还是交错级数或者是一般级数；二、若是正项级数，按照如下过程判定 判别正项级数敛散性的方法与步骤判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件lim0nna不满足发 散满足比值审敛法 limn1nana根值审敛法limnnna1收 敛发 散1不定 比较审敛法用其他判别用
9、其他判别法法积分判别法部分和极限1三、是交错级数，先判断是否绝对收敛，若不是绝对收敛，再利用莱布尼茨判别法判定级数是否条件收敛.四、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛，若不是绝对收敛则利用柯西审敛法或者定义判断是否条件收敛.例例 7 7 判判别别级级数数)0()1(1 xnxnnn的的敛敛散散性性.练练习习：1 1.判判别别级级数数)0(lg11 xxnn的的收收敛敛性性.练练习习：2 2.设设正正数数列列an单单调调下下降降，且且 1)1(nnna发发散散，问问 111nnna的的收收敛敛性性如如何何？例例 6 6 判判别别级级数数 121sinnn 的的敛敛散散性性.111ln)1()1n
10、nn例例 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性.1100)1()2nnnn 12)1(2)1()3nnnn收敛收敛收敛收敛收敛收敛 1)1(2)1()4nnnn发散发散三、小结三、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun练练 习习 题题一、一、别下列级数是否收敛别下列级数是否收敛?如果是收敛的如果是收敛的,是绝对收是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛?1 1、1113)1(nnnn；2 2、5ln14ln13ln12ln1；3 3、2ln)1(nnnn.二二、若、若nnun2lim存在存在,证明证明:级数级数 1nnu收敛收敛.三三、证明、证明:0!lim3 nnnanb.一一、1 1、绝绝对对收收敛敛；2 2、条条件件收收敛敛；3 3、条条件件收收敛敛.
