1、第二十一章第二十一章 重积分重积分 1 1 二重积分的概念二重积分的概念 2 2 直角坐标系下的二重积分的计算直角坐标系下的二重积分的计算 3 3 格林公式格林公式 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 4 4 二重积分的变量变换（换元积分法）二重积分的变量变换（换元积分法）5 5 三重积分的概念三重积分的概念 6 6 重积分的应用重积分的应用 1 1 二重积分的概念二重积分的概念一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、问题的提出二、问题的提出三、二重积分的定义三、二重积分的定义四、二重积分存在的条件四、二重积分存在的条件五、二重积分的性质五、二重积分的性质一、平面图形的面积一、平
2、面图形的面积为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，Doxy设平面图形设平面图形D有界有界,i则存在一个矩形则存在一个矩形R,使得使得RD 为了考察为了考察D的面积，先用的面积，先用一组平行于坐标轴的直线一组平行于坐标轴的直线网网T分割分割D，如图，如图T的网眼（小矩形）的网眼（小矩形）i可可以分为三类：以分为三类：(1)i上的点均是上的点均是D内的点；内的点；(2)i上的点均是上的点均是D的外点；的外点；Di 即即(3)i上的点含有上的点含有D的边界点。的边界点。首先讨论平面有界图形的面积。首先讨论平面有界图形的面积。Doxy(1)(1)(1)(1)(
3、3)(3)(3)(3)(2)(2)(2)将属于直线网将属于直线网T的第的第(1)类类小矩形的面积作和，记为小矩形的面积作和，记为)(TsD将属于直线网将属于直线网T的第的第(1)类类与第与第(3)类小矩形的面积作类小矩形的面积作和，记为和，记为)(TSD则有则有RDDTSTs )()(由确界原理可知：由确界原理可知：对于对于平面图形平面图形D的所有直线网的分割的所有直线网的分割T，.)(,)(有有下下确确界界有有上上确确界界数数集集TSTsDD记为记为)(supTsIDTD)(infTSIDTD 于是有于是有DDII 0.,的的外外面面积积为为的的内内面面积积为为通通常常称称DIDIDD(1)
4、定义定义1,DDIID等等于于其其外外面面积积的的内内面面积积若若平平面面图图形形则称则称D为可求面积，并将为可求面积，并将.的的面面积积值值称称为为DIIIDDD 定理定理21.1.1,0TD直直线线网网分分割割为为可可求求面面积积平平面面有有界界图图形形 )()(TsTSDD使得使得证明过程完全类似于定积分证明过程完全类似于定积分.推论推论00 DDIID面面积积平平面面有有界界图图形形定理定理21.1.2.的的面面积积为为零零的的边边界界为为可可求求面面积积平平面面有有界界图图形形DDD 定理定理21.1.3.,)(,的的面面积积为为零零则则曲曲线线的的图图象象连连续续函函数数上上的的是
5、是定定义义在在若若曲曲线线KxfbaK定理定理21.1.4.,)()(其其面面积积一一定定为为零零按按段段光光滑滑曲曲线线所所表表示示的的光光滑滑曲曲线线或或由由参参数数方方程程 tytx 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶),(yxfz D1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积二、问题的提出二、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体曲顶柱体：曲顶柱体：),(yxfz D以曲面以曲面：z=f(x,y)为顶，为顶，一般一般z=f(x,y)在在D上连续。上连续。以平面有界区域以平面有界区域D为底，为底，侧面是柱面，侧面是柱面，该柱面以该柱面以D为准线，为准
6、线，母线平行于母线平行于z轴。轴。还有其他类型的柱面。还有其他类型的柱面。步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoDi),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，),(yxfz 采用类似于求曲边梯形面积方法采用类似于求曲边梯形面积方法),(iiDi z=f(x,y)yxz(1)分割分割),2 ,1(:niDi 任任意意分分割割(2)作近似作近似iii ),(任任取取),2 ,1(),(nifViiii，(3)求和求和 niiii,fV1)(4)取极限取极限令令 直直径径
7、ini 1max niiii,fV10)(lim i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(1iinii xyo2、求平面薄片的质、求平面薄片的质量量0lim M 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点(x,y)处的面密度为处的面密度为 (x,y)，假定，假定 (x,y)在在D上连续，平上连续，平面薄片的质量为多少？面薄片的质量为多少？iiniiTf ),(lim10定义定义1 设设f(x,y
8、)在有界闭域在有界闭域D上有界，若对于上有界，若对于D的任的任意分割和意分割和在在i上任意取上任意取(i,i)，作积、作和，作积、作和，niiiiT,f10)(lim 存在，则称其为存在，则称其为f(x,y)在在D上的上的二重积分二重积分，记为，记为三、二重积分的概念三、二重积分的概念 Ddyxf),(分分划划细细度度若极限若极限.,max的的直直径径为为的的细细度度记记分分割割iiiiddTT 简单的说简单的说定义定义2 设设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭域是定义在可求面积的有界闭域D上的上的函数函数,J为一个常数为一个常数,若若0,总总0,使得使得对于对于D的任意的任意分割分割T,当
9、他的分割细度当他的分割细度|T|,属于属于T的所有积分和均有的所有积分和均有 Jfiinii),(1则称函数则称函数f(x,y)在在D上可积上可积,数数J称为称为f(x,y)在在D上的二上的二重积分重积分.iiniiTf ),(lim10 Ddyxf),(分分划划细细度度当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积;当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值的负值.若位于若位于xoy面上方柱体的体积为正值；面上方柱体的体积为正值；位于位于xoy面下方柱体的体积为负值，面下方柱体的体积为负值，二重积分的几何意义是柱体
