1、 1977 年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案 1解答下列各题： （1）叙述函数的定义 奎屯 王新敞 新疆 答：略 奎屯 王新敞 新疆 （2）求函数 x y 32 1 1 =的定义域 奎屯 王新敞 新疆 解：由. 3 2 032xx解得 （3）计算.) 8 27 ()5 . 0(1 3 1 2 解：原式=2 奎屯 王新敞 新疆 （4）计算. 2log4 解：原式= 2 1 奎屯 王新敞 新疆 （5）分解因式 x 2y-2y3. 解：原式=).2)(2(yxyxy+ （6）计算). 4 3 ( 6 25 cos 3 4 sin tg 解：原式=. 4 3 46 cos) 3 sin(
2、= tg 2证明：从圆 O 外一点 P 向这个圆所引的两条切线 PA、PB 所成的角 APB 被 PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图） 奎屯 王新敞 新疆 解：已知：圆 O 及圆 O 外一点 P，PA、PB 是圆 O 的切线，A、B 是切 点（如图） ， 求证：OPA=OPB 奎屯 王新敞 新疆 证明：联结 OA、OB 奎屯 王新敞 新疆 OAP=OBP=90 0 在直角OPA 与直角OPB 中，OA=OB，OP=OP， OPAOPB，OPA=OPB 奎屯 王新敞 新疆 3证明：. 2 1 2 1 2sin2cos1 12sin += + + tg 证：左边= )sin(cosco
3、s2 )cos(sin cossin2cos2 cossincossin2 2 2 22 + + = + + + = cos2 cossin 2 1 2 1 +=tg=右边 4已知),6lg(2lglg2+=+xx求 x 奎屯 王新敞 新疆 解：由原方程可得 )( 2 3 , 2, 062 ),6lg(2lg 2 2 增根= += xxxx xx 故原方程的解为 x=2. 5某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角 为 135 0的两面墙，另外两边是总长为 30 米的篱笆（如图，AD 和 DC 为墙） ， 问篱笆的两边各多长时， 苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 解：如图，设
4、BC 长为 x，苗圃面积为 S. 过 D 作 DEAB 交 AB 于 E. 由已知条件可得 AB=30-x， DAB=45 0， A P O B D C 1350 450 A E B AE=DE=BC=x， CD=BE=AB-AE=30-2x， .150)10( 2 3 )360( 2 1 )( 2 1 2 +=+=xxxBCABCDS 由此可知，当 x=10 时，S 取最大值 奎屯 王新敞 新疆所以，当 BC=10 米，AB=20 米时， 苗圃面积最大，这时 S=150 米 2 奎屯 王新敞 新疆 6 工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器 （上面开口） ， 使其容积为 208 立方
5、米，高为 4 分米，上口边长与下底面边长的比为 5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加 工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可） 解：设正四棱台形容器上口边长 AB=5x，则下底面边长 A1B1=2x， 设表面积为 S 奎屯 王新敞 新疆 因正四棱台的体积 )(56. 1)(156 ) 2 410 (4)410( 2 1 44 )( 2 1 4 ).(4),(10 , 2, 4 ,25)2()5(4 3 1 208 ).( 3 1 222 111 2 11 11 2 22 2121 平方米平方分米 由此可得 分米分米 = += += = = += += FFB
6、AABBAS BAAB xx xxxx sssshV 故共需铁皮 1.56 平方米 奎屯 王新敞 新疆 7已知：如图，MN 为圆的直径，P、C 为圆上两点，连 PM、PN，过 C 作 MN 的垂线与 MN、MP 和 NP 的延长线依次相交于 A、B、D，求证： C B E F D A C1 E1 B1 F1 D1 A1 H E F E1 F1 AC 2=ABAD 奎屯 王新敞 新疆 证：在ABM 与AND 中， BAM=NAD=90 0 AMB=ADN=90 0-MND， ABMAND， AB:AN=AM:AD, ANAM=ABAD 又在直角MCN 中，ACMN， AC 2=AMAN 由，得
7、AC 2=ABAD 奎屯 王新敞 新疆 8下列两题选做一题 奎屯 王新敞 新疆 （甲）已知椭圆短轴长为 2，中心与抛物线 y 2=4x 的顶点重合，椭圆 的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长 奎屯 王新敞 新疆 解：设所求之椭圆方程为 1 2 2 2 2 =+ b y a x 2b=2,b=1. 由抛物线方程 y 2=4x 可知它的焦点而（1，0） ，所以点（1，0）也是 椭圆的一个焦点，于是 c=1,从而,2, 2 222 =+=acba 故所求之椭圆方程为1 2 2 2 =+ y x ，长轴的长为22 奎屯 王新敞 新疆 （乙）已知菱形的一对内角各为 60 0，边长为 4，
8、以菱形对角线所在 的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形 60 0角的两个顶点为焦点， D C P B M N A 并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程 奎屯 王新敞 新疆 解：设以菱形内角为 60 0的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为 X 轴，建立直角坐标系 设欲求之椭圆方程为 1 2 2 2 2 =+ b y a x 奎屯 王新敞 新疆 由图及已知条件可得 b=BO=BCsin30 0=2 a=BC=4. 故所求之椭圆方程为 . 1 416 22 =+ yx 参考题参考题 1将函数 x exf=)(展开为 x 的幂级数，并求出收敛区间 奎屯 王新敞 新疆（e=2.718 为 自然对
9、数的底） )2 , 1(| )(| , . 1)0()0()0()0( .)()()(,)(: = = = = = neexf rxr ffff exfxfxfexf rxn n xnx 有上函数在区间 解 所以函数 x e可以在区间-r，r上展开成幂级数，因为 r0 是任意的， 所以，函数 x e在区间),(+上可展成幂级数，特别的它的马克劳林 级数是 += ! 3! 2 1 32 n xxx xe n x 2利用定积分计算椭圆)0(1 2 2 2 2 =+ba b y a x 所围成的面积 奎屯 王新敞 新疆 Y B C 300 C O X B 解：因为椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 关于 x 轴和 y 轴都是对称的，所以所求之面 积为 . 2 22cos 2 2 2 2cos1 4)(cos4coscos4 cos,cossin ) 2 0.(sin.44 2 0 2 0 2 0 2 2 0 22222 0 22 0 ababdab dabdabdaa a b s dadxaaaxa axdxxa b a ydxs aa = =+ = + = = = 则 令
