1、2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第2章章 一元函数微分学及其应用一元函数微分学及其应用第第1节节 导数的概念导数的概念第第2节节 求导基本法则求导基本法则第第3节节 微分微分第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用第第5节节 Taylor定理及其应用定理及其应用第第6节节 函数性态的研究函数性态的研究2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系2 第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.函数的极值函数的极值2.Fermat定理定理3.Rolle定理定理4.Lagrange定理定理5.Cauchy定理定理2008年11月12日南京航
2、空航天大学 理学院 数学系3定义定义1 1类似定义类似定义极小值极小值,极小值点极小值点.极值和最值的区别极值和最值的区别(1)(1)极值为局部性质极值为局部性质,最值为整体性质最值为整体性质;,0Ix 设设),(,),(00 xUxIxU 使得对使得对如果存在如果存在),()(0 xfxf 总有总有上的极大值.上的极大值.在在是是称称Ifxf)(0.称为极大值点称为极大值点0 x最值必为极值.最值必为极值.内部,内部,(2)在(2)在I1 1 函数的极值函数的极值2.2.FermatFermat定理定理(费马费马)00()0().fxxf x 若，则点称为函数若，则点称为函数的稳定点或驻的稳
3、定点或驻义义点点定2 定2 xyoxyo0 x0 xFermat定理的几何意义定理的几何意义0000(),()()(,().fxxf xyf xM xf x若且为的极值点，则曲线若且为的极值点，则曲线在处有水平切线在处有水平切线,00是极值点是极值点且且处可导处可导在在设设xxf,.0)(0 xf则则2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系5注意：注意：1.Fermat定理的逆不一定成立。定理的逆不一定成立。例如例如,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x3,yx()(,),(,)0f xa ba ba b2 2.如如果果在在内内可可导导，在在连连续续，且且在在内内导导数数恒
4、恒不不为为，则则只只能能在在区区间间端端点点取取到到函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系63.3.罗尔罗尔(Rolle)中值定理中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系7证明证明.,MmbaCf、必有最值必有最值 ,.0)(),(,)(,fbacxfmM若若,),()(mMfbfafmM或或在内部必取得在内部必取得由由,若若.0)(),(fba使使2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系8几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上
5、至少有一在曲线弧在曲线弧CABC2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系9注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy;0,0 1,0(,1 xxxy.1,0,xxy2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系10例例1 1的的任任意意两两个个相相邻邻零零点点间间则则可可导导,证证明明：)(xff如如.的一个零点的一个零点至少存在至少存在f 证明证明,)(,0)(,0)(2,12,121可导可导且在且在设设xxxxCfxfxf .0)(),(21 fxxRolle使使定定理理
6、，知知由由个个零零点点有有进进而而可可知知：若若nf.21)(个零点个零点至少有至少有个零点，个零点，至少有至少有个零点，个零点，至少有至少有knfnfnfk 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系11例例2 2.0)1(,)1,0(,1,0 ff且且内可导内可导连续连续在在设设ccfcfc)()(),1,0(使使求求证证证明证明思路：构造辅助函数思路：构造辅助函数0)()(xfxxfxc记为记为将将),()(xxfxF 令令,)1,0(,1,0,0)1()0(可导可导在在CFFF .0)(),1,0(cFc使使.)()(ccfcf 即即2008年11月12日南京航空航天大学
7、理学院 数学系12例例3 3()()0,(,),0f af bfC a ba bab设在内可导且，.0)()(),(ffba使使求证求证分析：分析：是谁的导数？是谁的导数？)()(xfxfx?)()(2是谁的导数是谁的导数xxfxfx ,)()(xxfxF 令令,),(,0)()(内可导内可导在在babaCFbFaF .0)(),(Fba使使.0)()(ff即即证明证明2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系13EX.为实常数，且设naaa,10,01321210nanaaaann内有零点。在证明函数)1,0()(112210nnnnxaxaxaxaaxf思路：构造辅助函数思路：
8、构造辅助函数 1231120231nnnnaxa xa xa xF xa xnn2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系144 4 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系15ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数
9、学系16ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM分析分析).()(bfaf 相相差差条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系17证明证明(几何角度几何角度)yxfxF )()(令令.),(,0)()(内内可可导导且且在在此此时时babaCFbFaF .0)(),(Fba使使.)()()(abafbff 即即),()()()()(axabafbfafxf 2008年11月12日南京航空航天大学
10、 理学院 数学系18?)()()(是谁的导数是谁的导数afbfabxf xafbfabxfxF)()()()(令令abfbafaF)()()(abfbafbF)()()(满足罗尔中值定理满足罗尔中值定理.0)(),(Fba使使.)()()(abafbff 即即证明证明(代数角度代数角度)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系19 注注1.1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.f(x)a,ba,b,xx(xxa,b,x0 x0),f(x)x,xxxx,x 设设在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理条条件件,x x且且 有有增增量量或或则则
11、在在或或上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理条条件件,则则).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.有有限限增增量量公公式式注注2:Lagrange2:Lagrange中值定理的几种形式中值定理的几种形式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系20推论推论1 1则则内可导内可导在在,),(,babaCf ).,(,0)(baxxf cbaf 上上在在,证明证明).,(,0)(,)(baxxfbaxcxf 则则若若.)(,2,1cxfxx 任意性任意性由由推论推论2 20 gfcgf),(,0)(baxxf 若若，则对则对,212
