1、 2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下） 第一次段考数学试卷第一次段考数学试卷 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1的绝对值是（ ） A B C2 D2 2下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 3成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为 （ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 4下列计算正确的是（ ） A2a+3a
2、6a B （3a）26a2 C （xy）2x2y2 D32 5如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（ ） A45 B48 C50 D58 6在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的 7 次成绩如统计图所示，则这 7 次成绩的中位 数和平均数分别是（ ） A9.7m，9.9m B9.7m，9.8m C9.8m，9.7m D9.8m，9.9m 7如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ） A球 B圆锥 C圆柱 D棱柱 8已知抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（ ） A2 B4 C2 D4 9为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买
3、 2 个排球和 3 个实心球共需 95 元，若购买 5 个排球和 7 个实心球共需 230 元，若设每个排球 x 元，每 个实心球 y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ） A B C D 10如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若 BD 6，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C6 D3 11如图，一艘快艇从 O 港出发，向东北方向行驶到 A 处，然后向西行驶到 B 处，再向东 南方向行驶，共经过 1 小时到 O 港，已知快艇的速度是 60km/h，则 A，B
4、 之间的距离是 （ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，已知 mn，函数 yx2+（m+n）x+mn 的图象与 x 轴有 a 个交点， 函数 ymnx2+（m+n）x+1 的图象与 x 轴有 b 个交点，则 a 与 b 的数量关系是（ ） Aab Bab1 Cab 或 ab+1 Dab 或 ab1 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13已知二次根式有意义，则满足条件的 x 的最大值是 14分解因式：m24m+4 15不等式组的解集是 16如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时， 指针落在红色区域的概率等于 17如图，扇形纸扇完全打开后，
5、外侧两竹条 AB，AC 夹角为 150，AB 的长为 18cm，BD 的长为 9cm，则纸面部分 BDEC 的面积为 cm2 18如图，正方形 ABCD 中，AB2，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE 2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE、CF则线段 OF 长 的最小值为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： 20化简求值：，其中 x 21某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图： 频数 频率 体育 40 0.4 科技 25 a 艺术 b 0.15 其它 20 0.2 请根据上图完成下
6、面题目： （1）总人数为 人，a ，b （2）请你补全条形统计图 （3）若全校有 600 人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？ 22如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为 A（4，1） ，B（2，3） ，C（1， 2） （1） 画出ABC 关于原点 O 成中心对称的ABC， 点 A， B， C分别是点 A， B，C 的对应点 （2）求过点 B的反比例函数解析式 （3）判断 AB的中点 P 是否在（2）的函数图象上 23东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又 用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但
7、每套进价多了 5 元 （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠 球的售价至少是多少元？ 24如图，在矩形 ABCD 中，AD5，CD4，点 E 是 BC 边上的点，BE3，连接 AE， DFAE 交于点 F （1）求证：ABEDFA； （2）连接 CF，求 sinDCF 的值； （3）连接 AC 交 DF 于点 G，求的值 25若抛物线与 x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线” （1）判断抛物线 C1：yx22x 是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称 轴和顶点坐标；如果不是，
8、说明理由 （2）若抛物线 C2：yax2+2x+c 为“等边抛物线” ，求 ac 的值； （3）对于“等边抛物线”C3：yx2+bx+c，当 1xm 时，二次函数 C3的图象落在一 次函数 yx 图象的下方，求 m 的最大值 26如图，二次函数 y2mx2+5mx12m（m 为参数，且 m0）的图象与 x 轴交于点 A、B， 与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） （1）求直线 AC 的解析式（用含 m 的式子表示） （2）若 m，连接 BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由 （3）在（2）的条件下，设点 M 为 AC 上方的抛物线上一动点（与点 A，C 不重合） ，以