10、的体积的代数和。二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。曲顶柱体体积曲顶柱体体积 DyxfV d),(DyxfM d),(平面薄片的质量平面薄片的质量对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1)二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是任意的。是任意的。(2)二重积分的几何意义二重积分的几何意义 DDdxdyyxfdyxf),(),(在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，dxdyd 故二重积分在直角坐标系中可故二重积分在直角坐标系中可写为写为xyo则面积元素为则面积元素为积分变量积分变量
11、二重积分的具体形式二重积分的具体形式dxdy(3)与定积分相似与定积分相似,若若函数函数f(x,y)在在D上可积上可积,可采用特殊可采用特殊的分割的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重积分值积分值.四、二重积分可积的条件四、二重积分可积的条件什么样的函数可积什么样的函数可积?类似于定积分类似于定积分.),(,),(上上有有界界在在则则上上可可积积在在有有界界可可求求闭闭区区域域设设函函数数DyxfDyxf1 必要条件必要条件令令个个可可求求面面积积的的小小区区域域分分成成将将任任一一分分割割的的为为上上有有界界在在有有界界可可求求闭闭区区域域设设函
12、函数数,),(1nnDDTDyxf ),1(),(inf ),(sup),(),(niyxfmyxfMiiyxiyxi )(,)(11 niiiniiimTsMTS 属于分割属于分割T的上和的上和属于分割属于分割T的下和的下和定理定理21.2.52 可积的充分条件可积的充分条件上和、下和的性质类似于定积分上和、下和的性质类似于定积分于是有于是有2 可积的充要条件可积的充要条件定理定理21.1.6)(lim)(lim),(00TsTSDyxfTT 上可积上可积在在定理定理21.1.7上可积上可积在在Dyxf),()()(,0TsTSTD使使得得的的一一个个分分割割定理定理21.1.8.),(上上
13、可可积积在在上上的的连连续续函函数数有有界界闭闭区区域域DyxfD定理定理21.1.9.),(,),(,),(上上可可积积在在则则曲曲线线上上条条光光滑滑的的不不连连续续点点都都落落在在有有限限若若函函数数上上的的有有界界是是定定义义在在有有界界闭闭区区域域设设函函数数DyxfyxfDyxf证明见教材证明见教材P P215-216215-216性质性质3对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质4 若若 为为D的面积的面积,.1 DDdd 性质性质5若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.)
14、,(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有性质性质1当当k为常数时，为常数时，.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质2（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）五、二重积分的性质五、二重积分的性质 DDdyxgdyxf ),(),(Ddyxgyxf),(),(性质性质6性质性质7（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm ),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）则则的的面面积积是是上上的的最最大大值值、最最小小值值在在闭闭区区域域是是设设,),(,DDyxfmM 使使得得上上至至少少存存在在一一点点则则在在的的面面积积是是上上
15、连连续续在在闭闭区区域域设设函函数数),(,),(DDDyxf ),(),(fdyxfD解解 ab 例例1 不作计算，估计不作计算，估计 其其中中的的值值,)(22 deIDyx )0(,12222abbyaxD 是是椭椭圆圆闭闭区区域域2220ayx 在在D上上,12220ayxeee ,222)(aDyxede 由性质由性质6知知.2aeab deDyx)(22区域区域D的面积的面积,ab估计估计 DxyyxdI16222 的值，的值，其中其中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最
16、小值的最小值5143122 m)2,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解例例2 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.当当1 yxr时时,1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又当又当 1 yx时时,0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例3比比较较积积分分 Ddyx)ln(与与 Ddyx 2)ln(的的大大小小,其其中中 D是是三三角角形形闭闭区区域域,三三顶顶点点各各为为(1,0),(1,1),(2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln(yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121D例例4二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积代数和）（曲顶柱体的体积代数和）（和式的极限）（和式的极限）小结小结（线性、区域可加性、估值不等式）（线性、区域可加性、估值不等式）
