1、 1987 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 考生注意：这份试卷共八道大题，满分考生注意：这份试卷共八道大题，满分 120120 分分 一 （本题满分一 （本题满分 24 分）本题共有分）本题共有 8 个小题，每小题都给出代号为个小题，每小题都给出代号为 A， B，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确 结论的代号写在题后的圆括号内结论的代号写在题后的圆括号内 奎屯 王新敞 新疆选对的得选对的得 3 分分，不选、选错或者选不选、选错或者选 出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得出的代号超过一个
2、的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得 0 分分 奎屯 王新敞 新疆 （1）设 S，T 是两个非空集合，且 S T，T S，令 X=ST，那么 SX 等于 （ D ） （A）X （B）T （C） （D）S （2）设椭圆方程为)0(1 2 2 2 2 =+ba b y a x ，令 222 bac=，那么它的准 线方程为 （ C ） （A） c a y 2 = （B） c b y 2 = （C） c a x 2 = （D） c b x 2 = （3）设m,16logmlog8log4log 4843 那么=等于 （ B ） （A） 2 9 （B）9 （C）18 （D）27 （4）复数40cosi
3、40sin的辐角为 （ D ） （A）40 0 （B）1400 （C）2200 （D）3100 （5）二次函数 y=f(x)的图象如图所示，那么此函数为 （ C ） （A）4xy 2 =（B） 2 x4y=（C）)x4( 4 3 y 2 =（D）)x2( 4 3 y 2 = （6） 在区间)0 ,(上为增函数的是 （ B ） （A）)(log 2 1 xy= （B） x x y = 1 Y （0，3） O X （-2，0） （2，0） （C） 2 ) 1( +=xy （D） 2 1xy+= （7）已知平面上一点 P 在原坐标系中的坐标为（0，m） （m0） ，而 在平移后所得到的新坐标系中的坐
4、标为（m,0） ，那么新坐标系的原点 O在原坐标系中的坐标为 （ A ） （A） （-m,m） （B） （m,-m） （C） （m,m） （D） （-m,-m） （8） 要得到函数) 3 2sin( =xy的图象， 只需将函数xy2sin=的图象 （图 略） （ D ） （A）向左平行移动 3 （B）向右平行移动 3 （C）向左平行移动 6 （D）向右平行移动 6 二 （本题满分二 （本题满分 2828 分）本题共分）本题共 7 7 小题，每一个小题满分小题，每一个小题满分 4 4 分分 奎屯 王新敞 新疆只要求 只要求 写出结果写出结果 （1）求函数x2siny 2 =的周期 奎屯 王新敞
5、新疆 答 2 （2）已知方程1 1 y 2 x 22 = + + 表示双曲线，求的范围 奎屯 王新敞 新疆 答-1 或-2.（注：写出一半给 2 分 奎屯 王新敞 新疆） （3）若（1+x) n的展开式中，x3的系数等于 x 的系数的 7 倍，求 n. 答8 （注：若给出 8 同时给出-5 得 2 分） （4）求极限 + 2222 n n n2 n 3 n 2 n 1 lim 答2 （5）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字且数字 1 与 2 不相邻 的五位数 奎屯 王新敞 新疆求这种五位数的个数 奎屯 王新敞 新疆 答72 （6）求函数)x3x21 (logy 2 2 +=的定义域
6、答1x 3 1 （7）圆锥底面积为 3，母线与底面所的成角为 60 0，求它的体积 奎屯 王新敞 新疆 答 3 三 （三 （本题满分本题满分 1010 分分） 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别 是时间 t 的函数：),240tsin(II),120tsin(II , tsinII CBA +=+= 求 CBA III+的值 奎屯 王新敞 新疆 解：)240tsin(I)120tsin(ItsinIIII CBA +=+ )240tsin()120tsin(tsinI+= 00I )tcos 2 3 tsin 2 1 () tcos 2 3 tsin 2 1 (tsinI
7、 = += 四 （四 （本题满分本题满分 1212 分分） 在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为 i 2 3 2 1 , 2+，求第三个顶点所表示的复数 奎屯 王新敞 新疆 解：设第三个顶点所表示的复数为 z 那么根据题意，z-2 和 ) i 2 3 2 1 (z+的模相等，辐角差为) 3 ( 3 或，因而 i 2 3 2 1 z), 4 3 4 1 (2z) i 2 3 2 1 ( ),i 2 3 2 1 )(i 2 3 2 1 (z) i 2 3 2 1 () i 2 3 2 1 )(i 2 3 2 1 (z2z ; i 32z) i 2 3 2 1 (2z) i 2 3