12、1baxxxx ,0)()()(1212 xxfxfxf 使使).()(12xfxf 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系21推论推论3(导数极限定理导数极限定理)0000(),),)lim()();(1)设函数在上连续，在(内可导，且，则 xxf xxbxbfxAfxA 应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！0000()(,(,)lim()();(2)设函数在上连续，在内可导，且，则 xxf xa xa xfxAfxA 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系22例例4 4).11(2arc
13、cosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系23例例5 5 (证明不等式证明不等式).)1ln(1,0 xxxxx 时时求证求证证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11
14、111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系24例例6 6一致连续一致连续在在求证求证),(arctan:x证明证明121221,x xx xxx 在或上在或上21211221arctanarctan()1xxxxxx 11102 由于由于1212arctanarctanxxxx 1212arctanarctan,0 xxxx时时当当推论推论.),(,|)(|,),(上一致连续上一致连续在在则则有有若若bafMxfbax 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系255 5 柯西中值定理柯西中值定理2008年11月12
15、日南京航空航天大学 理学院 数学系26几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证(几何角度几何角度)作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系27,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()(
16、)()()()(FfaFbFafbf,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf特别特别,Lagrange中值公式中值公式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系28,()0()(),()F xF bF a首先 由知反证可知()()()()()()()xf bf a F xF bF af x令定理定理满足满足Rolle()()()(,),()0,()()()f bf afa bF bF aF 使即证证(代数角度代数角度)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系29).0()1(2)(),
17、1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数例例7 7分析：分析：结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设(),()0,1f x g x则则在在上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(,2)()0()1()0()1(fggff).0()1(2)(fff 即即2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系30小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xx
18、g)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系311 155101.xx证证明明方方程程有有且且仅仅有有一一个个小小于于 的的正正实实根根证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(
19、011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系322 设设f(x)在在a,b上可微，且上可微，且ab0，求证：，求证：)()()()(1 ffabfbafba (ab)证明证明 令令,)()(xxfx xxg1)(a,b同号，故同号，故x=0不在不在(a,b)内内;(x),g(x)在在(a,b)内可微。内可微。,)()()(2xxf
20、xfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),()()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()(gagbgab2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系33造造技技巧巧：注注：常常见见的的一一些些函函数数构构 )()(),(1ffba 使使）证）证（xxfxF)()(0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()(xfexfexFxx若若0)()(xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）证）证（)()()(
21、)()(xgxfxgxfxF )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxF 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系34 第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1.函数的极值函数的极值2.Fermat定理定理3.Rolle定理定理4.Lagrange定理定理5.Cauchy定理定理6 L Hospital6 L Hospital法则法则2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系35)()(limxgxf微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化
22、转化00(或或 型型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达洛必达(1661 1704)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系366 6 洛必达（洛必达（L HospitalL Hospital）法则）法则00 与型与型0 与型与型000,1,型型2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系37定义定义00()(),()(),()lim.()00 xxxxxxf xxf xg x 如果当或时 两个函数如果当或时 两个函数与g都趋于零或都趋于无穷大 那末与g都趋于零或都趋于无穷大 那末或型或型极限极限为为未定式未定式称称例如例如,tanlim0
23、 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(0:0 1 1、型及型未定式解法 洛必达法则、型及型未定式解法 洛必达法则2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系3800(1)lim()lim()0 xxxxf xg x0()(3)lim()xxfxagx (或为或为 )00()()limlim()()xxxxf xfxag xgx 0(2)()()(),f xf xUa与在内可导与在内可导()0gx 且且定理定理 4.5定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称