9、M 为圆心的圆与直线 AC 相切，求M 面积的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1的绝对值是（ ） A B C2 D2 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可 【解答】解：|， 故选：B 2下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
10、个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进 行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C 3成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为 （ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答 【解答】解：0.00000464.610 6 故选：C 4下列计算正确的是（ ） A2a+
11、3a6a B （3a）26a2 C （xy）2x2y2 D32 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运 算即可； 【解答】解：2a+3a5a，A 错误； （3a）29a2，B 错误； （xy）2x22xy+y2，C 错误； 2，D 正确； 故选：D 5如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（ ） A45 B48 C50 D58 【分析】根据平行线的性质解答即可 【解答】解：ABCD， B1， 1D+E， DBE752748， 故选：B 6在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的 7 次成绩如统计图所示，则这 7 次成绩的中位 数和平均数分别是（ ） A
12、9.7m，9.9m B9.7m，9.8m C9.8m，9.7m D9.8m，9.9m 【分析】将这 7 个数据从小到大排序后处在第 4 位的数是中位数，利用算术平均数的计 算公式进行计算即可 【解答】解：把这 7 个数据从小到大排列处于第 4 位的数是 9.7m，因此中位数是 9.7m， 平均数为： （9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）79.8m， 故选：B 7如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ） A球 B圆锥 C圆柱 D棱柱 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由
13、俯视图为圆形可得 为圆柱 故选：C 8已知抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】根据（2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴 x1，再由对称轴的 x即 可求解； 【解答】解：抛物线 yx2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点， 可知函数的对称轴 x1， 1， b2； yx2+2x+4， 将点（2，n）代入函数解析式，可得 n4； 故选：B 9为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买 2 个排球和 3 个实心球共需 95 元，若购买 5 个排球和 7 个实心球共需 230 元，若设每个排球
14、x 元，每 个实心球 y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ） A B C D 【分析】根据“购买 2 个排球和 3 个实心球共需 95 元，购买 5 个排球和 7 个实心球共需 230 元”可得 【解答】解：设每个排球 x 元，每个实心球 y 元， 则根据题意列二元一次方程组得：， 故选：B 10如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若 BD 6，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C6 D3 【分析】由作图过程可得 DN 是 AB 的垂直平分线，ADBD6，再
15、根据直角三角形 30 度角所对直角边等于斜边一半即可求解 【解答】解：由作图过程可知： DN 是 AB 的垂直平分线， ADBD6 B30 DAB30 C90， CAB60 CAD30 CDAD3 故选：D 11如图，一艘快艇从 O 港出发，向东北方向行驶到 A 处，然后向西行驶到 B 处，再向东 南方向行驶，共经过 1 小时到 O 港，已知快艇的速度是 60km/h，则 A，B 之间的距离是 （ ） A B C D 【分析】根据AOD45，BOD45，ABx 轴，AOB 为等腰直角三角形，OA OB，利用三角函数解答即可 【解答】解：AOD45，BOD45， AOD90， ABx 轴， BA
16、OAOC45，ABOBOD45， AOB 为等腰直角三角形，OAOB， OB+OA+AB60km， OBOAAB， AB， 故选：B 12在平面直角坐标系中，已知 mn，函数 yx2+（m+n）x+mn 的图象与 x 轴有 a 个交点， 函数 ymnx2+（m+n）x+1 的图象与 x 轴有 b 个交点，则 a 与 b 的数量关系是（ ） Aab Bab1 Cab 或 ab+1 Dab 或 ab1 【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 a、b 的值，从而可以得到 a 和 b 的关 系，本题得以解决 【解答】解：函数 yx2+（m+n）x+mn 的图象与 x 轴有 a 个交点，mn， （
17、m+n）24mn（mn）20， a2； 函数 ymnx2+（m+n）x+1 的图象与 x 轴有 b 个交点，mn， 当 mn0 时，该函数为 y（m+n）x+1 与 x 轴有一个交点， b1； 当 mn0 时， （m+n）24mn（mn）20， b2； 由上可得，ab+1 或 ab， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13已知二次根式有意义，则满足条件的 x 的最大值是 【分析】 二次根式有意义， 则被开方数大于等于 0， 从而得关于 x 的不等式， 解得 x 范围， 则可得答案 【解答】解：二次根式有意义 34x0 x 满足条件的 x 的最大值是 故答案为： 14分解因式
