1、 1956 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1甲、利用对数性质计算 lg 2 5+lg2lg50. 解：原式=lg 2 5+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1. 乙、设 m 是实数，求证方程 2x 2-(4m-1)x-m2-m=0 的两根必定都是 实数 奎屯 王新敞 新疆 证：二次方程当其判别式不小于零时，它的两根为实数 奎屯 王新敞 新疆 由. 124)(24)14( 222 +=mmmm . 0, 0 2 m故原方程的两根均为实数 奎屯 王新敞 新疆 丙、设 M 是ABC 的边 AC 的中点，过 M 作直线交 AB
2、 于 E，过 B 作 直线平行于 ME 交 AC 于 F 奎屯 王新敞 新疆求证AEF 的面积等于ABC 的面积的一半 奎屯 王新敞 新疆 证：连 MB， 则AEF 的面积=AEM 的面积+MEF 的面积 =AEM 的面积+MEB 的面积 =ABM 的面积= 2 1 ABC 的面积（三角形的中线 BM 二等分ABC 的面积） 丁、一个三角形三边长分别为 3 尺，4 尺及37尺，求这个三角形 的最大角的度数 奎屯 王新敞 新疆 解：该三角形的最大边长为37，所以它所对的角最大，设此角 为，由余弦定理可得 .12060180 2 1 432 )37(43 cos 222 = = + = A B C
3、 F E M 戊、设076 2 =+xxtgtg是方程和的两根 奎屯 王新敞 新疆 求证：)cos()sin(+=+ 证：由根与系数关系可知： )cos()sin( 1 1 )( . 7 , 6 +=+ = + =+ = =+ tgtg tgtg tg tgtg tgtg 因 2解方程组 . 0)4)(3( , 0127)() 1 (: )2(136 ) 1 (127 22 =+ =+ =+ =+ yxyx yxyx yx yxyx 式可得由解 = = = = + = = = + = = =+=+ = = =+ =+=+ =+=+ . 6 ,10 ;10 , 6 ; 2 1919 , 2 19
4、19 ; 2 1919 , 2 1919 , . 6 ,10,10, 6 , 0120322,136)16()2()4( . 2 1919 , 2 1919 055182,136)9()2()3( )4(16,16, 04 )3(9, 9, 03 4 4 3 3 2 2 1 1 222 222 y x y x y x y x yx xxxx yx xxxx xyyxyx xyyxyx 其解为综上 即得代入将 即得代入将 由此可得 经检验，这四组解均为原方程组的解 奎屯 王新敞 新疆 3 设 P 为等边ABC 外接圆的 BC 上的一点， 求证： PA 2=AB2+PB PC 证：在ABP 和AD
5、B 中， BAP=DAB 为公用角， 又APB=ACB=ABD=60 0 ABPADB， A B P C AB 2=PAAD（1） 同理可证BPDAPC， , PC PA PD PB =PBPC=PAPD（2） （1） 、 （2）式左、右两边分别相加，则得 AB 2+PBPC=PA（AD+PD）=PA2， PA 2=AB2+PBPC 奎屯 王新敞 新疆 4有一个四棱柱，底面是菱形 ABCD，AAB=AAD（如图） 奎屯 王新敞 新疆求证：平面 AACC垂直于底面 ABCD 奎屯 王新敞 新疆 证：设底面是菱形 ABCD 的对角线相交于 O，联结 AD，AO，AB 奎屯 王新敞 新疆 在AAB
6、与AAD 中， AA=AA，AAB=AAD，AB=AD， AABAAD，AB=AD， ABD 为等腰三角形 又O 为 DB 的中点，AODB 奎屯 王新敞 新疆 由菱形性质，DBAC，DB 垂直于底面 AACC 但底面 ABCD 是经过 DB 的 故 平面 AACC垂直于底面 ABCD 奎屯 王新敞 新疆 5若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是 60 0; 若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是 60 0，试证明之 奎屯 王新敞 新疆 证（1， ）设ABC 的三个角为 A、B、C，由题意可得 B-A=C-B，2B=A+C 但A+B+C=180 0，即 3B=1800，B=600. A B CD A B C D O 证（2） ，由（1）已知ABC 必有一个角为 60 0，今设B=600. ABC 的三边cba,成等比级数， . 2 acb = 又由余弦定理可得,2,cos2 222222 accabBaccab+=+= = = =+ 60 ,60 .0)( , 02 222 CA BCBAB cacaacca 故ABC 为等边三角形，即其三个内角均为 60 0.