24、为洛必达法则洛必达法则.0,xx 0,xx,x x 之一,条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理定理 4.5 仍然成立仍然成立.,x 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系39证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf1(),(),0,g xxag xxa 0(),Uax在内任取一点在内任取一点,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa11(),(),fxg x 满足柯西中值定理的条件满足柯西中值定理的条件则有则有()()()()()()f xf xf ag xg xg a ()()fg )(之间之间与与在在ax 00,xxx 当时当时0()lim
25、,()xxfxagx 0()lim,()xfag 00()()limlim.()()xxxf xfag xg 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系4000(1)lim()lim()xxxxf xg x 0()(3)lim()xxfxagx (或为或为 )00()()limlim()()xxxxf xfxag xgx 0(2)()()(),f xf xUa与在内可导与在内可导()0gx 且且定理定理 4.6(洛必达法则洛必达法则)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系411)0()lim0()xxf xg x 的情形的情形0()lim()xxf xg x0 li
26、mxx 1()g x1()f x0 limxx 21()()g xgx 21()()fxfx 02()()lim()()xxf xg xg xfx 002()()limlim()()xxxxf xg xg xfx 00()()1limlim()()xxxxf xg xg xfx 00()()limlim()()xxxxf xfxg xg x 从而从而00型型2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系422)0()lim0()xxf xg x 的情形的情形.取常数取常数,0k0,k0()lim()xxf xkg x 0()()lim()xxf xkg xg x 0()()lim()x
27、xf xkg xg x 0()()lim()xxfxkg xg x 0()lim()xxfxkg x 00()()limlim()()xxxxf xfxg xg x 可用可用 1)中结论中结论2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系43例例1 1.201coslimxxx xxxxxsinlim0 30sinlimyyyyyx 203cos1limyyy 61 arctan2lim1xxx )00(0sin1lim22xxx2211lim1xxx 22lim1xxx 1 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系44注意注意:各种方法综合使用各种方法综合使用(提出常数
28、因子提出常数因子,等价代换等价代换,变量替换变量替换)可多次连续使用可多次连续使用例例2.2.220231lim(1)xxxxxeexee 2043lim2xxxeex 220231limxxxeexx 208lim2xxxee 72)00()00()00(2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系45例例3 3解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)(axbxxcoscoslim0 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系46注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未
29、定式的一种有效方法，但与但与其它求极限方法其它求极限方法结合使用，效果更好结合使用，效果更好.例例4 4解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 特别是等价特别是等价无穷小替换无穷小替换2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系47关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型！的类型！00 000,0,1,2 2、型未定式解法、型未定式解法通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化
30、转化2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系48例例5 5解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe.(1).0 型型步骤步骤:,10 .0100 或或2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系49例例6 6解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式01coslim2xxx .0(2).型型步骤步骤:20sinlimxxxx 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系50步骤步骤:00(3).0,1,型型 ln01ln0ln01000取对数取对
31、数.0 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系51例例7 7解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 例例8 8解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系52例例9 9解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1co
32、t1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系53再次强调再次强调,00)1(仅用于仅用于?,)()(lim)2(0如何处理如何处理不存在不存在xgxfxx (3)(3)及时化简，及时化简，(4)(4)多次使用多次使用.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系54例例1 10 0解解coslim.xxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院
33、数学系55以以HeineHeine定理为媒介定理为媒介,计算数列极限计算数列极限.例例11.11.nnn100lim100 解：解：01001lim)100(ln!100100ln100100lim100lim10099100 xxxxxxxx0100lim100 nnn原式原式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系56例例1212,)(10nnnxaxaaxPn 次多项式次多项式求求()()(0).xnneP xo xx使解解)()(nnxxoxPe nkxxPeknxx,2,1,0,0)(lim0 100)(,0000 aaexPeknx取取1)(lim)(lim,100
34、xPexxPeknxxnxx 取取11 a,1)0(10aPen xxPexxPeknxxnxx2)(lim)(lim,2020 取取2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系57!212 a.02)(lim0 xPenxx.,2,1,0,!1nkkak )(!212nnxxonxxxe 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系58三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系59思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系60思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在