18、：m24m+4 （m2）2 【分析】原式利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式（m2）2， 故答案为： （m2）2 15不等式组的解集是 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式1，得：x2， 解不等式x+74，得：x3， 则不等式组的解集为 x2， 故答案为：x2 16如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时， 指针落在红色区域的概率等于 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求 出指针落在红色区域的概率 【解答
19、】解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的， 所以指针指向每个扇形的可能性相等， 即有 6 种等可能的结果，在这 6 种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有 2 种可能 结果， 所以指针落在红色区域的概率是； 故答案为 17如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 150，AB 的长为 18cm，BD 的长为 9cm，则纸面部分 BDEC 的面积为 cm2 【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形 BAC 的面积减去扇形 DAE 的面积 【解答】解：SS扇形BACS扇形DAE（cm2） 故答案是： 18如图，正方形 ABCD 中，AB2，O 是 BC 边
20、的中点，点 E 是正方形内一动点，OE 2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE、CF则线段 OF 长 的最小值为 52 【分析】连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90得 DM，连接 OF，FM，OM，证 明EDOFDM，可得 FMOE2，由条件可得 OM5，根据 OF+MFOM，即 可得出 OF 的最小值 【解答】 解：如图，连接 DO，将线段 DO 绕点 D 逆时针旋转 90得 DM，连接 OF， FM， OM， EDFODM90， EDOFDM， DEDF，DODM， EDOFDM（SAS） ， FMOE2， 正方形 ABCD 中，AB2
21、，O 是 BC 边的中点， OC， OD5， OM5， OF+MFOM， OF52， 线段 OF 长的最小值为 52 故答案为：52 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 19计算： 【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算 【解答】解：原式2+2（2） 2+22+ 2 20化简求值：，其中 x 【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可 【解答】解：原式 x（x+1） x2x 当 x时，原式2 21某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图： 频数 频率 体育 40 0.4 科技 25 a 艺术 b 0.15 其它
22、20 0.2 请根据上图完成下面题目： （1）总人数为 100 人，a 0.25 ，b 15 （2）请你补全条形统计图 （3）若全校有 600 人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？ 【分析】 （1）根据“频率频数总数”求解可得； （2）根据频数分布表即可补全条形图； （3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得 【解答】解： （1）总人数为 400.4100 人， a251000.25、b1000.1515， 故答案为：100、0.25、15； （2）补全条形图如下： （3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有 6000.1590 人 22如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为
23、A（4，1） ，B（2，3） ，C（1， 2） （1） 画出ABC 关于原点 O 成中心对称的ABC， 点 A， B， C分别是点 A， B，C 的对应点 （2）求过点 B的反比例函数解析式 （3）判断 AB的中点 P 是否在（2）的函数图象上 【分析】 （1）首先确定 A、B、C 点关于原点对称的点的位置，再连接即可； （2）设过点 B的反比例函数解析式为 y，再代入 B点坐标即可得到 k 的值，进 而可得函数解析式； （3）首先确定点 P 坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案 【解答】解： （1）如图： （2）设过点 B的反比例函数解析式为 y， B（2，3） ， 3， k
24、6， 反比例函数解析式为 y； （3）A（4，1） ，B（2，3） AB的中点 P 坐标为（3，2） ， 3（2）6， 点 P 在（2）的函数图象上 23东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又 用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元 （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠 球的售价至少是多少元？ 【分析】 （1）设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5） 元，根据数量总价单价结合第
25、二批购进数量是第一批数量的 1.5 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设每套悠悠球的售价为 y 元，根据销售收入成本利润结合全部售完后总利润不 低于 25%，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】 解：（1） 设第一批悠悠球每套的进价是 x 元， 则第二批悠悠球每套的进价是 （x+5） 元， 根据题意得：1.5， 解得：x25， 经检验，x25 是原分式方程的解 答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元 （2）设每套悠悠球的售价为 y 元， 根据题意得：50025（1+1.5）y500900（500+900）25%， 解得：
