1、 1986 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 一 （本题满分一 （本题满分 3030 分）分） （1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ） （A）) 4 sin 4 (cos2 i （B）) 4 sin 4 (cos2 + i （C）) 4 cos 4 (sin2 i （D）) 4 cos 4 (sin2 i （2）函数15 += x y的反函数是 （ C ） （A）) 1(log5+=xy （B）15log+= x y （C）) 1(log5=xy （D）5log )1( = x y （3）已知全集 I=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，4，5，B=1，
2、3，6，那么集合2，7，8是 （ D ） （A）AB （B）AB （C）AB （D）AB （4）函数xxy2cos2sin2=是 （ A ） （A）周期为 2 的奇函数 （B）周期为 2 的偶函数 （C）周期为 4 的奇函数 （D）周期为 4 的偶函数 （5）已知 c0，在下列不等式中成立的一个是 （ C ） （A) c c2 (B) c c) 2 1 ( (C) cc ) 2 1 (2 (D) cc ) 2 1 (2 （6）给出 20 个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91， 86，89，92，95，88 它们的和是 （A
3、）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899 (7)已知某正方体对角线长为 a，那么，这个正方体的全面积是( B ) （A） 2 22a （B） 2 2a （C） 2 32a （D） 2 23a （8）如果方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有 （ A ） （A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F （9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件， 那么丁是甲的 （ D ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件 （10）在下列各图中，y=ax 2
4、+bx 与 y=ax+b(ab0）的图象只可能是 （ D ） 二 （本题满分二 （本题满分 2424 分）分） （1）求方程 4 )5 . 0( 525 2 = +xx 的解 奎屯 王新敞 新疆 答：. 2 3 , 2 1 21 =xx（注注：仅写出其中一个解的，给 2 分 奎屯 王新敞 新疆） （2）已知1, 2 31 2 + =求 i 的值 奎屯 王新敞 新疆 答：0 （3）在 xoy 平面上，四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0） 、 （1，0） 、 （2，1）及（0，3） 奎屯 王新敞 新疆求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的 几何体的体积 奎屯 王新敞 新疆 答： 3 2
5、5 （A） （B） （C） （D） Y Y Y Y O O X X O X O X （4）求. 45 72 lim 2 2 + + n nn n 答： 5 2 （5）求 5 2 3 ) 1 2( x x 展开式中的常数项 奎屯 王新敞 新疆 答：-40 奎屯 王新敞 新疆 （6）求椭圆1 49 22 =+ yx 有公共焦点，且离心率为 2 5 的双曲线方程 奎屯 王新敞 新疆 答：. 1 4 2 2 = y x 三 （本题满分三 （本题满分 1010 分）分） 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上 不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC 垂直于平面
6、PBC 奎屯 王新敞 新疆 证：设圆 O 所在平面为，由已知条 件， PA平面，又 BC 在平面内， 因此 PABC 奎屯 王新敞 新疆 因为BCA 是直角，因此 BCAC 而 PA 与 AC 是PAC 所在平面内的相交直线，因此BCPAC所在平面， 从而证得， PBC 所在平面与PAC 所在平面垂直 奎屯 王新敞 新疆 四 （本题满分四 （本题满分 1010 分）分） 求满足方程3|33|=+iZ的辐角主值最小的复数 Z . P C A O B 解： 满足方程3|33|=+iZ的复数在 复平面上所对应的点的全体组成了如 图所示的一个圆，其圆心 A 对应的复 数为i 33+，半径为3，因而圆与
7、 x 轴相切于点 Q，点 Q 对应的复数是-3 奎屯 王新敞 新疆 从点 O 作圆的另一条切线 OP，P 为切 点，则点 P 所对应的复数为所求的复数 奎屯 王新敞 新疆 ),150sin150(cos3233+=+ii 设点 B 对应的复数为 1，BOA=150 0，|OA|= 32，QOA=180 0- BOA=30 0 OP、OQ 是同一点引出的圆的两条切线，A 是圆心， AOP=QOA=30 0，QOP=2QOA=600， BOP=180 0-QOP=1200，|OP|=|OA|cosAOP= . 3 2 3 32= 所求的复数 Z=.3 2 3 2 3 ) 2 3 2 1 (3)12
8、0sin120(cos3iii+=+=+ 五 （本题满分五 （本题满分 1212 分）分） 已知抛物线 y 2=x+1，定点 A（3，1） ，B 为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB 上，且有 BP:PA=1:2，当点 B 在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线 奎屯 王新敞 新疆 解：设点 B 的坐标（X,Y)，点 P 的坐标为（x,y)，则 Y 4 3 P 2 A 1 Q -4 -3 -2 -1 O X , 2 1 2 3 , 01223 1) 1( 2 3 ) 13( 2 1 ,)2(),1 ( , 1, )2(),13( 2 1 ) 1 (),1( 2 3
9、 3 12 2 1 1 1 2 1 , 3 32 2 1 1 3 2 1 2 2 2 2 += =+ += += = + = + + = + = + + = yyx xyy xy XYP yYxX Y Y y X X x 即 化简得 得代入此方程将 在抛物线上点 因此轨迹为抛物线 奎屯 王新敞 新疆 六 （本题满分六 （本题满分 1010 分）分） 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公 司承包 1 项，丙、丁两个公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式 奎屯 王新敞 新疆 略解：共有：1680 2 2 2 4 1 5 3 8 =CCCC（种） （注：原解答要求分步说
10、明，直接给出上式只给 8 分） 七 （本题满分七 （本题满分 1212 分）分） 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. 求证： （1）当 b时，tg3A= b a . (2).)2cos21 ( 222 baA+=+ 证：由已知 sinA+sin3A+sin5A=a,利用和差化积公式得 2sin3Acos2A+sin3A=a,sin3A(1+2cos2A)=a, 又由已知 cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得 2cos3Acos2A+cos3A=b, cos3A(1+2cos2A)=b, Y B P A O X 当 b时，得,
11、3cos 3sin b a A A =从而证得 tg3A= b a . 又 2+2得 sin 23A(1+2cos2A)2+cos23A(1+2cos2A)2= a 2+b2, (1+2cos2A) 2(sin23A+ cos23A)= a 2+b2, .)2cos21 ( 222 baA+=+ 八 （本题满分八 （本题满分 1212 分）分） 已知数列an,其中, 9 13 , 3 4 21 =aa且当 n3 时， ).( 3 1 211 = nnnn aaaa （1）求数列an的通项公式 奎屯 王新敞 新疆 （2）求.lim n n a 解： （1）设, 11 = nnn xaa则由已知条
12、件得, 3 1 21 = nn xx所以数列an组 成了一个公比为 3 1 的等比数列，其首项, 9 1 121 =aax ,) 3 1 (1 6 1 3 1 1 ) 3 1 (1) 3 1 ( ) 3 1 () 3 1 () 3 1 ( )()()( .) 3 1 ( )4 , 3 , 2( ,) 3 1 () 3 1 ( 1 12 32 123121 1 2 11 = =+= += = = n n n nnn n nn nn n aaaaaaaa aa nxx 即 . 2 3 0 2 3 ) 3 1 ( 2 1 lim 2 3 ) 3 1 ( 2 1 2 3 limlim)2( .) 3 1 ( 2 1 2 3 ) 3 1 (1 6 1 1 1 = = = += n n n n n n nn n a aa
