1、 1982 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学（文科） 一 （本题满分一 （本题满分 8 8 分）分） 填表： 函 数 使函数有意义的 x 的实数范围 1 2 xy= 0 2 2 )( xy= R 3 x y lg 10= (0,+） 4 x y10lg= R 解：见上表 奎屯 王新敞 新疆 二 （本题满分二 （本题满分 7 7 分）分） 求（-1+i) 20展开式中第 15 项的数值; 解：第 15 项 T15=.38760)() 1( 6 20 14614 20 =CiC 三 （本题满分三 （本题满分 7 7 分）分） 方程 曲线名称 图形 1. 4x
2、2+y2=4 椭圆 y o x 2. x-3=0 直线 y o x 解：见上图 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 1010 分）分） 已知, 1, 2 1 22 =+=yxyx求 22 yx 的值 奎屯 王新敞 新疆 解： . 4 7 )(, 2 7 , 4 7 4 3 1)(, 4 3 4 1 12 , 4 1 2, 4 1 )( 22 2 222 =+=+ =+=+= =+= yxyxyxyx yxxy yxyxyx 得 即 （注：三角换元法解亦可 奎屯 王新敞 新疆） 五 （五 （本题满分本题满分 1010 分）分） 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱
3、笆 隔开（如图） 奎屯 王新敞 新疆已知篱笆的总长为定值 L，这块场地的长和宽各为多少 时场地的面积最大？最大面积是多少？ 解：设长方形场地的宽为 x，则长 为 L-3x，它的面积 . 12 ) 6 ( 3 3)3( 2 2 2 LL x LxxxLxy += += 当 宽 6 L x =时 ， 这 块 长 方 形 场 地 的 面 积 最 大 ， 这 时 的 长 为 , 26 33 LL LxL=最大面积为. 12 2 L 答：略 奎屯 王新敞 新疆 六 （本题满分六 （本题满分 1212 分）分） 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为a， 1用平面 A1BC1截去一角后，求剩余部分
4、的体积; 2求 A1B 和 B1C 所成的角 奎屯 王新敞 新疆 解：1.BB1 平面 A1B1C1D1， A1B1C1是棱锥 B-A1B1C1的底， BB1是棱锥的高，A1B1C1的面积= 2 2 1 a， 截下部分体积=, 62 1 3 1 3 1 3 3 2 1111 a a aaCBABB=正方体体积的面积 剩余部分体积=. 6 5 6 1 333 aaa= 2.连结 D1C 和 D1B1， ，四边形 A1BCD1是平行四边形，A1B D1C，B1CD1即 A1B 与 B1C 所成的角， 正方体各面上对角线的长度相等，即 D1B1=B1C=D1C， D1CB1是等边三角形 奎屯 王新敞
5、 新疆D1CB1=600， A1B 与 B1C 成 60 0的角 奎屯 王新敞 新疆 七 （本题满分七 （本题满分 1212 分）分） 已知定点 A，B 且 AB=2a，如果动点 P 到点 A 的距离和到点 B 的距离 之比为 21，求点 P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 奎屯 王新敞 新疆 解：选取 AB 所在直线为横轴，从 A 到 B 为正方向，以 AB 中点 O 为原 点，过 O 作 AB 的垂线为纵轴，则 A 为（-a，0） ， B 为（a，0） ，设 P 为（x,y) 奎屯 王新敞 新疆 D1 C1 A1 B1 D C A B D1 C1 A1 B1 D C A B BCDA/
6、11 . 033103 ,)(4)( . 2 )( )( , 1 2 222 2222 22 22 =+ +=+ = + + = ayaxx yaxyax yax yax PB PA 因为 x 2,y2两项的系数相等，且缺 xy 项，所以轨迹的图形是圆 奎屯 王新敞 新疆 八 （本题满分八 （本题满分 1616 分）分） 求+3512431179ctgtgctgtg的值 奎屯 王新敞 新疆 解： 九 （本题满分九 （本题满分 1818 分）分） 如图，已知AOB 中，OA=b，OB=a,AOB=(ab,是锐角） 奎屯 王新敞 新疆作 AB1 OB，B1A1BA;再作 A1B2OB，B2A2BA
7、;如此无限连续作下去 奎屯 王新敞 新疆设 ABB1，A1B1B2，的面积为S1，S2，求无 穷数列 S1，S2，的和 奎屯 王新敞 新疆 解：AB1= ， BB1=cosba （对一切 n1 成立，此时视 A0B0为 AB） 奎屯 王新敞 新疆 ABB1A1B1B2A2B2B3， O A2 B3 A1 B2 A B1 B 4 54sin 54sin 4 54sin18sin 18sin36cos2 2 54sin18sin 18sin54sin 2 54sin 2 18sin 2 )2727()99( 927279 = = = = = += += ctgtgctgtg ctgctgtgtg原
8、式 sinb = = = coscos cos , ),sin(sin 2 1 2 1 1 1 111 2211 111 a b OB OA OB OA OB OB BA BA BOABOAOAB babBBABS n n n n nn nn . )cos(2 sin )cos(1 )cos(sin 2 1 ! )(lim , , 1)cos(0,.)cos( ,)cos()( 2 2 1 321 321 22 22 11 1 + = = =+ = = + ba ba a b bab q S SSSS SSS a b ba a b Q a b BA BA S S n n nn nn n n 是无穷递缩等比数列数列 是锐角即公比
