1、 1988 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 一 （本题满分一 （本题满分 45 分）本题共有分）本题共有 15 个小题，每小题都给出代号为个小题，每小题都给出代号为 A， B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确 结论的代号写在题后的圆括号内结论的代号写在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆每一个小题选对得每一个小题选对得 3 分分;不选或选错不选或选错 一律得一律得 0 分分 奎屯 王新敞 新疆 （1） 2 i1 i1 + 的值等于 （ B ） （A）1 （B）-1 （C）i (D)-i （2） 设圆 M
2、 的方程为(x-3) 2+(y-2)2=2,直线 L 的方程为 x+y-3=0,点 P 的坐标为（2，1） ，那么 （ C ） （A）点 P 在直线 L 上，但不在圆 M 上 奎屯 王新敞 新疆 （B）点 P 在圆 M 上，但不在直线 L 上 奎屯 王新敞 新疆 （C）点 P 既在圆 M 上，又在直线 L 上 奎屯 王新敞 新疆 （D）点 P 既不在直线 L 上，也不在圆 M 上 奎屯 王新敞 新疆 （3）集合1，2，3的子集共有 （ B ） （A）7 个 （B）8 个 （C）6 个 （D）5 个 （4）已知双曲线方程1 5 y 20 x 22 =，那么它的焦距是 （ A ） （A）10 （B
3、）5 （C）15 （D）152 （5）在 10 )3x( 的展开式中，x 6的系数是 （ D ） （A） 6 10 C27 （B） 4 10 C27 （C） 6 10 C9 （D） 4 10 C9 （6）函数xsinxcosy 44 =的最小正周期是 （ A ） （A） （B）2 （C） 2 （D）4 B （7）方程03xcos34xcos4 2 =+的解集是 （ C ） （A）Zk, 6 ) 1(kx|x k += （B）Zk, 3 ) 1(kx|x k += （C）Zk, 6 k2x|x = （D）Zk, 3 k2x|x = （8）极坐标方程 = cos23 4 所表示的曲线是 （ D ）
4、 （A）圆 （B）双曲线右支 （C）抛物线 （D）椭圆 （9）如图，正四棱台中，DA所在的直线与B B 所在的直线是 （A）相交直线 （ C ） （B）平行直线 （C）不互相垂直的异面直线 （D）互相垂直的异面直线 （10）)3arctg 5 1 arctg(tg+的值等于 ( D ） （A）4 （B） 2 1 （C） 8 1 （D）8 （11）设命题甲：ABC 的一个内角为 60 0 奎屯 王新敞 新疆 命题乙：ABC 的三内角的度数成等差数列数列 奎屯 王新敞 新疆那么（ C ） （A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 奎屯 王新敞 新疆 （B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 奎屯 王新
5、敞 新疆 （C）甲是乙的充要条件 奎屯 王新敞 新疆 （D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 奎屯 王新敞 新疆 （12）在复平面内，若复数 z 满足| iz| 1z|=+，则 z 所对应的点 Z 的 集合构成的图形是 （ B ） （A）圆 （B）直线 （C）椭圆 （D）双曲线 D C A D C A B （13）如果曲线 x 2-y2-2x-2y-1=0 经过平移坐标轴后的新方程为 1yx 22 =，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ） （A） （1，1） （B） （-1，-1） （C） （-1，1） （D） （1，-1） （14）假设在 200 件产品中有 3 件次品，
6、现在从中任意抽取 5 件，其 中至少有 2 件次品的抽法有 （ B ） （A） 3 197 2 3C C种 （B） 2 197 3 3 3 197 2 3 CCCC+种 （C） 5 197 5 200 CC种 （D） 4 197 1 3 5 200 CCC种 （15）已知二面角AB的平面角是锐角，C 是平面内一点（它 不在棱 AB 上） ，点 D 是点 C 在面上的射影，点 E 是棱 AB 上满足 CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ） （A）CEBDEB （B）CEB=DEB （C）CEB1，并且 a1=b(b0）求 . aaaa aaaa lim n876 n321 n + + 答1 三
7、 （本题满分三 （本题满分 1010 分）分） 已知, atgx =求 x3cosxcos3 x3sinxsin3 + + 的值 奎屯 王新敞 新疆 解： xcosx2cos2xcos2 xcosx2sin2xsin2 x3cosxcosxcos2 x3sinxsinxsin2 x3cosxcos3 x3sinxsin3 + + = + + = + + )3a ( 2 a )3xtg( 2 tgx )2x(sec 2 tgx xcos2 )xcos21 (tgx )x2cos1 (xcos2 xcosxsin4xsin2 2 22 2 22 += +=+= + = + + = 四 （本题满分四
8、 （本题满分 1010 分）分） S B A C D 如图，正三棱锥 S-ABC 的侧面是边长为 a 的正三角形，D 是 SA 的中点，E 是 BC 的中点，求SDE 绕直线SE旋转一周所得的旋转体的 体积 奎屯 王新敞 新疆 解：连结 AE，因为SDE 和ABC 都是边长为 a 的正三角形，并且 SE 和 AE 分别是它们的中线，所以 SE=AE，从而SDE 为等腰三角形，由 于 D 是 SA 的中点，所以 EDSA 奎屯 王新敞 新疆作 DFSE，交 SE 于点 F 奎屯 王新敞 新疆考虑直角 SDE 的面积，得到,DESD 2 1 DFSE 2 1 =所以， . a 6 6 a 2 3
