1、 1981 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（理科） 一 （本题满分一 （本题满分 6 6 分）分） 设A表示有理数的集合， B表示无理数的集合， 即设A=有理数， B=无 理数，试写出：1.AB, 2.AB. 解：1.AB=实数,2.AB= 奎屯 王新敞 新疆 二 （本题满分二 （本题满分 6 6 分）分） 在 A、B、C、D 四位候选人中， （1）如果选举正、副班长各一人，共 有几种选法？写出所有可能的选举结果： （2）如果选举班委三人，共 有几种选法？写出所有可能的选举结果 奎屯 王新敞 新疆 解：1.选举种数 P4 2=12（种）所有可能的选举结果
2、： AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC 奎屯 王新敞 新疆 2.选举种数 C4 3=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD 奎屯 王新敞 新疆 三 （本题满分三 （本题满分 8 8 分）分） 下表所列各小题中，指出 A 是 B 的充分条件，还是必要条件，还 是充要条件，或者都不是 奎屯 王新敞 新疆 A B A是B的什么条 件 1 四边形 ABCD 为 平行四边形 四边形 ABCD 为 矩形 必要条件 2 a=3 |a|=3 充分条件 3 =150 0 sin= 2 1 充分条件 4 点（a,b)在圆 x 2+y2=R2上 a 2+b
3、2=R2 充要条件 解：见上表 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 8 8 分）分） 写出余弦定理（只写一个公式即可） ，并加以证明 奎屯 王新敞 新疆 证二：解析法：以 A 为原点，射线 AB 为 x 轴正向，建立直角坐标系， 则得 A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得： a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c2-2bccosA. 五 （本题满分五 （本题满分 1010 分）分） 解不等式（x 为未知数） ： . 0 cxba cbxa cbax 解：右式=x 2(x-a-b-c)0 原不等式解是 x0
4、,xa+b+c 奎屯 王新敞 新疆 六 （本题满分六 （本题满分 1010 分）分） 用数学归纳法证明等式 Y C b a A O c B X n n n x xxxxx 2 sin2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 32 = 对一切自然数 n 都成立 奎屯 王新敞 新疆 证：略 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题满分七 （本题满分 1515 分）分） 设 1980 年底我国人口以 10 亿计算 奎屯 王新敞 新疆 （1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达 到多少？ （2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递 增率
5、最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数 x（亿）是等比数列 10,101.02,10（1.02） 2，的第 21 项，即 x=10（1.02） 20, 两边取对数，得 lgx=1+20lg1.02=1.17200, x=14.859（亿) 2设人口每年比上年平均递增率最高是 y
6、%，按题意得 10（1+y%) 2012， （1+y%) 201.2. 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)lg1.2. 即 lg(1+y%)0.00396. 1+y%1.0092,y%0.0092. 答：略 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1717 分）分） 在 120 0的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内， 分别有点 A 和点 B 奎屯 王新敞 新疆已知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4，且线段 AB=10， 1求直线 AB 和棱 a 所成的角; 2求直线 AB 和平面 Q 所成的角 奎屯 王新敞 新疆 解
7、：1.在平面 P 内作直线 ADa 于点 D;在平面 Q 内， 作直线 BEa 于点 E， 从点 D 作 a 的垂线与从点 B 作 a 的平行线相交于点 C 奎屯 王新敞 新疆 ABC 等于 AB 和 a 所成的角 奎屯 王新敞 新疆 ADC 为两面角 P-a-Q 的平面角， ADC=120 0 奎屯 王新敞 新疆又 AD=2，BCDE 为矩形，CD=BE=4 奎屯 王新敞 新疆 连接 AC，由余弦定理得. 72=AC 又因 ADa,CDa,所以 a 垂直于ACD 所在的平面 奎屯 王新敞 新疆再由 BCa 得知 BC 垂直于ACD 所在的平面，BCAC 奎屯 王新敞 新疆 在直角ABC 中，
8、, 5 7 sin= AB AC ABC P 1200 Q E B A F D C 5 7 arcsin=ABC 2在ACD 所在的平面内，作 AFCD 交 CD 的延长线于点 F 奎屯 王新敞 新疆 因为ACD 所在的平面平面 Q，AF平面 Q 奎屯 王新敞 新疆 在ADF 中，ADF=60 0，AD=2，AF= 360sin2= 连结 BF，于是ABF 是 AB 和平面 Q 所成的角，而ABF 为直角三角 形，所以. 10 3 arcsin. 10 3 sin=ABF AB AF ABF 九 （本题满分九 （本题满分 1717 分）分） 给定双曲线. 1 2 2 2 = y x 1过点 A
9、（2，1）的直线 L 与所给的双曲线交于两点 P1及 P2，求线 段 P1P2的中点 P 的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 2过点 B（1，1）能否作直线 m，使 m 与所给双曲线交于两点 Q1及 Q2，且点 B 是线段 Q1Q2的中点？这样的直线 m 如果存在，求出它的方 程;如果不存在，说明理由 奎屯 王新敞 新疆 解：设直线 L 的方程为 y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得： (2) 0344)24()2( 2222 =+kkxkkxk 又设 P1（x1,y1),P2(x2,y2),),(yxP则 x1,x2必须是（2）的两个实根，所 以有 ).02( 2 24
10、2 2 2 21 =+k k kk xx 按题意，. 2 2 ),( 2 1 2 2 21 =+= k kk xxxx 因为),(yx在直线（1）上，所以 . 2 ) 12(2 1)2 2 2 (1)2( 22 2 =+ =+= k k k kk kxky 再由yx,的表达式相除后消去 k 而得所求轨迹的普通方程为 , 1 7 ) 2 1 (4 7 ) 1(8 2 2 = y x 这就是所求的轨迹方程 奎屯 王新敞 新疆 2设所求直线方程为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得 (3) 032)22()2( 2222 =+kkxkkxk 设 21222111 ,),(),(xxyxQy
11、xQ则必须是（3）的两个实根，即 . 2 22 2 2 21 =+ k kk xx如果 B 是 Q1Q2的中点，就有1 21 =+ xx，即2 21 =+ xx， 所以有. 2 2 22 2 2 = k kk 综合起来，k 应满足 = + . 2 2 22 , 0)32)(2(4)22( )( 2 2 2222 k kk kkkkk I 由第二式解出 k=2，但 k=2 不满足第一式，所以（I)无解 奎屯 王新敞 新疆 故满足题设中条件的直线不存在 奎屯 王新敞 新疆 十 （附加题，本题满分十 （附加题，本题满分 2020 分，计入总分）分，计入总分） 已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方
12、形 CDEF，其边长为 1 （ 如 图 ） 设AC=a ， BC=b ， 作 数 列u1=a-b ， u2=a 2-ab+b2, u3=a 3-a2b+ab2-b3,，u k=a k-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk; 求证：un=un-1+un-2(n3) 证：通项公式可写成 uk=a k-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk= ba ba kkk + +111 ) 1( 因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=ACBC=CD 2=1 奎屯 王新敞 新疆 111 2 111 n1 1 n 111 1 12 ( 1) ( 1) ab a( 1) , ( 1)( 1) () a( 1)( 1) ( 1) nnn n nnn nn nnnnnn n nnnnn nn nn ab u ab ab ab bab ab abab uab abab a babb ab a uu + + = + = + = + = + = + += 故得 于是有 11 . n n b u ab + = + E D A B F O C