26、y35 答：每套悠悠球的售价至少是 35 元 24如图，在矩形 ABCD 中，AD5，CD4，点 E 是 BC 边上的点，BE3，连接 AE， DFAE 交于点 F （1）求证：ABEDFA； （2）连接 CF，求 sinDCF 的值； （3）连接 AC 交 DF 于点 G，求的值 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明； （2） 连接 DE 交 CF 于点 H， 根据全等三角形的性质得到 DFABCD4， AFBE3， 证明DCHDEC，求出 sinDEC，得到答案； （3） 过点 C 作 CKAE 交 AE 的延长线于点 K， 根据平行线分线段成比例定
27、理得到 ，根据余弦的概念求出 EK，计算即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， B90，ADBC， 5，AEBDAF， 在ABE 和AFD 中， ， ABEAFD； （2）连接 DE 交 CF 于点 H ABEDFA， DFABCD4，AFBE3， EFCE2 DECF DCH+HDCDEC+HDC90 DCHDEC 在 RtDCE 中，CD4，CE2， DE2， sinDCFsinDEC （3）过点 C 作 CKAE 交 AE 的延长线于点 K 在 RtCEK 中， EKCEcosCEKCEcosAEB2 FKFE+EK 25若抛物线与 x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形
28、，则称该抛物线为“等边抛物线” （1）判断抛物线 C1：yx22x 是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称 轴和顶点坐标；如果不是，说明理由 （2）若抛物线 C2：yax2+2x+c 为“等边抛物线” ，求 ac 的值； （3）对于“等边抛物线”C3：yx2+bx+c，当 1xm 时，二次函数 C3的图象落在一 次函数 yx 图象的下方，求 m 的最大值 【分析】 （1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线 C1：yx22x 是“等边抛 物线” ；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标； （2）设等边抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A（x1，0） ，B（x2，0） ，知 AB|x1x
29、2| |，结合顶点坐标（，）知 ，据此求解可得； （3）由（2）中 b24ac12 知 c，结合等边抛物线过（1，1）求得 b6 或 b2，依据对称轴位置得 b6，联立，求得 x1 或 x6，从而得出答 案 【解答】解： （1）抛物线 yx22x 是“等边抛物线” 对称轴 x2，顶点坐标为 （2，2） 理由如下： 由 yx22xx （x2）知，该抛物线与 x 轴的交点是（0，0） ， （4，0） 又因为 yx22x（x2）22， 所以其顶点坐标是（2，2） 抛物线与 x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为 4， 抛物线 yx22x 是“等边抛物线” 对称轴 x2，顶点坐标为（2，2）
30、； （2）设等边抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 令 yax2+bx+c0， x， AB|x1x2| | | | | 又抛物线的顶点坐标为（，） ， 44ac0， |， ac2； （3）由（2）得 b24ac12， c， C3：yx2+bx+， 1xm 时，总存在实数 b，使二次函数 C3的图象在一次函数 yx 图象的下方，即抛 物线与直线有一个交点为（1，1） ， 该等边抛物线过（1，1） ， 1+b+1， 解得 b6 或 b2， 又对称轴 x1， b2， b6， yx26x+6， 联立， 解得 x1 或 x6， m 的最大值为 6 26如图，二次函数
31、y2mx2+5mx12m（m 为参数，且 m0）的图象与 x 轴交于点 A、B， 与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） （1）求直线 AC 的解析式（用含 m 的式子表示） （2）若 m，连接 BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由 （3）在（2）的条件下，设点 M 为 AC 上方的抛物线上一动点（与点 A，C 不重合） ，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，求M 面积的取值范围 【分析】 （1）由抛物线的解析式求出 C 点坐标，再用待定系数法求直线 AC 的解析式； （2）作点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 CB证明 ABCB便可得结论； （3）过 M 点 M
32、Ey 轴，交 AC 于点 E，设 M 点的横坐标为 m，用 m 表示 MD，再根据 二次函数的性质求得 MD 的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果 【解答】解： （1）令 x0，得 y2mx2+5mx12m12m， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b（k0） ，则 ， ， 直线 AC 的解析式为：y3mx12m； （2）CBA2CAB 理由如下： 如图 1，作点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 CB CBCB， CBACBO， m时，抛物线的解析式为：， C（0，2） ， OC2， 当 y0，得0， 解得 x4 或， A（4，0） ，B（，0） ， B（，0） ， AB，CB ABCB， CABACB， CBOCAB+ACB2CAB， CBA2CAB； （3）如图 2，以 MD 为半径做圆， 过 M 点 MEy 轴，交 AC 于点 E， 则MECACO， A（4，0） ，以（0，2） 直线 AC 的解析式为 y， 设 M（m，） （4m0） ，则 E（m，） ， ， 在 RtAOC 中，OC2，OA4，由勾股定理可得 AC2， sinMED， ， 由二次函数的性质知，当 m2 时，DE 有最大值为：， ， M 面积的最大值为：（）2， M 面积的取值范围为：0S M ，