9、a 2 2 2 a DF, a 2 2 ) 2 a (a 4 3 SDSEDE , a 2 3 ) 2 a (aBESBSE,. SE DEa 2 1 SE DESD DF 2222 2222 = = = = 所以 易知 所求的旋转体的体积是以 DF 为底面半径，分别以 SF 和 EF 为高的两 个圆锥的体积的和，即 .a 36 3 a 2 3 6 a 3 1 SE)a 6 6 ( 3 1 EF)a 6 6 ( 3 1 SF)a 6 6 ( 3 1 3 2 222 =+ 五 （本题满分五 （本题满分 1111 分）分） 设 2 1t logtlog 2 1 , 0t , 1a, 0a aa +
10、 与比较的大小，并证明你的结论 奎屯 王新敞 新疆 解：当t0时，由重要不等式可得t 2 1t + ，当且仅当t=1时取“=”号 . tlog 2 1 2 1t log, tlog 2 1t log,1t aaaa = + = + =即时 S D F A C E B tlog 2 1 2 1t log, tlog 2 1t log ,xlogy,1a . tlog 2 1 2 1t log, tlog 2 1t log xlogy,1a0 . t 2 1t , 1t aaaa a aaaa a + + = + + = = 即所以 是增函数时当 即所以 是减函数时当 六 （本题满分六 （本题满分
11、 1212 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题满分）小题满分 4 4 分，分， 第（第（2 2）小题满分）小题满分 8 8 分分. . 给定实数). a 1 x,Rx( 1ax 1x y, 1a, 0a, a =且设函数且 证明： （1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于 x 轴; （2）这个函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）设 M1（x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点， 则 x1x2，且 . 0yy,xx, 1a , ) 1ax)(1ax( ) 1a)(xx( ) 1ax)(1a
12、x( )xx()xx(a ) 1ax)(1ax( ) 1axxxax(1axxxax 1ax 1x 1ax 1x yy 1221 12 12 12 1212 12 11211221 1 1 2 2 12 = = + = = 且 从而直线 M1M2的斜率, 0 xx yy k 12 12 =因此，直线 M1M2不平行于 x 轴 奎屯 王新敞 新疆 （2）设点 P)y,x(是这个函数图象上任意一点，则 , 1 11 ) 1 (, 1 , 01 )2(, 1) 1(, 1) 1() 1 (),( ),() 1 ( 1 1 , 1 = = = = xa x aa yya yyaxxxayxyP xyy
13、xP xa x y a x 得代入则假如 即式得由的坐标为 的对称点关于直线易知点且 , 1, 1与已知矛盾由此得即=axaaxa 成轴对称图形 线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点 式得于是由 xyxyP ya y xya = = ,),( . 1 1 )2(. 01 （注：对（1）也可用反证法 奎屯 王新敞 新疆或考察平行 x 轴的直线 y=c 与所给函数 的图象是否相交及交点数目的情况 奎屯 王新敞 新疆由其无交点或恰有一交点， 从而得 证 奎屯 王新敞 新疆 对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关 于 y=x 对称 奎屯 王新敞 新疆） 七 （本题满分
14、七 （本题满分 1212 分）分） 如图，直线 L 的方程为 2 p x=，其中 p0;椭圆的中心为 D)0 , 2 p 2( +，焦点在 x 轴上，长半轴长为 2，短半轴长为 1，它的 一个顶点为 A)0 , 2 p ( 奎屯 王新敞 新疆问 p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不 同的点，它们中每一个点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离 奎屯 王新敞 新疆 解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面 的椭圆方程：, 1y 4 ) 2 p 2(x 2 2 =+ + 又这四个点的坐标应满足下面的抛 物线方程 y 2=2px, 从而椭圆上有四点符合题意的充要 条件是下面的方程组有四个不同的 实数解： = =+ + )2(.px2y ) 1 (, 1y 4 ) 2 p 2(x 2 2 2 Y L O A D X 将（2）式代入（1）式，得 )3(. 0p2 4 p x)4p7(x , 4px8) 2 p 2(x 2 2 2 =+ =+ 即 所以原方程组有 4 个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相 等的正根 奎屯 王新敞 新疆而这又等价于 3 1 0,0 . 047 , 02 4 , 0)2 4 (4)47( 2 2 2 + += pp p p p p p p 得到解此不等式组的条件下在 所以，所求的 p 的取值范围为. 3 1 p0