8、 2 1 ( ) i 2 3 (i 2 3 2 1 2 4 1 2z)i 2 3 2 1 (1 ) i 2 3 2 1 (z) i 2 3 2 1 () 3 sini 3 )(cosi 2 3 2 1 (z2z 2 2 =+=+ +=+= +=+= +=+ += + += 或 （列方程组解亦可） 五 （五 （本题满分本题满分 1212 分分） 如图，三棱锥 P-ABC 中，已知 PABC，PA=BC=L,PA,BC 的公垂线 ED=h 奎屯 王新敞 新疆求证三棱锥P-ABC 的体积V= 6 1 L 2h. 证：连结 AD 和 PDBCPA，BCED， PA 与 ED 相交，BC平面 PADED
9、 PA， SABC= 2 1 PAED= 2 1 Lh VB-PAD= 3 1 ( 2 1 Lh)BD= 6 1 LhBD 同理，VC-PAD= 6 1 LhCD 三棱锥 P-ABC 的体积 V= 6 1 LhBD+ 6 1 LhCD= 6 1 Lh（BD+CD）= 6 1 LhBC= 6 1 L 2h. 若 E，D 不是分别在线段 AP，BC 上，结论仍成立 （此话不说，也不扣分） 六 （六 （本题满分本题满分 1212 分分） P E C A D B 设对所有实数 x，不等式0 a4 ) 1a ( log 1a a2 logx2 a ) 1a (4 logx 2 2 222 2 + + +
10、 + + 恒成立，求a的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 解：由题意得： + + + + + ) 3(0 a4 ) 1a ( log a ) 1a (4 log4) 1a a2 log2( )2(, 0 a ) 1a (4 log ) 1 (, 0 1a a 2 2 22 2 2 2 令, 1a a2 logz 2 + =则（3）式变为, 0)z2)(z8(logz 2 2 化简为, 0) z6( z解得0z6z 或 （4） （2）式变为, 0z8log2即, 3z （5） 综合（4） ， （5）得, 0 1a a2 log, 0z 2 + 即 由此，1 1a a2 + （6） 解（1） ， （6
11、）得 a 取值范围：. 1a0 七 （七 （本题满分本题满分 1212 分分） 设数列,a,a,a n21 的前 n 项的和 Sn与 n a的关系是 , 1kaS nn +=（其中 k 是与 n 无关的常数，且 k1) 奎屯 王新敞 新疆 （1）试写出用 n，k 表示的 n a的表达式; （2）若, 1Slim n n = 求 k 的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 解： （1）),1ka() 1ka(SSa n1nn1n1n += + ) 1 (a 1k k a1k ,kaa ) 1k( ,kakaa n1n n1nn1n1n = = + + 解得 若, 0k 则由题设知0a1，由（1）式易知,
12、 1n, 0an 所以 1k k a a n 1n = + 故该数列是公比为 1k k 的等比数列， 其首项为 k1 1 a, 1kaSa 1111 =+= . ) 1k( k ) 1k k ( k1 1 a n 1n 1n n = = 当0k =时，由（1）式知, 1n, 0an=上式当1n 时对0k =也成立 奎屯 王新敞 新疆 （2）若, 1Slim n n = 即, 1) 1ka(lim n n =+ . 2 1 k, 1 1k k , 0) 1k k (lim , 0 ) 1k( k klim, 0) 1S(limkalim n n n 1n n n n n n = = = 解得 即
13、 （注：第（1）题解的过程中，不考虑0k =的情况，不扣分 奎屯 王新敞 新疆） 八 （八 （本题满分本题满分 1212 分分） 正方形 ABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边 AB 在直线 y=x+4 上，C，D 在抛物线 x=y 2上，求正方形 ABCD 的面积 奎屯 王新敞 新疆 解：设 CD 的直线方程为 y=x+b 由方程组 = += )2(yx ) 1 (bxy 2 解得 C（ cc y,x） ，D（ DD y,x）两点坐标为 Y A1 B D X C . 6b, 2b , 012b8b,)b822()b4( )3(b82 2 |b4| |,AD|CD| . 2 |b4| 2 |
14、4yx| |AD| b82)yy()xx(|CD| ).b411 ( 2 1 y , b)b411 ( 2 1 x );b411 ( 2 1 y , b)b411 ( 2 1 x 21 222 DD 2 DC 2 DC D D C C = =+= = = = + = =+= += += = = 解得 即 经检验 b1,b2均为方程（）的根 奎屯 王新敞 新疆 （注：不检验不扣分） 解二：C，D 两点在抛物线上， 可设 C（s 2,s） ，D（t2,t), 又A，B 在直线 y=x+4 上，AB 与 y 轴成 45 0角， 四边形 ABCD 为正方形， 对角线 AC 与边 AB 也成 45 0角， ACy 轴，同理 BDx 轴， 可设 A（s 2,s2+4),B(t-4,t) ABCD,对角线 AC,BD 互相垂直平分，所以有 = = = = = + = . 3t , 2s ; 2t , 1s . t 2 s)4s ( , 1 st st 2 2 1 1 2 22 解得 面积 S1=|C1D1| 2=（-1）2-222+（-1）-22=18， S2=|C2D2| 2=（-1）2-322+（-1）-32=50 奎屯 王新敞 新疆 答：这样的正方形有两个，其面积分别为 18，50 奎屯 王新敞 新疆
